ত্রিভুজ

তিন বাহু দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্র
(Triangle থেকে পুনর্নির্দেশিত)

ত্রিভুজ হল এমন একটি বহুভুজ যার তিনটি বাহু এবং তিনটি শীর্ষবিন্দু রয়েছে। এটি জ্যামিতির মূল আকারগুলির মধ্যে একটি। A, B, এবং C শীর্ষবিন্দুসহ একটি ত্রিভুজকে দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

সমবাহু ত্রিভুজ
একটি সুষম ত্রিভুজ
প্রকারসুষম বহুভুজ
প্রান্তছেদচিহ্ন
শ্লেফলি প্রতীক{৩}
কক্সিটার ডায়াগ্রাম
প্রতিসাম্য দলদ্বিতল (Dihedral) (D3), 2×3 ক্রমের (order)
অভ্যন্তরীণ কোণ (ডিগ্রি)৬০°
দ্বৈত বহুভুজSelf
বৈশিষ্ট্যাবলিউত্তল, চক্রাকার, সমবাহু, isogonal, isotoxal
triangle, tri, three, angle
ত্রিভুজ = ত্রি (তিন) + ভুজ (বাহু)

ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে, যেকোন তিনটি বিন্দু, যখন অসমরেখ, একটি অনন্য ত্রিভুজ এবং একই সাথে একটি অনন্য সমতল (অর্থাৎ একটি দ্বি-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থান) নির্ধারণ করে। অর্থাৎ, শুধুমাত্র একটিই সমতল রয়েছে যা সেই ত্রিভুজটিকে ধারণ করে এবং প্রতিটি ত্রিভুজই কোনো না কোনো সমতলে রয়েছে। যদি পুরো জ্যামিতিটি শুধুমাত্র ইউক্লিডীয় সমতলে থাকে, তবে সমস্ত ত্রিভুজ শুধুমাত্র ওই একটি সমতলেই অবস্থান করছে; যদিও, উচ্চ-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানগুলিতে, এই তত্ত্বটি আর সত্য নয়। এই নিবন্ধটি ইউক্লিডীয় জ্যামিতির ত্রিভুজ সম্পর্কে, এবং বিশেষ করে, ইউক্লিডীয় সমতল, যদি অন্যরূপে উল্লেখিত না থাকে।

ত্রিভুজের প্রকারভেদ সম্পাদনা

 
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজগুলির কমপক্ষে ২টি সমান বাহু রয়েছে (অর্থাৎ, সমবাহু ত্রিভুজগুলি হল সমদ্বিবাহু) এই সংজ্ঞাটি ব্যবহার করে বিভিন্ন রকম ত্রিভুজের অয়লার ডায়াগ্রাম

ত্রিভুজ শ্রেণীবিভক্ত করার পরিভাষা দুই হাজার বছরেরও বেশি পুরোনো, এর প্রথম পৃষ্ঠায় সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে ইউক্লিডের উপাদানে। আধুনিক শ্রেণিবিভাগের জন্য ব্যবহৃত নামগুলি হয় সরাসরি ইউক্লিডের গ্রীক থেকে প্রতিবর্ণীকরণ (ট্রান্সলিটারেশন) নয়তো তাদের লাতিন অনুবাদ।

বাহুর দৈর্ঘ্য দ্বারা সম্পাদনা

প্রাচীন গ্রীক গণিতবিদ ইউক্লিড তিন ধরনের ত্রিভুজকে তাদের বাহুর দৈর্ঘ্য অনুসারে সংজ্ঞায়িত করেছেন:[১][২]

গ্রিক: τῶν δὲ τριπλεύρων σχημάτων ἰσόπλευρον μὲν τρίγωνόν ἐστι τὸ τὰς τρεῖς ἴσας ἔχον πλευράς, ἰσοσκελὲς δὲ τὸ τὰς δύο μόνας ἴσας ἔχον πλευράς, σκαληνὸν δὲ τὸ τὰς τρεῖς ἀνίσους ἔχον πλευράς, আক্ষ. 'ত্রিপক্ষীয় পরিসংখ্যানগুলির মধ্যে, একটি "আইসোপ্লেউরন" [সমবাহু] ত্রিভুজ হল যেটির তিনটি বাহু সমান, একটি "সমদ্বিবাহু" হল যার দুটি বাহু একই সমান এবং একটি "বিষমভুজ" হল যার তিনটি বাহু অসম।'[৩]

  • একটি সমবাহু ত্রিভুজের ( গ্রিক: ἰσόπλευρον, আক্ষ. 'equal sides') সমান দৈর্ঘ্যের তিনটি বাহু রয়েছে। একটি সমবাহু ত্রিভুজও একটি সুষম বহুভুজ যার সব কোণের মান ৬০°।
  • একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ( গ্রিক: ἰσοσκελὲς, আক্ষ. 'equal legs') সমান দৈর্ঘ্যের দুটি বাহু আছে।[note ১][৪] একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের একই মানের দুটি কোণ রয়েছে, সমান দৈর্ঘ্যের দুটি বাহুর বিপরীত কোণ দুটি। এই তথ্যটি ইউক্লিড দ্বারা পরিচিত সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ উপপাদ্যের বিষয়বস্তু ছিল। কিছু গণিতবিদ একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজকে কেবল দুটি সমান বাহুর দ্বারা সংজ্ঞায়িত করেন, অপরপক্ষে কিছু গণিতবিদ একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজকে ন্যূনতম দুটি সমান বাহু দ্বারা সংজ্ঞায়িত করেন। পরবর্তী সংজ্ঞাটির মাধ্যমে সমস্ত সমবাহু ত্রিভুজ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে পর্যবসিত হয়। ৪৫–৪৫–৯০ হল একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যা টেট্রাকিস বর্গাকার টাইলিং- এ প্রদর্শিত হয়, এটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
  • একটি বিষমবাহু ত্রিভুজের ( গ্রিক: σκαληνὸν, আক্ষ. 'unequal') তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য পৃথক। একইভাবে, এটির কোণ তিনটির মানও পৃথক।

হ্যাচ মার্ক, যাকে টিক মার্কও বলা হয়, তা ত্রিভুজ এবং অন্যান্য জ্যামিতিক আকৃতির চিত্রের সমান দৈর্ঘ্যের বাহুগুলি শনাক্ত করতে ব্যবহৃত হয়। ত্রিভুজের একটি বাহু "টিকস" এর সজ্জা দিয়ে, সংক্ষিপ্ত রেখাংশগুলি ট্যালি মার্কের আকার দ্বারা; যদি দুই বাহুর সমান দৈর্ঘ্য থাকে তবে তারা উভয়ই একই প্যাটার্ন দিয়ে চিহ্নিত হয়। একটি ত্রিভুজে, সজ্জাটি সাধারণত ৩টি টিকের বেশি হয় না। একটি সমবাহু ত্রিভুজের ৩টি বাহুতে একই সজ্জা রয়েছে, একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের মাত্র ২ বাহুর একই সজ্জা রয়েছে এবং একটি বিষমবাহু ত্রিভুজের সমস্ত বাহুর পৃথক সজ্জা রয়েছে কারণ সবকটি বাহুর দৈর্ঘ্য পৃথক।

একইভাবে, কোণের অভ্যন্তরে ১, ২, বা ৩টি সমকেন্দ্রিক বৃত্তচাপের সজ্জাগুলি সমান কোণ নির্দেশ করতে ব্যবহৃত হয়: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ৩টি কোণে একই সজ্জা থাকে, একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের মাত্র ২টি কোণে একই সজ্জা থাকে এবং একটি বিষমবাহু ত্রিভুজ সমস্ত কোণে ভিন্ন নিদর্শন রয়েছে, যেহেতু সবকটি কোণ অসমান।

অভ্যন্তরীণ কোণ দ্বারা সম্পাদনা

 
ইউক্লিডস এলিমেন্টের বিশ্বের প্রথম মুদ্রিত সংস্করণ (১৯৪২)-এর প্রথম পৃষ্ঠা, বইটির "সংজ্ঞা" বিভাগটি দেখানো হয়েছে। সমকোণী ত্রিভুজটিকে " অর্থোগোনিয়াস " আখ্যা দেওয়া হয়েছে, এবং প্রদর্শিত কোণ দুটি "অ্যাকুটাস" এবং "অ্যাঙ্গুলাস ওবটাস"।

ত্রিভুজগুলিকে তাদের অভ্যন্তরীণ কোণ অনুসারে শ্রেণীবিভক্ত করা যেতে পারে, যা ডিগ্রীতে পরিমাপ করা হয়।

  • একটি সমকোণী ত্রিভুজ (বা সমকোণ-বিশিষ্ট ত্রিভুজ ) এর একটি অভ্যন্তরীণ কোণ রয়েছে যার পরিমাপ ৯০° (একটি সমকোণ )। সমকোণের বিপরীত বাহু হল অতিভূজ , ত্রিভুজের দীর্ঘতম বাহু। অন্য দুটি বাহুকে ত্রিভুজের পা বা ক্যাথেটি [৫] (একবচন: ক্যাথেটাস ) বলা হয়। সমকোণী ত্রিভুজগুলি পিথাগোরাসের উপপাদ্য মেনে চলে, এই উপপাদ্যমতে: কোন একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ঐ ত্রিভুজের অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান: a2 + b2 = c2, যেখানে a এবং b হল পায়ের দৈর্ঘ্য এবং c হল অতিভূজের দৈর্ঘ্য। বিশেষ সমকোণী ত্রিভুজ হল অতিরিক্ত বৈশিষ্ট্য সহ সমকোণী ত্রিভুজ যা তাদের জড়িত গণনাকে সহজ করে তোলে। সবচেয়ে বিখ্যাত দুটির মধ্যে একটি হল 3–4–5 সমকোণী ত্রিভুজ, যেখানে 32 + 42 = 52 । 3-4-5 ত্রিভুজটি মিশরীয় ত্রিভুজ নামেও পরিচিত। [৬] এই অবস্থায়, 3, 4, এবং 5 হল একটি পিথাগোরিয়ান ট্রিপল । অন্যটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার 2টি কোণ রয়েছে যার পরিমাপ ৪৫ ডিগ্রি (৪৫–৪৫–৯০ ত্রিভুজ)।
    • যে ত্রিভুজগুলির ৯০° পরিমাপের কোণ নেই তাদেরকে তির্যক ত্রিভুজ বলে।
  • ৯০° এর কম পরিমাপের সমস্ত অভ্যন্তরীণ কোণ সহ একটি ত্রিভুজ একটি সূক্ষ্ম ত্রিভুজ বাসূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ[২] যদি c হল দীর্ঘতম বাহুর দৈর্ঘ্য, তাহলে a2 + b2 > c2, যেখানে a এবং b হল অন্য বাহুর দৈর্ঘ্য।
  • ৯০°-এর বেশি পরিমাপের একটি অভ্যন্তরীণ কোণ সহ একটি ত্রিভুজ হল একটি স্থূল ত্রিভুজ বা স্থূলকোণী ত্রিভুজ[২] যদি c হল দীর্ঘতম বাহুর দৈর্ঘ্য, তাহলে a2 + b2 < c2, যেখানে a এবং b হল অন্য বাহুর দৈর্ঘ্য।
  • ১৮০° (এবং সমরেখার শীর্ষবিন্দু) অভ্যন্তরীণ কোণ সহ একটি ত্রিভুজ অবক্ষয়িত হয়। একটি সমকোণী অবক্ষয়িত ত্রিভুজের সমরেখার শীর্ষবিন্দু রয়েছে, যার মধ্যে দুটি কাকতালীয়।

যে ত্রিভুজের একই মাপের দুটি কোণ রয়েছে এবং একই দৈর্ঘ্যের দুটি বাহু রয়েছে তাকে একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ বলা হয়। একইভাবে বলা যেতে পারে যে ত্রিভুজে সমস্ত কোণের পরিমাপ সমান এবং তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান, তা হল একটি সমবাহু ত্রিভুজ।

 </img>  </img>  </img>
সমকোণ স্থূল সূক্ষ্ম
 
তির্যক

মূল কথা সম্পাদনা

 
একটি ত্রিভুজ, বাহ্যিক কোণ হল d.

ত্রিভুজগুলিকে দ্বিমাত্রিক সমতল চিত্র বলে ধরে নেওয়া হয়, যদি না অন্যরূপে উল্লেখিত থাকে (নীচে অসমতলিক ত্রিভুজ দেখুন)। কঠোর চিকিৎসায়, একটি ত্রিভুজকে তাই বলা হয় 2- সিমপ্লেক্স (এছাড়াও পলিটোপ দেখুন)। ত্রিভুজ সম্পর্কে প্রাথমিক তথ্য ইউক্লিড দ্বারা উপস্থাপিত হয়েছিল, তার এলিমেন্টস বইয়ের ১-৪, ৩০০ খ্রিস্টপূর্বাব্দে লেখা।

 
ত্রিভুজের অভ্যন্তরীণ কোণের সমষ্টি সর্বদা ১৮০ ডিগ্রী (একই রঙ দ্বারা কোণগুলি সমান তা নির্দেশ করা হল)।

ইউক্লিডীয় স্থানের একটি ত্রিভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলির সমষ্টি সর্বদা ১৮০ ডিগ্রি। [৭] [২] এই সত্যটি ইউক্লিডের সমান্তরাল অনুশাসনের সমতুল্য। এটি কোনো ত্রিভুজের তৃতীয় কোণের মান নির্ধারণে সাহায্য করে, যখন দু'টি কোণের পরিমাপ জানা থাকে। একটি ত্রিভুজের একটি বহিঃকোণ হল একটি কোণ যা একটি অভ্যন্তরীণ কোণের রৈখিক জোড়া (এবং তাই সম্পূরক)। একটি ত্রিভুজের একটি বহিঃকোণের পরিমাপ তার সংলগ্ন নয় এমন দুটি অভ্যন্তরীণ কোণের পরিমাপের সমষ্টির সমান; এটি বহিঃকোণ<i>বহিঃকোণ উপপাদ্য</i> । যেকোন ত্রিভুজের তিনটি বহিঃকোণের (প্রতিটি শীর্ষের জন্য একটি) পরিমাপের সমষ্টি হল ৩৬০ ডিগ্রি। [note ২]

সাদৃশ্য এবং সঙ্গতি সম্পাদনা

দু'টি ত্রিভুজকে সদৃশ বলা হয়, যদি একটি ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের পরিমাপ অন্য ত্রিভুজের অনুরূপ কোণের সমান থাকে। সদৃশ ত্রিভুজগুলির অনুরূপ বাহুগুলির দৈর্ঘ্য একই অনুপাতে থাকে এবং এই বৈশিষ্ট্যটিও ত্রিভুজের সাদৃশ্য স্থাপনের জন্য যথেষ্ট।

সদৃশ ত্রিভুজ সম্পর্কে কিছু মৌলিক উপপাদ্য হল:

  • যদি এবং কেবল যদি দু'টি ত্রিভুজের অভ্যন্তরীণ এক জোড়া কোণ অন্য একটি ত্রিভুজের এক জোড়া কোণের সমান হয় তবে ত্রিভুজদ্বয়কে সদৃশ ত্রিভুজ বলে।
  • যদি এবং কেবল যদি দু'টি ত্রিভুজের এক জোড়া সংশ্লিষ্ট বাহুর অনুপাত অপর এক ত্রিভুজের এক জোড়া সংশ্লিষ্ট বাহুর অনুপাতের সমান হয় তবে তাদের অভ্যন্তরীণ কোণগুলির পরিমাপ সমান, তাহলে ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ। (বহুভুজের যেকোন দুই বাহুর অন্তর্ভূক্ত কোণ হল সেই দুই বাহুর মধ্যে অভ্যন্তরীণ কোণ। )
  • যদি এবং কেবল যদি দুটি ত্রিভুজের তিন জোড়া সংশ্লিষ্ট বাহু একই অনুপাতে হয়, তাহলে ত্রিভুজগুলি সদৃশ হয়। [note ৩]

দুইটি সর্বসম ত্রিভুজের ঠিক একই আকার এবং আকৃতি রয়েছে: [note ৪] সংশ্লিষ্ট অভ্যন্তরীণ কোণগুলির সমস্ত জোড়া পরিমাপে সমান, এবং সংশ্লিষ্ট বাহুর সমস্ত জোড়ার দৈর্ঘ্য একই। (এটি মোট ছয়টি সমতা, তবে তিনটিই প্রায়শই সঙ্গতি প্রমাণের জন্য যথেষ্ট। )

একজোড়া ত্রিভুজ সর্বসম হওয়ার জন্য কিছু স্বতন্ত্রভাবে প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত হল:

  • SAS পোস্টুলেট: একটি ত্রিভুজের দু'টি বাহুর দৈর্ঘ্য অন্য ত্রিভুজের দু'টি বাহুর সমান, এবং অন্তর্ভুক্ত কোণগুলির পরিমাপ একই।
  • ASA: একটি ত্রিভুজের দু'টি অভ্যন্তরীণ কোণ এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত বাহুর পরিমাপ এবং দৈর্ঘ্য যথাক্রমে অন্য ত্রিভুজের সমান। (একজোড়া কোণের জন্য অন্তর্ভুক্ত বাহু হল সেই বাহু যা তাদের কাছে সাধারণ।)
  • SSS: একটি ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য অন্য ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলির সমান।
  • AAS: একটি ত্রিভুজের দুটি কোণ এবং একটি সংশ্লিষ্ট (অ-অন্তর্ভুক্ত) বাহুর পরিমাপ এবং দৈর্ঘ্য যথাক্রমে অন্য ত্রিভুজের সমান। (এটি কখনও কখনও AAcorrS হিসাবে উল্লেখ করা হয় এবং তদুপরি ASA অন্তর্ভুক্ত করে।)

কিছু স্বতন্ত্রভাবে পর্যাপ্ত শর্ত হল:

  • অতিভুজ-ভূমি (HL) উপপাদ্য: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ এবং ভূমি অন্য সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ এবং ভূমির দৈর্ঘ্যের সমান। একে RHS (সমকোণ, অতিভুজ, বাহু)ও বলা হয়।
  • অতিভুজ-কোণ উপপাদ্য: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য এবং একটি সূক্ষ্মকোণের পরিমাপ যথাক্রমে অন্য সমকোণী ত্রিভুজের মতো। এটি AAS উপপাদ্যের একটি বিশেষ নজির মাত্র।

একটি গুরুত্বপূর্ণ শর্ত হল:

  • বাহু-বাহু-কোণ (বা কোণ-বাহু-বাহু) শর্ত: যদি একটি ত্রিভুজের দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য এবং একটি সংশ্লিষ্ট অন্তর্ভুক্ত নয় এমন কোণের পরিমাপ যথাক্রমে অন্য ত্রিভুজের মতো হয়, তবে এটি সর্বসমতা প্রমাণ করার জন্য যথেষ্ট নয়; কিন্তু যদি প্রদত্ত কোণটি দুই বাহুর বৃহত্তর বাহুর বিপরীত হয়, তাহলে ত্রিভুজগুলি সর্বসম হয়। অতিভুজ-ভূমি উপপাদ্য এই নির্ণায়কের একটি বিশেষ ক্ষেত্র। বাহু-বাহু-কোণ শর্তটি নিজেই এই অঙ্গীকার করে না যে ত্রিভুজগুলি সর্বসম কারণ একটি ত্রিভুজ স্থূল-কোণী এবং অন্যটি সূক্ষ্মকোণী হতে পারে।

সমকোণী ত্রিভুজ এবং সাদৃশ্যের ধারণা ব্যবহার করে, ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক সাইন এবং কোসাইন সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। এগুলি একটি কোণের অপেক্ষক যা ত্রিকোণমিতিতে অন্বেষণ করা হয়।

সমকোণী ত্রিভুজ সম্পাদনা

 
পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য

একটি মূল উপপাদ্য হল পিথাগোরাসের উপপাদ্য, যেটি বলে যেকোনো সমকোণী ত্রিভুজে, অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ঐ ত্রিভুজের অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান। যদি অতিভুজের দৈর্ঘ্য c হয় এবং অপর দুই বাহুর দৈর্ঘ্য a এবং b হয়, তাহলে উপপাদ্যটি বলে যে

 

বিপরীতটি সত্য: যদি একটি ত্রিভুজের বাহুগুলি উপরের সমীকরণটি পূরণ করে, তাহলে ত্রিভুজটির c বাহুর বিপরীত কোণটি হল সমকোণ।

সমকোণী ত্রিভুজ সম্পর্কে আরও কিছু তথ্য:

  • একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণগুলি পূরক কোণ
 
  • যদি একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ও লম্বের দৈর্ঘ্য একই থাকে, তবে সেই বাহুদ্বয়ের বিপরীত কোণগুলির পরিমাপ সমান। যেহেতু এই কোণগুলি পূরক, অতএব প্রতিটি কোণের পরিমাপ ৪৫ ডিগ্রি। পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, অতিভুজের দৈর্ঘ্য একটি পায়ের দৈর্ঘ্যের √ 2 গুণ।
  • ৩০ এবং ৬০ ডিগ্রি পরিমাপের সূক্ষ্মকোণবিশিষ্ট একটি সমকোণী ত্রিভুজে, অতিভুজটি ছোট বাহুর দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ এবং দীর্ঘ বাহুটি ছোট বাহুর দৈর্ঘ্যের √ 3 গুণ :
 
 

সমস্ত ত্রিভুজের জন্য, কোণ এবং বাহুগুলি কোসাইনের সূত্র এবং সাইনের সূত্র দ্বারা সম্পর্কিত।

একটি ত্রিভুজের অস্তিত্ব সম্পাদনা

বাহুর শর্ত সম্পাদনা

ত্রিভুজ অসমীকরণ বলে যে একটি ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি সর্বদা তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্যের চেয়ে বেশি বা সমান হতে হবে। এই সমষ্টি কেবল একটি অবক্ষয়িত ত্রিভুজের ক্ষেত্রে তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্যের সমান হতে পারে, যার শীর্ষবিন্দুগুলি সমরেখ। যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি কখনোই তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্যের চেয়ে কম হওয়া সম্ভব নয়। তিনটি প্রদত্ত ধনাত্মক বাহুর দৈর্ঘ্য সহ একটি ত্রিভুজ বিদ্যমান হয় যদি এবং কেবল যদি সেই বাহুর দৈর্ঘ্যগুলি ত্রিভুজের অসমীকরণ পূরণ করে।

কোণের শর্ত সম্পাদনা

তিনটি প্রদত্ত কোণ একটি অবক্ষয়িত নয় এমন ত্রিভুজ গঠন করে (এবং প্রকৃতপক্ষে অসীম-সংখ্যক) যদি এবং কেবল যদি তা এই দুটি শর্তই পূরণ করে: (ক) প্রতিটি কোণ ধনাত্মক, এবং (খ) কোণগুলির যোগফল ১৮০°। অবক্ষয়িত ত্রিভুজ অনুমোদিত হলে, ০° কোণ অনুমোদিত।

ত্রিকোণমিতিক অবস্থা সম্পাদনা

তিনটি ধনাত্মক কোণ α, β, এবং γ, এদের প্রত্যেকটি ১৮০° এর কম, একটি ত্রিভুজের কোণ যদি এবং কেবল যদি নিম্নলিখিত শর্তগুলির মধ্যে যেকোনো একটি পূরণ করে:

 [৮]
  [৮]
 
  [৯]
 

শেষ সমীকরণটি কেবল তখনই প্রযোজ্য যখন কোনো কোণ ৯০° না হয় (তাই স্পর্শক অপেক্ষকের মান সর্বদা সসীম)।

একটি ত্রিভুজের সাথে যুক্ত বিন্দু, রেখা এবং বৃত্ত সম্পাদনা

এমন হাজার হাজার বিভিন্ন (জ্যামিতিক) অঙ্কন রয়েছে যা একটি ত্রিভুজের সাথে (এবং প্রায়শই ভিতরে) একটি বিশেষ বিন্দুর সাথে সম্পর্কিত, যা কিছু অনন্য বৈশিষ্ট্য মেনে চলে: তাদের একটি সূচির জন্য ত্রিভুজ কেন্দ্রের বিশ্বকোষ নিবন্ধটি দেখুন। প্রায়শই এগুলি তিনটি বাহুর (বা শীর্ষবিন্দু) সাথে একটি প্রতিসম উপায়ে যুক্ত তিনটি লাইন খুঁজে বের করে এবং তারপর প্রমাণ করে যে তিনটি রেখা একটি একক বিন্দুতে মিলিত হয়: এইগুলির অস্তিত্ব প্রমাণ করার একটি গুরুত্বপূর্ণ উপায় হল Ceva এর উপপাদ্য, যা এই ধরনের তিনটি রেখা সমবিন্দুগামী নাকি তা নির্ধারণের একটি মাপকাঠি। একইভাবে, একটি ত্রিভুজের সাথে যুক্ত রেখাগুলিকে প্রায়শই প্রমাণ করে তৈরি করা হয় যে তিনটি প্রতিসমভাবে নির্মিত বিন্দু সমরেখ : এখানে মেনেলাউসের উপপাদ্য একটি দরকারী সাধারণ মানদণ্ড দেয়। এই বিভাগে সাধারণত সম্মুখীন হতে হয় এরকম নির্মাণগুলির মধ্যে কয়েকটি ব্যাখ্যা করা হয়েছে।

 
পরিবৃত্ত হল ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি বৃত্তের কেন্দ্র।

একটি ত্রিভুজের একটি বাহুর একটি লম্ব সমদ্বিখণ্ডক হল একটি সরল রেখা যা বাহুর মধ্যবিন্দুর মধ্য দিয়ে যায় এবং বাহুর সাথে লম্ব হয়, অর্থাৎ বাহুর সাথে একটি সমকোণ তৈরি করে। তিনটি লম্ব সমদ্বিখণ্ডক একটি একক বিন্দুতে, ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র-তে মিলিত হয়, সাধারণত O দ্বারা চিহ্নিত করা হয়; এই বিন্দুটি বৃত্তের কেন্দ্র, বৃত্তটি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দুর মধ্য দিয়ে যাচ্ছে। এই বৃত্তের ব্যাস, যাকে পরিবৃত্তের ব্যাস বলা হয়, যা উপরে উল্লিখিত সাইনের সূত্র থেকে পাওয়া যায়। এই বৃত্তের ব্যাসার্ধকেপরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে।

থ্যালেসের উপপাদ্যটি অনুসারে, যদি পরিকেন্দ্রটি ত্রিভুজের একটি পাশে অবস্থিত হয় তবে বিপরীত কোণটি একটি সমকোণ। যদি পরিকেন্দ্রটি ত্রিভুজের ভিতরে অবস্থিত হয়, তাহলে ত্রিভুজটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ হয়; যদি পরিকেন্দ্রটি ত্রিভুজের বাইরে থাকে, তাহলে ত্রিভুজটি স্থূলকোণী ত্রিভুজ।

 
ত্রিভুজের উচ্চতাগুলির ছেদবিন্দু হল লম্ববিন্দু।

একটি ত্রিভুজের উচ্চতা হল একটি শীর্ষবিন্দু থেকে একটি সরলরেখা যা বিপরীত বাহুর উপর লম্ব (অর্থাৎ বাহুটির সাথে একটি সমকোণ গঠন করে)। এই বিপরীত বাহুটিকে উচ্চতার ভূমি বলা হয় এবং যে বিন্দুটি উচ্চতা ভূমিকে (বা এর সম্প্রসারণকে) ছেদ করে তাকে উচ্চতার পাদবিন্দু বলে। উচ্চতার দৈর্ঘ্য হল ভূমি এবং শীর্ষবিন্দুর মাঝের দূরত্ব। তিনটি উচ্চতা একটি বিন্দুতে ছেদ করে, যাকে ত্রিভুজের লম্ববিন্দু বলা হয়, যা সাধারণত H দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। লম্ববিন্দুটি বা লম্বকেন্দ্রটি ত্রিভুজের ভিতরে থাকে যদি এবং কেবল যদি ত্রিভুজটি সূক্ষ্মকোণী হয়।

 
কোণের সমদ্বিখণ্ডকগুলির ছেদবিন্দু হল অন্তঃবৃত্তের কেন্দ্র।

একটি ত্রিভুজের একটি কোণের সমদ্বিখণ্ডক হল একটি শীর্ষবিন্দুর থেকে একটি সরলরেখা যা সংশ্লিষ্ট কোণটিকে অর্ধেক ভাগে ভাগ করে। তিনটি কোণের সমদ্বিখণ্ডক একটি একক বিন্দুতে ছেদ করে, অন্তঃকেন্দ্র, যাকে সাধারণত I দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, এটি হল ত্রিভুজের অন্তঃবৃত্তের কেন্দ্র। অন্তঃবৃত্ত হল সেই বৃত্ত যা ত্রিভুজের ভিতরে থাকে এবং তিনটি বাহুকে স্পর্শ করে। এর ব্যাসার্ধকে অন্তঃব্যাসার্ধ বলা হয়। আরও তিনটি গুরুত্বপূর্ণ বৃত্ত রয়েছে, বহিঃবৃত্ত ; তারা ত্রিভুজের বাইরে থাকে এবং এক বাহুকে এবং অন্য দু'টিবাহুর বর্ধিতাংশকে স্পর্শ করে। অন্তঃ- এবং বহিঃবৃত্তের কেন্দ্রগুলি একটি লম্বকেন্দ্রিক ব্যবস্থা গঠন করে।

 
মধ্যমার ছেদবিন্দু হল ভরকেন্দ্র

একটি ত্রিভুজের একটি মধ্যমা হল একটি শীর্ষবিন্দু এবং বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুগামী একটি সরলরেখা, এবং ত্রিভুজটিকে দুটি সমান অংশে ভাগ করে। তিনটি মধ্যমা একটি বিন্দুতে ছেদ করে, যাকে ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র বা জ্যামিতিক ব্যারিসেন্টার বলে, এটিকে সাধারণত G দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। একটি অনমনীয় ত্রিভুজাকার বস্তুর ভরকেন্দ্র (একটি অভিন্ন ঘনত্বের একটি পাতলা পাত থেকে কাটা) এটির ভরের কেন্দ্রও : বস্তুটি একটি অভিকর্ষীয় ক্ষেত্রে তার কেন্দ্রে ভারসাম্য বজায় রাখতে পারে। ভরকেন্দ্র প্রতিটি মধ্যমাকে ২:১ অনুপাতে ভাগ করে, অর্থাৎ একটি শীর্ষবিন্দু এবং ভরকেন্দ্রের মধ্যবর্তী দূরত্ব ভরকেন্দ্র এবং বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্বের দ্বিগুণ।

 
নয়-বিন্দু বৃত্ত একটি প্রতিসাম্য প্রদর্শন করে যেখানে ত্রিভুজের প্রান্তে ছয়টি বিন্দু রয়েছে।

কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুর মধ্যবিন্দুত্রয়, শীর্ষবিন্দুগুলো থেকে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব তিনটির পাদবিন্দুত্রয় সমবৃত্তীয় বিন্দু দিয়ে যে বৃত্তটি অতিক্রম করে তাকে নববিন্দু বৃত্ত বলা হয়। বাকি তিনটি বিন্দু যার জন্য এটির এরূপ নামকরণ করা হয়েছে তা হল ত্রিভুজটির লম্বকেন্দ্র থেকে এর প্রতিটি শীর্ষের মধ্যবর্তী রেখাংশের মধ্যবিন্দুত্রয়। নববিন্দু বৃত্তের ব্যাসার্ধ বহিঃবৃত্তের ব্যাসার্ধের অর্ধেক। এটি অন্তঃবৃত্ত ( Feuerbach পয়েন্টে ) এবং তিনটি বহিঃবৃত্তকে স্পর্শ করে।

 
অয়লারের রেখা হল একটি সরল রেখা যা লম্ববিন্দু (লম্বকেন্দ্র) (নীল), নববিন্দু বৃত্তের কেন্দ্র (লাল), ভরকেন্দ্র (কমলা) এবং বহিঃকেন্দ্র (সবুজ)

লম্ববিন্দু (নীল বিন্দু), নববিন্দু বৃত্তের কেন্দ্র (লাল), ভরকেন্দ্র (কমলা) এবং বহিঃকেন্দ্র (সবুজ) সমরেখ, এবং রেখাটি অয়লার রেখা (লাল রেখা) নামে পরিচিত। নববিন্দু বৃত্তের কেন্দ্রটি লম্ববিন্দু এবং বহিঃকেন্দ্রের ঠিক মাঝখানে অবস্থিত এবং ভরকেন্দ্র ও বহিঃকেন্দ্রের মধ্যবর্তী দূরত্ব ভরকেন্দ্র ও লম্ববিন্দুর মাঝের দূরত্বের অর্ধেক।

বৃত্তের অন্তঃকেন্দ্র সাধারণত অয়লার রেখার উপর অবস্থান করে না।

যদি কেউ একটি মধ্যমাকে ওই একই শীর্ষবিন্দুগামী কোণের সমদ্বিখণ্ডকটিতে প্রতিফলিত করে, তাহলে একটি সিমেডিয়ান পাওয়া যায়। তিনটি সিমেডিয়ান একটি বিন্দুতে ছেদ করে, এটি ত্রিভুজের সিমিডিয়ান বিন্দু ।

বাহু এবং কোণ গণনা সম্পাদনা

একটি বাহুর দৈর্ঘ্য বা একটি কোণের পরিমাপের জন্য বিশেষ কিছু পদ্ধতি প্রচলিত রয়েছে। সমকোণী ত্রিভুজে মান গণনার জন্য কিছু পদ্ধতি উপযুক্ত; অন্যান্য পরিস্থিতিতে আরও জটিল কোনো পদ্ধতির প্রয়োজন হতে পারে।

ত্রিভুজ সম্পাদনা

 
একটি সমকোণী ত্রিভুজে সর্বদা একটি ৯০° (π/2 রেডিয়ান) কোণ অন্তর্ভুক্ত থাকে, এখানে C দ্বারা চিহ্নিত। কোণ A এবং B পরিবর্তনশীল। ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য এবং অভ্যন্তরীণ কোণের মধ্যে সম্পর্ক নির্ধারন করে।

সমকোণী ত্রিভুজে, সাইন, কোসাইন এবং ট্যানজেন্টের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত অজ্ঞাত কোণ এবং অজ্ঞাত বাহুর দৈর্ঘ্য খুঁজতে ব্যবহার করা যেতে পারে। ত্রিভুজের বাহুগুলি নিম্নলিখিত রূপে পরিচিত:

  • অতিভুজ হল সমকোণের বিপরীত বাহু, অথবা একটি সমকোণী ত্রিভুজের দীর্ঘতম বাহু হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, এক্ষেত্রে h
  • আমরা যে কোণে আগ্রহী তার বিপরীত দিকের বাহুটি হল বিপরীত বাহু, এই ক্ষেত্রে a
  • আমরা যে কোণে আগ্রহী এবং যেটি সমকোণের সংস্পর্শে আছে সেই বাহুটিই হল সংলগ্ন বাহু, তাই এর নাম এরূপ। এই ক্ষেত্রে সংলগ্ন বাহুটি হল b

সাইন, কোসাইন এবং ট্যানজেন্ট সম্পাদনা

একটি কোণের সাইন (sine) হল বিপরীত বাহুর দৈর্ঘ্য এবং অতিভুজের দৈর্ঘ্যের অনুপাত। এক্ষেত্রে

 

এই অনুপাতটি নির্দিষ্ট কোনো সমকোণী ত্রিভুজের উপর নির্ভর করে না, যতক্ষণ না এটিতে A কোণ থাকে, যেহেতু এই সমস্ত ত্রিভুজ অনুরূপ ত্রিভুজ।

একটি কোণের কোসাইন (cosine) হল অতিভুজের দৈর্ঘ্যের সাথে সংলগ্ন বাহুর দৈর্ঘ্যের অনুপাত। এক্ষেত্রে

 

একটি কোণের ট্যানজেন্ট (tangent) হল বিপরীত বাহুর দৈর্ঘ্য এবং সংলগ্ন বাহুর দৈর্ঘ্যের অনুপাত। এক্ষেত্রে

 

এই অনুপাতগুলির জন্য একটি দরকারী স্মৃতিবর্ধনবিদ্যা দ্বারা প্রকাশিত সংক্ষিপ্ত রূপ হল " SOH-CAH-TOA "৷

বিপরীত অপেক্ষক (ফাংশন) সম্পাদনা

বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলি একটি সমকোণী ত্রিভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলি নির্ণয় করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যদি যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া থাকে।

বিপরীত বাহুর দৈর্ঘ্য এবং অতিভুজের দৈর্ঘ্য থেকে একটি কোণ নির্ণয় করতে আর্কসাইন (arcsin) ব্যবহার করা যেতে পারে

 

সংলগ্ন বাহুর দৈর্ঘ্য এবং অতিভুজের দৈর্ঘ্য থেকে একটি কোণ নির্ণয় করতে আর্ককস (arccos) ব্যবহার করা যেতে পারে

 

বিপরীত বাহুর দৈর্ঘ্য এবং সংলগ্ন বাহুর দৈর্ঘ্য থেকে একটি কোণ নির্ণয় করতে আর্কট্যান (arctan) ব্যবহার করা যেতে পারে

 

প্রারম্ভিক জ্যামিতি এবং ত্রিকোণমিতি পাঠক্রমে, sin−1, cos−1 ইত্যাদি প্রতীক, প্রায়ই আর্কসাইন (arcsin), আর্ককস (arccos) ইত্যাদির জায়গায় ব্যবহৃত হয় তবে, আর্কসাইন (arcsin), আর্ককস (arccos) ইত্যাদি, উচ্চতর গণিতে প্রচলিত (মানক) প্রতীক যেখানে ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলি সাধারণত সূচক বা ঘাত (power)-বিশিষ্ট হয়, তাই গুণাত্মক বিপরীত এবং গঠনগত বিপরীত-এর মধ্যে বিভ্রান্তি এড়াতে এরূপ প্রতীক মানক ব্যবহৃত হয়।

সাইন, কোসাইন এবং ট্যানজেন্ট নিয়ম সম্পাদনা

 
a, b ও c দৈর্ঘ্যের বাহু এবং যথাক্রমে α, β ও γ কোণবিশিষ্ট একটি ত্রিভুজ।

দ্য সাইনের নিয়ম, বা সাইন নিয়ম,[১০] বলে যে একটি বাহুর দৈর্ঘ্যের অনুপাত তার সংশ্লিষ্ট বিপরীত কোণের সাইন ধ্রুবক, অর্থাৎ

 , যেখানে R প্রদত্ত ত্রিভুজের বহিঃবৃত্তের ব্যাসার্ধ।

এই উপপাদ্যের আরেকটি ব্যাখ্যা হল যে প্রতিটি α, β ও γ কোণবিশিষ্ট ত্রিভুজ একটি ত্রিভুজের অনুরূপ যার বাহুগুলির দৈর্ঘ্য sin α, sin β ও sin γ এর সমান। এই ত্রিভুজটি প্রথমে ১ ব্যাসের একটি বৃত্ত তৈরি করে এতে ত্রিভুজের দুটি কোণ অঙ্কন করা যেতে পারে সেই ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য হবে sin α, sin β এবং sin γ। যে বাহুর দৈর্ঘ্য sin α, সেটি α কোণের বিপরীত, ইত্যাদি।

দ্য কোসাইনের সূত্র, বা কোসাইন নিয়ম, একটি ত্রিভুজের অজ্ঞাত বাহুর দৈর্ঘ্যকে অন্য বাহুর দৈর্ঘ্যের সাথে এবং অজ্ঞাত বাহুর বিপরীত কোণকে সংযুক্ত করে[১০] এই সূত্র অনুযায়ী:

a, b, c দৈর্ঘ্যের বাহু এবং যথাক্রমে α, β, γ কোণবিশিষ্ট একটি ত্রিভুজের জন্য, যদি জ্ঞাত দু'টি বাহুর দৈর্ঘ্য a এবং b দেওয়া হয়, এবং প্রদত্ত বাহু দু'টির মাঝের কোণ (বা অজ্ঞাত বাহু, c-এর বিপরীত কোণ), তৃতীয় বাহু, c নির্ণয় করতে, নিম্নলিখিত সূত্রগুলি ব্যবহার করা যেতে পারে:

 
 
 

কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য জানা থাকলে তিনটি কোণ গণনা করা যেতে পারে, নিম্নলিখিত সূত্রগুলি ব্যবহার করে:

 
 
 

দ্য ট্যানজেন্টের সূত্র, বা স্পর্শক নিয়ম, একটি বাহু বা একটি কোণের মান নির্ণয় করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যখন দুটি বাহু এবং একটি কোণ বা দুটি কোণ এবং একটি বাহু প্রদত্ত হয়। এই সূত্রানুযায়ী:[১১]

 

ত্রিভুজ সমাধান সম্পাদনা

"ত্রিভুজগুলির সমাধান" হল প্রধান ত্রিকোণমিতিক সমস্যা: একটি ত্রিভুজের অজ্ঞাত বৈশিষ্ট্যগুলি নির্ণয় করা (তিনটি কোণ, তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য ইত্যাদি) যখন এই বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে অন্তত তিনটি জ্ঞাত হয় (দেওয়া থাকে)। ত্রিভুজটি একটি সমতলে বা একটি গোলকের উপর অবস্থিত হতে পারে। এই সমস্যাটি প্রায়ই বিভিন্ন ত্রিকোণমিতিক প্রয়োগে দেখা যায়, যেমন ভূগণিত, জ্যোতির্বিদ্যা, নির্মাণ, দিক নির্ণয় ইত্যাদি।

ক্ষেত্রফল সম্পাদনা

 
একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল প্রদর্শন করা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, ত্রিভুজগুলির সর্বসমতার মাধ্যমে, একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক যার ভূমির দৈর্ঘ্য এবং উচ্চতা সমান।
 
  সূত্রের একটি চিত্রণ আহরণ যা ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল দ্বিগুণ করা এবং তারপরে অর্ধেক করার প্রথাগত পদ্ধতিকে পরিহার করা যায়।

একটি ত্রিভুজ, T-এর ক্ষেত্রফল গণনা করা একটি প্রাথমিক সমস্যা, বিভিন্ন পরিস্থিতিতে যার সম্মুখীন প্রায়ই হতে হয়। সবচেয়ে পরিচিত এবং সহজ সূত্র হল:

 

যেখানে b হল ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য, এবং h ত্রিভুজের উচ্চতা। "ভূমি" শব্দটি যে কোনও বাহুকে নির্দেশ করে এবং "উচ্চতা" ভূমির বিপরীত শীর্ষ থেকে ভূমি-ধারণকারী রেখার উপর একটি লম্বের দৈর্ঘ্যকে নির্দেশ করে৷ ৪৯৯ খ্রিস্টাব্দে আর্যভট্ট, এই চিত্রিত পদ্ধতিটি ব্যবহার করেছেন আর্যভটীয় (বিভাগ ২.৬)[১২]

যদিও সরল, এই সূত্রটি তখনই উপযোগী হয় যদি উচ্চতা জ্ঞাত হয়, যা সবসময় জ্ঞাত থাকে না। উদাহরণস্বরূপ, একটি ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের জরিপকারীর জন্য প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য পরিমাপ করা তুলনামূলকভাবে সহজ, কিন্তু তিনি ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রটির 'উচ্চতা' নির্মাণ করা তুলনামূলকভাবে কঠিন বলে মনে করতে পারেন। ত্রিভুজ সম্পর্কে কী কী তথ্য প্রদত্ত তার উপর নির্ভর করে অনুশীলনে বিভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করা যেতে পারে। ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য প্রায়শই ব্যবহৃত সূত্রগুলির একটি নির্বাচন নীচে দেওয়া হল। [১৩]

ত্রিকোণমিতির দ্বারা সম্পাদনা

 
উচ্চতা h নির্ণয় করতে ত্রিকোণমিতি প্রয়োগ করা হচ্ছে।

ত্রিকোণমিতি প্রয়োগের মাধ্যমে একটি ত্রিভুজের উচ্চতা নির্ণয় করা যায়।

SAS থেকে পাই: ডানদিকের ছবিতে নির্দেশিত উচ্চতা হল h = a sin   . পূর্বনির্ধারিত,   সূত্রে এটি প্রতিস্থাপন করে, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নিম্নলিখিতরূপে প্রকাশ করা যেতে পারে:

 

(যেখানে A-বিন্দুতে অভ্যন্তরীণ কোণ হল α, B-বিন্দুতে অভ্যন্তরীণ কোণ হল β, C-বিন্দুতে অভ্যন্তরীণ কোণ হল   এবং c রেখাংশ হল AB)।

অধিকন্তু, যেহেতু sin α = sin ( π − α) = sin (β +   ), এবং অনুরূপভাবে অন্য দুটি কোণের জন্য:

 

AAS থেকে পাই:

 

এবং অনুরূপভাবে যদি a বা c বাহু জ্ঞাত (প্রদত্ত) হয়।

ASA থেকে পাই: [১]

 

এবং অনুরূপভাবে যদি b বা c বাহু জ্ঞাত (প্রদত্ত) হয়।

হিরনের সূত্র সম্পাদনা

ত্রিভুজের আকৃতি তার বাহুগুলির দৈর্ঘ্য দ্বারা নির্ধারিত হয়। অতএব, ক্ষেত্রফল বাহুগুলির দৈর্ঘ্য থেকেও নির্ণয় করা যেতে পারে। হিরনের সূত্র দ্বারা:

 

যেখানে   অর্ধ-পরিসীমা বা ত্রিভুজের পরিসীমার অর্ধেক।

হিরনের সূত্র আরও তিনটি সমতুল্য রূপে প্রকাশ করা যায়

 
 
 

সদিক রাশি (ভেক্টর) দ্বারা সম্পাদনা

একটি ত্রিমাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানের মধ্যে স্থাপিত একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল সদিক রাশি ব্যবহার করে নির্ণয় করা যেতে পারে। মনে করা যাক ভেক্টর AB এবং AC যথাক্রমে A থেকে B এবং A থেকে C পর্যন্ত নির্দেশ করে। তবে ABDC সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল

 

যা AB এবং AC ভেক্টরের ক্রস গুণফলের পরম মান। ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল, সামান্তরিকের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক,

 

ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফলকে ডট গুণফলের মাধ্যমে নিম্নরূপে প্রকাশ করা যেতে পারে:

 

দ্বি-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্পেসে, একটি ভেক্টর AB-কে কার্তেসীয় স্থানে একটি মুক্ত ভেক্টর হিসাবে ( x 1, y 1 ) এবং AC-কে ( x 2, y 2 ) এর দ্বারা প্রকাশ করা যায়, এটি আবার নিম্নলিখিতভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে:

 

স্থানাঙ্ক পদ্ধতিতে সম্পাদনা

যদি শীর্ষবিন্দু A একটি কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার মূলবিন্দু (0, 0)-তে অবস্থিত হয় এবং অন্য দুটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি B = (xB, yB) এবং C = (xC, yC) দ্বারা প্রকাশ করা হয়, তবে ক্ষেত্রফল হল নির্ণায়কের পরম মানের অর্ধেক বা গুণ

 

তিনটি সাধারণ শীর্ষবিন্দুর জন্য, সমীকরণটি হল:

 

যা আবার নিম্নরূপেও প্রকাশ করা যেতে পারে

 

যদি বিন্দুগুলিকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে অনুক্রমিকভাবে চিহ্নিত করা হয়, উপরের নির্ণায়কের রাশিমালা ধনাত্মক তাই পরম মান চিহ্নগুলি বর্জন করা যেতে পারে। [১৪] উপরের সূত্রটি জুতার ফিতার সূত্র (shoelace formula) বা সার্ভেয়ারের সূত্র নামে পরিচিত।

যদি আমরা জটিল তলে শীর্ষবিন্দুগুলিকে চিহ্নিত করি এবং তাদেরকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত ক্রমানুসারে a = xA + yAi, b = xB + yBi, এবং c = xC + yCi দ্বারা চিহ্নিত করি, এবং তাদের জটিল অনুবন্ধীগুলিকে  ,  , এবং   হিসাবে চিহ্নিত করি, তাহলে নিম্নলিখিত সূত্রটি

 

জুতার ফিতা (shoelace) সূত্রের সমতুল্য।

ত্রিমাত্রিক স্থানে, A = (xA, yA, zA), B = (xB, yB, zB) এবং C = (xC, yC, zC ) বিশিষ্ট একটি সাধারণ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হল তিনটি প্রধান সমতল (যেমন x = 0, y = 0 এবং z = 0)-এর উপর অভিক্ষেপ ক্ষেত্রগুলির পাইথাগোরিয়ান সমষ্টি :

96 

রৈখিক সমাকল (লাইন ইন্টিগ্রেল) ব্যবহার করে সম্পাদনা

যেকোনো বক্ররেখার দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্র, যেমন একটি ত্রিভুজ-এর ক্ষেত্রফল, একটি কাল্পনিক সরলরেখা L থেকে বক্ররেখার উপর একটি বিন্দুর বীজগাণিতিক বা চিহ্নযুক্ত দূরত্ব বেষ্টনকারী বক্ররেখার রৈখিক সমাকল ব্যবহার করে নির্ণয় করা যায়। ভিত্তি হিসাবে L- এর ডানদিকের বিন্দুগুলিকে L থেকে ঋণাত্মক দূরত্বে নেওয়া হয়, এবং সমাকলের মাত্রাকে চাপের দৈর্ঘ্যের পরিবর্তে L- এর সমান্তরালে চাপের দৈর্ঘ্যের উপাংশ হিসাবে নেওয়া হয়।

এই পদ্ধতিটি একটি যদৃচ্ছ বহুভুজের ক্ষেত্রফল গণনার জন্য উপযুক্ত। L-কে x- অক্ষ ধরে, ক্রমিক শীর্ষবিন্দু (xi,yi) এবং (xi+1,yi+1)-এর মধ্যে রৈখিক সমাকল হল ভূমি গুণ গড় উচ্চতা, যথা (xi+1xi)(yi + yi+1)/2. ক্ষেত্রফলের চিহ্ন হল পরিক্রমের দিকের একটি সামগ্রিক সূচক, ঋণাত্মক ক্ষেত্রফল ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে পরিক্রমা নির্দেশ করে। একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল তিনটি বাহুবিশিষ্ট বহুভুজ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে।

যদিও রৈখিক সমাকল পদ্ধতিতে অন্যান্য স্থানাঙ্ক-ভিত্তিক পদ্ধতির সাথে একটি যদৃচ্ছ স্থানাঙ্ক পদ্ধতির মিল রয়েছে, এটি অন্যান্য পদ্ধতির থেকে ভিন্ন, ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুকে মূলবিন্দু বা ভিত্তি হিসাবে কোনো বাহু যদৃচ্ছ নির্বাচন করে না। তদুপরি, L দ্বারা সংজ্ঞায়িত স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার বিকল্পটি প্রচলিত তিনটি স্বাধীন মাত্রার পরিবর্তে মাত্র দুইটির প্রতিশ্রুতি দেয়, যেহেতু স্থানীয় দূরত্বের মাত্রা (উদাহরণস্বরূপ উপরের xi+1xi) যেখানে পদ্ধতিতে L-এর উপর লম্ব একটি অক্ষ নির্বাচন করার প্রয়োজন হয় না।

পোলার স্থানাংক ব্যবস্থায়, রৈখিক সমাকল ব্যবহার করার জন্য কার্তেসীয় স্থানাংক ব্যবস্থায় রূপান্তর করার প্রয়োজন নেই, যেহেতু বহুভুজের ধারাবাহিক শীর্ষবিন্দু (rii) এবং (ri+1i+1)-এর মধ্যে রৈখিক সমাকল riri+1sin(θi+1 − θi)/2 দ্বারা প্রকাশ করা যায়। এটি θ-এর সকল মানের জন্য বৈধ, যদিও |θ|, π-এর চেয়ে অনেক বেশি মাত্রার হলে সংখ্যাসূচক নির্ভুলতা কিছুটা হ্রাস পায়। এই সূত্রের দ্বারা ঋণাত্মক ক্ষেত্রফল ঘড়ির কাঁটার দিকে পরিক্রম নির্দেশ করে, যা পোলার এবং কার্তেসীয় স্থানাংকগুলি মিশ্রিত করার সময় অনুধাবন করা উচিত। ঠিক যেমন y- অক্ষ (x = 0) নির্বাচন করা কার্তেসীয় স্থানাংকগুলিতে রৈখিক সমাকলের জন্য অপ্রয়োজনীয়, তেমনই শূন্য নির্দেশকারী (θ = 0) নির্বাচন করা এখানে অপ্রাসঙ্গিক.

হিরন-এর সূত্রের অনুরূপ সূত্র সম্পাদনা

তিনটি সূত্রের গঠন হিরনের সূত্রের মতোই কিন্তু ভিন্ন ভিন্ন চলকের ভিত্তিতে প্রকাশ করা হয়। প্রথমত, a, b, এবং c বাহু থেকে মধ্যমাকে যথাক্রমে m a, m b, এবং m c এবং তাদের অর্ধ-সমষ্টি (ma + mb + mc)/2 σ হিসাবে চিহ্নিত করে, আমরা পাই [১৫]

 

পরবর্তীতে, a, b এবং, c বাহু থেকে যথাক্রমে ha, hb এবং, hc, উচ্চতা নির্দেশ করে এবং উচ্চতার অন্যনোকগুলির অর্ধ-সমষ্টিকে  নির্দেশ করে,আমরা পাই[১৬]

 

এবং কোণগুলির সাইনগুলির অর্ধ-সমষ্টিকে নির্দেশ করে S = [(sin α) + (sin β) + (sin γ)]/2, আমরা পাই[১৭]

 

যেখানে D হল বৃত্তের ব্যাস:  

পিকের উপপাদ্য ব্যবহার করে সম্পাদনা

যদৃচ্ছ জালি বহুভুজের (একটি গরাদের উপর সমান দূরত্বে উল্লম্ব এবং অনুভূমিকভাবে সংলগ্ন জালি বিন্দু এবং জালি বিন্দুতে শীর্ষবিন্দু সহ বহুভুজ অঙ্কিত) ক্ষেত্রফল নির্ণয় করার কৌশলের জন্য পিকের উপপাদ্যটি দেখা যেতে পারে।

উপপাদ্যটি বিবৃত করে:

 

যেখানর   অভ্যন্তরীণ জালি বিন্দুর সংখ্যা এবং B হল বহুভুজের সীমানায় থাকা জালি বিন্দুর সংখ্যা।

অন্যান্য এলাকার সূত্র সম্পাদনা

অন্যান্য অনেক ক্ষেত্রফলের সূত্র বিদ্যমান, যেমন

 

যেখানে r হল অন্তঃব্যাসার্ধ, এবং s হল অর্ধপরিসীমা (আসলে, এই সূত্রটি সমস্ত স্পর্শক বহুভুজের জন্য প্রযোজ্য), এবং [১৮] :Lemma ২

 

যেখানে   ব্যাসার্ধগুলি যথাক্রমে a, b, c বাহুর বহিঃবৃত্তের স্পর্শক।

আমরা আরো পাই

 

এবং [১৯]

 

যেখানে পরিবৃত্তের ব্যাস D; এবং [২০]

 

α ≠ ৯০° কোণের জন্য

এলাকাটিকে আবার নিম্নলিখিভাবেও প্রকাশ করা যেতে পারে [২১]

 

১৮৮৫ সালে, বেকার [২২] ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য শতাধিক স্বতন্ত্র সূত্রের একটি সংগ্রহ বের করেন। এর মধ্যে রয়েছে:

 
 
 
 

পরিবৃত্তের জন্য (পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ) R, এবং

 

ক্ষেত্রফলের উর্দ্ধসীমা সম্পাদনা

পরিসীমা p সহ যেকোনো ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল T নিম্নলিখিত অসমীকরণটি সিদ্ধ করে

 

যদি এবং কেবল যদি ত্রিভুজটি সমবাহু হয় তবেই উভয়পক্ষ সমান হয়। [২৩] [২৪] :৬৫৭

T ক্ষেত্রের অন্যান্য উর্দ্ধসীমা [২৫] নিম্নলিখিত অসমীকরণ দ্বারা প্রকাশ করা যায় :p.২৯০

 

এবং

 

যদি এবং কেবল যদি ত্রিভুজটি সমবাহু হয় তাহলে উভয় পক্ষই সমান হয়।

ক্ষেত্রকে দ্বিখণ্ডিত করা সম্পাদনা

একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলকে সমদ্বিখণ্ডিত করে এমন অসংখ্য রেখা রয়েছে। [২৬] তাদের মধ্যে তিনটি হল মধ্যমা, যা একমাত্র ক্ষেত্রফলের সমদ্বিখণ্ডক যা ভরকেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যায়। ত্রিভুজের বাহুগুলির সমান্তরাল আরও তিনটি ক্ষেত্রফল সমদ্বিখন্ডক রয়েছে।

একটি ত্রিভুজের মধ্য দিয়ে যেকোনো রেখা যা ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল এবং এর পরিধি উভয়কে অর্ধেক ভাগ করে তা ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্রগামী। যেকোনো প্রদত্ত ত্রিভুজের জন্য এর সংখ্যা এক, দুই বা তিন হতে পারে।

সাধারণ ইউক্লিডীয় ত্রিভুজগুলির জন্য আরও সূত্র সম্পাদনা

এই বিভাগের সূত্রগুলি সমস্ত ইউক্লিডীয় ত্রিভুজের জন্য সত্য।

মধ্যক, কোণ সমদ্বিখণ্ডক, লম্ব বাহুদ্বিখণ্ডক, এবং উচ্চতা সম্পাদনা

মধ্যমা এবং বাহুগুলি [২৭] নিম্নলিখিত সমীকরণ দ্বারা সম্পর্কিত :p.৭০

 

এবং

 ,

এবং অনুরূপভাবে m b এবং m c এর জন্য।

A কোণের বিপরীত বাহু a এর জন্য, অভ্যন্তরীণ কোণ সমদ্বিখণ্ডকের দৈর্ঘ্য [২৮] নিম্নরূপে প্রকাশ করা যায়

 

অর্ধপরিসীমা s এর জন্য, যেখানে সমদ্বিখন্ডকের দৈর্ঘ্য হল শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর উপর ছেদবিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব।

অভ্যন্তরীণ লম্ব সমদ্বিখণ্ডক নিম্নরূপে প্রকাশ করা যায়

 
 
 

যেখানে বাহু   এবং ক্ষেত্রফল হল   [২৯] :Thm ২

উদাহরণস্বরূপ, a দৈর্ঘ্যের বাহু থেকে উচ্চতা

 

বহিঃব্যাসার্ধ এবং অন্তঃব্যাসার্ধ সম্পাদনা

নিম্নলিখিত সূত্রগুলি বহিঃব্যাসার্ধ R এবং অন্তঃব্যাসার্ধ r জড়িত:

 
 
 

যেখানে h a ইত্যাদি হল নিম্নলেখ (সাবস্ক্রিপ্ট করা) বাহুগুলির উচ্চতা; [২৭] :p.৭৯

 [৯]

এবং

 .

একটি ত্রিভুজের দুই বাহুর গুণফল বৃত্তের ব্যাস D এবং তৃতীয় বাহুর উচ্চতার গুণফলের সমান: [২৭] :p.৬৪

 

সংলগ্ন ত্রিভুজ সম্পাদনা

ধরা যাক দুটি সংলগ্ন কিন্তু অসমাপতিত ত্রিভুজ f দৈর্ঘ্যের একটি সাধারণ বাহু রয়েছে এবং সাধারণ একটি বহিঃবৃত্ত রয়েছে, যাতে f দৈর্ঘ্যের বাহুটি বহিঃবৃত্তের একটি জ্যা এবং ত্রিভুজদু'টির বাহুর দৈর্ঘ্যগুলি হল ( a, b, f ) এবং ( c, d, f ), দু'টি ত্রিভুজ একত্রে একটি বৃত্তীয় চতুর্ভুজ গঠন করে যার বাহুর দৈর্ঘ্য ক্রমানুসারে ( a, b, c, d )। তবে [৩০] :৮৪

 

ভরকেন্দ্র সম্পাদনা

ধরা যাক A, B, এবং C শীর্ষবিন্দুসহ একটি ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র G এবং P হল যেকোনো অভ্যন্তরীণ বিন্দু। তবে বিন্দুগুলির মাঝের দূরত্ব [৩০] নিম্নলিখিত সমীকরণ দ্বারা সম্পর্কিত :১৭৪

 

ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যের বর্গের সমষ্টি, শীর্ষবিন্দুত্রয় থেকে ভরকেন্দ্রের দূরত্বের বর্গের সমষ্টির তিনগুণ সমান:

  [৩১]

ধরা যাক q a, q b, এবং q c হল ভরকেন্দ্র থেকে a, b, এবং c দৈর্ঘ্যের বাহুর দূরত্ব। তবে [৩০] :১৭৩

 

এবং

 

T ক্ষেত্রফলের জন্য।

পরিকেন্দ্র, অন্তঃকেন্দ্র এবং লম্ববিন্দু সম্পাদনা

কার্নোটের উপপাদ্যে বিবৃত হয়েছে যে বহিঃকেন্দ্র থেকে তিনটি বাহুর দূরত্বের যোগফল বহিঃব্যাসার্ধ এবং অন্তঃব্যাসার্ধের যোগফলের সমান। [২৭] :p.৮৩এখানে রেখাংশের দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক বলে বিবেচিত হবে যদি এবং কেবল যদি রেখাংশটি সম্পূর্ণরূপে ত্রিভুজের বাইরে থাকে। এই পদ্ধতিটি বিশেষ করে আরো দুরূহ ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্য নির্ণয়ের জন্য উপযোগী, যেমন লাই বীজগণিত দ্বারা প্রণোদিত, অন্যথায় সাধারণ ত্রিভুজের মতো একই বৈশিষ্ট্য রয়েছে।

অয়লারের উপপাদ্য বিবৃত করে যে পরিকেন্দ্র এবং অন্তঃকেন্দ্রের মধ্যে দূরত্ব d [২৭] দ্বারা নির্দেশিত হয় :p.৮৫

 

বা সমতুল্যভাবে

 

যেখানে R হল পরিকেন্দ্র এবং r হল অন্তঃকেন্দ্র। তাই সকল ত্রিভুজের জন্য R ≥ 2 r, সমবাহু ত্রিভুজের জন্য সমতা বিধান করে।

যদি আমরা সূচিত করি যে লম্ববিন্দু একটি উচ্চতাকে u এবং v দৈর্ঘ্যের অংশে ভাগ করে, আরেকটি উচ্চতাকে w এবং x দৈর্ঘ্যের অংশে এবং তৃতীয় উচ্চতাকে y এবং z দৈর্ঘ্যের অংশে ভাগ করে, তাহলে uv = wx = yz[২৭] :p.৯৪

একটি বাহু থেকে পরিকেন্দ্রের দূরত্ব বিপরীত শীর্ষবিন্দু থেকে লম্ববিন্দু অবধি দূরত্বের অর্ধেক। [২৭] :p.৯৯

শীর্ষবিন্দুত্রয় থেকে লম্ববিন্দু H পর্যন্ত দূরত্বের বর্গ এবং বাহুত্রয়ের দৈর্ঘ্যের বর্গের সমষ্টি, পরিব্যাসার্ধের বর্গের বারো গুণের সমান: [২৭] :p.১০২

 

কোণ সম্পাদনা

সাইন নিয়ম ছাড়াও, কোসাইনের সূত্র, ট্যানজেন্টের সূত্র (স্পর্শক আইন) এবং ত্রিকোণমিতিক অস্তিত্বের শর্তগুলি আগেই দেওয়া হয়েছে, যেকোনো ত্রিভুজের জন্য

 

মোর্লির ত্রিখণ্ডক (ট্রাইসেক্টর) উপপাদ্য সম্পাদনা

 
মোর্লি ত্রিভুজ, প্রতিটি অভ্যন্তরীণ কোণের ত্রিখণ্ডনের ফলে উৎপন্ন হয়। এটি সসীম উপবিভাগ নিয়মের একটি উদাহরণ।

মোর্লির ত্রিখণ্ডক (ট্রাইসেক্টর) উপপাদ্য বিবৃত করে যে, যেকোনো ত্রিভুজে, সন্নিহিত কোণ ত্রিখণ্ডকের ছেদকের তিনটি বিন্দু একটি সমবাহু ত্রিভুজ গঠন করে, যাকে মোর্লি ত্রিভুজ বলা হয়।

একটি ত্রিভুজে অন্তর্লিখিত চিত্র সম্পাদনা

শঙ্কুচ্ছেদ (কনিক্স) সম্পাদনা

উপরে আলোচনা করা হয়েছে, প্রতিটি ত্রিভুজে একটি অনন্য বৃত্ত অন্তর্লিখিত (অন্তঃবৃত্ত) রয়েছে যা ত্রিভুজের অভ্যন্তরে এবং ত্রিভুজের তিনটি বাহু বৃত্তটির স্পর্শক।

প্রতিটি ত্রিভুজের একটি অনন্য স্টেইনার অন্তঃউপবৃত্ত (ইনলিপ্স) রয়েছে যা ত্রিভুজের অভ্যন্তরীণ এবং বাহুর মধ্যবিন্দুতে স্পর্শক। মার্ডেনের উপপাদ্য দেখায় কিভাবে এই উপবৃত্তের নাভি নির্ণয় করা যায়। [৩২] এই উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল সর্বাধিক, ত্রিভুজে অন্তর্লিখিত যেকোনো উপবৃত্ত ত্রিভুজের তিনটি বাহু যার স্পর্শক, তার ক্ষেত্রফলের তুলনায়।

একটি ত্রিভুজের ম্যান্ডার্ট অন্তঃউপবৃত্ত (ইনলিপ্স) হল ত্রিভুজে অন্তর্লিখিত উপবৃত্ত যা ত্রিভুজটির বহিঃবৃত্তের সংযোগ বিন্দুতে বাহুত্রয়ের স্পর্শক।

ABC ত্রিভুজে অন্তর্লিখিত যেকোনো উপবৃত্তের জন্য, যদি P এবং Q উপবৃত্তের নাভি হয়, তবে[৩৩]

 

উত্তল বহুভুজ সম্পাদনা

T ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট প্রতিটি উত্তল বহুভুজ সর্বোচ্চ 2T- এর সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট ত্রিভুজে অন্তর্লিখিত হতে পারে। একটি সামান্তরিকের জন্য সমতা সাধন হয় (কেবলমাত্র)। [৩৪]

ষড়ভুজ সম্পাদনা

লেমোইন ষড়ভুজ হল একটি চক্রাকার ষড়ভুজ যার শীর্ষবিন্দুগুলি একটি ত্রিভুজের বাহুত্রয়ের সমান্তরাল তিনটি রেখাংশের সাথে বাহুত্রয়ের ছয়টি ছেদবিন্দু দ্বারা প্রদত্ত যা সিমিডিয়ান বিন্দুগামী। হয় তার সরল আকারে বা এর স্ব-ছেদকারী আকারে, লেমোইন ষড়ভুজটি ত্রিভুজের অভ্যন্তরস্থ, এবং ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুতে দুইটি করে শীর্ষবিন্দু রয়েছে।

বর্গক্ষেত্র সম্পাদনা

প্রতিটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের তিনটি অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্র রয়েছে (ত্রিভুজের অভ্যন্তরে বর্গক্ষেত্রগুলি এমন যে, একটি বর্গক্ষেত্রের চারটি শীর্ষবিন্দু ত্রিভুজের বাহুর উপর থাকে, তাই দুইটি শীর্ষবিন্দু একটি বাহুর উপর থাকে এবং তাই বর্গক্ষেত্রের একটি বাহু ত্রিভুজের একটি বাহুর অংশের সাথে সমাপতিত হয়) । একটি সমকোণী ত্রিভুজে দু'টি বর্গক্ষেত্র সমাপতিত হয় এবং ত্রিভুজের সমকোণে একটি শীর্ষবিন্দু থাকে, তাই একটি সমকোণী ত্রিভুজে কেবল দুটি স্বতন্ত্র অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্র থাকে। একটি স্থূলকোণী ত্রিভুজে শুধু একটি অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্র থাকে, যার একটি বাহু ত্রিভুজের দীর্ঘতম বাহুর অংশের সাথে সমাপতিত হয়। একটি প্রদত্ত ত্রিভুজের মধ্যে, একটি দীর্ঘ সাধারণ বাহু একটি ছোট অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের সাথে যুক্ত। যদি একটি অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের q a দৈর্ঘ্যের বাহু থাকে এবং ত্রিভুজটির a দৈর্ঘ্যের একটি বাহু থাকে, যার একটি অংশ বর্গক্ষেত্রের একটি বাহুর সাথে সমাপতিত হয়, তাহলে q a, a, a থেকে উচ্চতা h a, এবং ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল T [৩৫] [৩৬] নীচের শর্তানুসারে সম্পর্কিত

 

অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সাথে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সম্ভাব্য বৃহত্তম অনুপাত হল ১/২, যা সংঘটিত হয় যখন a2 = 2T, q = a/2, এবং a দৈর্ঘ্যের ভূমি থেকে ত্রিভুজের উচ্চতা a এর সমান হয়। একটি অ-স্থূলকোণী ত্রিভুজে একটি অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের বাহুর সাথে একই ত্রিভুজে অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের বাহুর সম্ভাব্য ক্ষুদ্রতম অনুপাতটি হল   [৩৬] এই উভয় চরম নজির সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রে দেখা যায়।

ত্রিভুজ সম্পাদনা

একটি অভিসম্বন্ধ (রেফারেন্স) ত্রিভুজের একটি অভ্যন্তরীণ বিন্দু থেকে, তিনটি বাহুর নিকটতম বিন্দুগুলি প্যাডেল ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু সরবরাহ করে। যদি অভ্যন্তরীণ বিন্দুটি অভিসম্বন্ধ ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র হয়, তাহলে প্যাডেল ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি অভিসম্বন্ধ ত্রিভুজের বাহুর মধ্যবিন্দু হয় এবং তাই প্যাডেল ত্রিভুজটিকে মধ্যবিন্দু ত্রিভুজ বলা হয়। মধ্যবিন্দু ত্রিভুজ অভিসম্বন্ধ ত্রিভুজটিকে চারটি সর্বসম ত্রিভুজে বিভক্ত করে যা অভিসম্বন্ধ ত্রিভুজের সদৃশ।

একটি অভিসম্বন্ধ ত্রিভুজের জারগন (Gergonne) ত্রিভুজ বা অন্তঃস্পর্শী (ইনটাচ) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি হল অভিসম্বন্ধ ত্রিভুজের অন্তঃবৃত্ত এবং তার বাহুর স্পর্শকতার তিনটি বিন্দু। একটি অভিসম্বন্ধ ত্রিভুজের বহিঃস্পর্শী (এক্সটাচ) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি রয়েছে অভিসম্বন্ধ ত্রিভুজের বহিঃবৃত্ত এবং তার বাহুর (প্রসারিত নয়) স্পর্শকতার বিন্দুতে।

একটি ত্রিভুজ বেষ্টনকারী আকারগুলি সম্পাদনা

একটি অভিসম্বন্ধ ত্রিভুজের স্পর্শক ত্রিভুজ (একটি সমকোণী ত্রিভুজ ব্যাতীত) হল সেই ত্রিভুজ যার বাহুগুলি (শীর্ষবিন্দু) অভিসম্বন্ধ ত্রিভুজের পরিবৃত্তের স্পর্শক রেখার উপর অবস্থিত।

উপরে উল্লিখিত, প্রতিটি ত্রিভুজের একটি অনন্য বৃত্ত রয়েছে, একটি বৃত্ত যা তিনটি শীর্ষবিন্দুগামী, যার কেন্দ্রটি ত্রিভুজের বাহুর লম্ব সমদ্বিখণ্ডকগুলির ছেদবিন্দু।

উপরন্তু, প্রতিটি ত্রিভুজের একটি অনন্য স্টেইনার বহিঃউপবৃত্ত থাকে, যা ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগামী এবং এর কেন্দ্র থাকে ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রে। ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগামী সমস্ত উপবৃত্তের মধ্যে এটির ক্ষেত্রফল ক্ষুদ্রতম।

কিপার্ট পরাবৃত্ত (হাইপারবোলা) হল একটি অনন্য কনিক যা ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু, ভরকেন্দ্র এবং পরিকেন্দ্রগামী।

প্রদত্ত উত্তল বহুভুজে থাকা সমস্ত ত্রিভুজের মধ্যে সর্বাধিক ক্ষেত্রফল সহ একটি ত্রিভুজ রয়েছে যার শীর্ষবিন্দুগুলি প্রদত্ত বহুভুজের সমস্ত শীর্ষবিন্দু। [৩৭]

একটি ত্রিভুজের মধ্যে একটি বিন্দুর অবস্থান নির্দিষ্ট করা সম্পাদনা

একটি ত্রিভুজের ভেতরের (বা বাইরের) বিন্দুগুলির অবস্থান সনাক্ত করার একটি উপায় হল কার্তেসীয় সমতলে ত্রিভুজটিকে একটি যদৃচ্ছ অবস্থানে স্থাপন করা এবং কার্তেসীয় স্থানাংক ব্যবস্থা ব্যবহার করা। অনেক ক্ষেত্রে সুবিধাজনক হলেও, এই পদ্ধতির সমস্ত পয়েন্টের স্থানাঙ্কের মান সমতলে যদৃচ্ছ স্থাপনের উপর নির্ভরশীল হওয়ার অসুবিধাও রয়েছে।

দুটি ব্যবস্থা সেই বৈশিষ্ট্যটি পরিহার করে, যাতে একটি বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি ত্রিভুজটিকে সরানো, ঘোরানো, বা একটি আয়নার সাপেক্ষে প্রতিফলিত করার দ্বারা প্রভাবিত না হয়, যার মধ্যে যেকোনোটি দ্বারা আমরা একটি সর্বসম ত্রিভুজ পাই, বা এমনকি এটিকে পুনর্বিন্যাস করলে একটি সদৃশ ত্রিভুজ পাই :

  • ত্রিলিখিক স্থানাঙ্কগুলি বাহু থেকে একটি বিন্দুর আপেক্ষিক দূরত্ব সুনির্দিষ্ট করে, যাতে স্থানাঙ্কগুলি   নির্দেশ করে যে প্রথম বাহু থেকে বিন্দুর দূরত্ব এবং দ্বিতীয় বাহু থেকে দূরত্বের অনুপাত  , ইত্যাদি
  •   আকারের ব্যারিসেন্ট্রিক স্থানাঙ্ক প্রদত্ত বিন্দুতে অন্যথায় ওজনহীন ত্রিভুজের ভারসাম্য বজায় রাখার জন্য ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দুতে যে ওজন স্থাপন করতে হবে তার সাপেক্ষে বিন্দুর অবস্থান নির্দিষ্ট করে।

অসামতলিক (নন-প্লানার) ত্রিভুজ সম্পাদনা

একটি অসামতলিক (নন-প্লানার) ত্রিভুজ হল একটি ত্রিভুজ যা একটি সমতলের উপর অবস্থান করে না। অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে অসামতলিক ত্রিভুজের কিছু উদাহরণ হল গোলাকার জ্যামিতিতে গোলাকার ত্রিভুজ এবং পরাবৃত্তীয় (হাইপারবোলিক) জ্যামিতিতে পরাবৃত্তীয় (হাইপারবোলিক) ত্রিভুজ ।

যদিও সামতলিক ত্রিভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলির সমষ্টি সর্বদা ১৮০ ° হয়, একটি পরাবৃত্তীয় ত্রিভুজের কোণগুলির সমষ্টি ১৮০° এর কম হয় এবং একটি গোলাকার ত্রিভুজের কোণগুলির সমষ্টি ১৮০° এর বেশি হয়। একটি পরাবৃত্তীয় ত্রিভুজ একটি ঋণাত্মকভাবে ন্যুব্জ পৃষ্ঠের উপর অঙ্কন করে পাওয়া যায়, যেমন একটি স্যাডল পৃষ্ঠ, এবং একটি গোলকের মতো একটি ধনাত্মকভাবে ন্যুব্জ পৃষ্ঠে অঙ্কন করে একটি গোলাকার ত্রিভুজ পাওয়া যায়। এইরূপে, কেউ যদি পৃথিবীর পৃষ্ঠে একটি অতিকায় ত্রিভুজ অঙ্কন করে, তবে কেউ দেখতে পাবে যে এর কোণগুলির সমষ্টি ১৮০° এর চেয়ে বেশি; প্রকৃতপক্ষে এটি ১৮০° এবং ৫৪০° এর মধ্যে হবে। [৩৮] বিশেষত একটি গোলকের উপর একটি ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব যাতে এর প্রতিটি অভ্যন্তরীণ কোণের পরিমাপ ৯০° এর সমান হয়, যার সমষ্টি ২৭০° পর্যন্ত হতে পারে।

বিশেষত, একটি গোলকের উপর একটি ত্রিভুজের কোণগুলির সমষ্টি

180° × (1 + 4 f),

যেখানে f হল গোলকের ক্ষেত্রফলের অংশ যা ত্রিভুজ দ্বারা বেষ্টিত। উদাহরণস্বরূপ, ধরা যাক আমরা পৃথিবীপৃষ্ঠে একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করি শীর্ষবিন্দুগুলি উত্তর মেরুতে, বিষুবরেখার মূল মধ্যরেখা (০° দ্রাঘিমারেখা) একটি বিন্দুতে এবং বিষুবরেখার ৯০° পশ্চিম দ্রাঘিমারেখা একটি বিন্দুতে। শেষের দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী মহাবৃত্ত রেখাটি হল বিষুবরেখা, এবং সেই বিন্দু দু'টির যে কোনো একটির এবং উত্তর মেরুর মধ্যবর্তী বৃহৎ বৃত্ত রেখাটি হল একটি দ্রাঘিমারেখা; তাই বিষুবরেখার দুটি বিন্দুতে সমকোণ রয়েছে। অধিকন্তু, উত্তর মেরুতে কোণটিও ৯০° কারণ অন্য দুটি শীর্ষবিন্দু ৯০° দ্রাঘিমাংশ দ্বারা পৃথক। সুতরাং এই ত্রিভুজের কোণগুলির সমষ্টি হল 90° + 90° + 90° = 270° । ত্রিভুজটি উত্তর গোলার্ধের ১/৪ অংশ (৯০°/৩৬০° উত্তর মেরুর পরিপ্রেক্ষিতে) এবং তাই সমগ্র পৃথিবীপৃষ্ঠের ১/৮ ভাগ, তাই সূত্রে f = 1/8 ; এইরূপে সূত্রটি সঠিকভাবেই ত্রিভুজের কোণগুলির সমষ্টি ২৭০° প্রদান করে।

উপরিউক্ত কোণের সমষ্টির সূত্র থেকে আমরা আরও লক্ষ্য করতে পারি যে পৃথিবীর পৃষ্ঠে স্থানীয়ভাবে সমতল: যদি আমরা পৃথিবীর পৃষ্ঠের একটি বিন্দুর আশেপাশে একটি যদৃচ্ছ ছোট ত্রিভুজ আঁকি, তাহলে ত্রিভুজ দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রফল যা পৃথিবীপৃষ্ঠের f অংশ হবে যা শূন্যের নিকটবর্তী। এই ক্ষেত্রে কোণের সমষ্টির সূত্রটি ১৮০°-তে পরিণত হয়, যা ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে সমতল পৃষ্ঠের ত্রিভুজগুলির জন্য সত্য।

নির্মাণকার্যে ত্রিভুজ সম্পাদনা

 
নিউইয়র্কের ফ্ল্যাটিরন বিল্ডিংটি একটি ত্রিভুজাকার প্রিজমের আকৃতির

আয়তক্ষেত্র অট্টালিকার জন্য সাধারণ জ্যামিতিক আকার এবং সবচেয়ে জনপ্রিয় হয়েছে কারণ আকারটি স্তূপাকারে রাখা যায় এবং সংগঠিত করা সহজ; একটি মানদন্ড হিসাবে, আয়তাকার আকৃতির অট্টালিকার ভিতরে খাপ খাওয়ানোর জন্য আসবাবপত্র এবং দৃঢ়সংলগ্ন আসবাব (ফিক্সচার) উদ্ভাবন করা সহজ। কিন্তু ত্রিভুজ, ধারণাগতভাবে ব্যবহার করা আরও কঠিন হলেও প্রচুর শক্তি প্রদান করে। যেহেতু কম্পিউটার প্রযুক্তি স্থপতিদের সৃজনশীল নতুন অট্টালিকা উদ্ভাবন করতে সাহায্য করে, তাই ত্রিভুজাকার গঠনগুলি অট্টালিকার অংশ হিসাবে এবং কিছু ধরণের আকাশচুম্বী ভবনের সাথে নির্মাণ সামগ্রীর প্রাথমিক আকৃতি হিসাবে ক্রমবর্ধমানভাবে প্রচলিত হয়ে উঠছে। ১৯৮৯ সালে টোকিওতে, স্থপতিরা ভেবেছিলেন যে এই ঘনবসতিপূর্ণ শহরের জন্য সাশ্রয়ী মূল্যের দপ্তরের স্থান সরবরাহ করার জন্য ৫০০-তলা মিনার (টাওয়ার) তৈরি করা সম্ভব কি না, কিন্তু ভূমিকম্পের কারণে ভবনগুলির বিপদের জন্য, স্থপতিরা মনে করেছিলেন যে যদি এমন একটি ভবন নির্মাণ করতে হয় তবে ত্রিভুজাকার গঠনের প্রয়োজন।[৩৯]

নিউ ইয়র্ক শহরে, ব্রডওয়ের প্রধান রাস্তাগুলিকে আড়াআড়িভাবে ছেদ করে, ফলে ব্লকগুলি ত্রিভুজের মতো বিভক্ত হয় এবং এই আকারগুলির উপর ভবনগুলি তৈরি করা হয়; এরকম ত্রিভুজাকার গঠনের একটি বিল্ডিং হল ফ্ল্যাটিরন বিল্ডিং যা স্থাবর ভূসম্পত্তি (রিয়েল এস্টেট)-এর লোকেরা স্বীকার করে যে "আধুনিক দপ্তরের আসবাবপত্র সহজে সমন্বয়বিধান করে না এমন বেমানান জায়গাগুলির ঘনবসতিপূর্ণ অঞ্চল (ওয়ারেন)" রয়েছে কিন্তু এটি নির্মাণ-কাঠামোটিকে একটি লক্ষণীয় প্রতিমূর্তি (ল্যান্ডমার্ক আইকন) হতে বাধা দেয়নি।[৪০] নকশাকারেরা নরওয়েতে ত্রিভুজাকার বিষয়বস্তু (থিম) ব্যবহার করে ঘর তৈরি করেছেন।[৪১] ত্রিভুজাকার গঠন গির্জা[৪২] এবং মহাবিদ্যালয়সহ সর্বসাধারণের অট্টালিকাগুলিতে প্রতীয়মান হয়েছে[৪৩] সেইসাথে উদ্ভাবনী বাড়ির নকশার জন্যও অনুকূল।[৪৪]

ত্রিভুজগুলি মজবুত; কিন্তু একটি আয়তক্ষেত্রের একটি বিন্দুতে চাপ থেকে সামান্তরিকে ভেঙে পড়তে পারে, ত্রিভুজের একটি সহজাত শক্তি থাকে যা পার্শ্বীয় চাপের থেকে কাঠামোকে রক্ষা করে। একটি ত্রিভুজ তার গঠন পরিবর্তন করে না যতক্ষণ না এর বাহুগুলি বেঁকে বা প্রসারিত হয়ে বা ভেঙে যায় বা এর সংযোগস্থলগুলি ভেঙে না যায়; সারাংশে, তিনটি বাহুর প্রত্যেকটি অন্য দুটি বাহুকে অবলম্বন প্রদান করে। একটি আয়তক্ষেত্র, অপরপক্ষে, কাঠামোগতভাবে তার সংযোগস্থলগুলির শক্তির উপর বেশি নির্ভরশীল। কিছু উদ্ভাবনী নকশাকার আয়তাকার নয় বরং ত্রিভুজাকার গঠন দিয়ে ইট তৈরির প্রস্তাব করেছেন, যা তিনটি মাত্রায় সংযুক্ত করা যেতে পারে।[৪৫] এটি সম্ভাব্য যে, স্থাপত্যে জটিলতা বৃদ্ধির সাথে সাথে নতুন উপায়ে ত্রিভুজগুলি ক্রমবর্ধমানভাবে ব্যবহৃত হবে। এটা মাথায় রাখা গুরুত্বপূর্ণ যে ত্রিভুজগুলি দৃঢ়তার দিক থেকে শক্তিশালী, কিন্তু টালিকরণ (টেসেলেটিং) বিন্যাসে গুচ্ছ করার সময় ত্রিভুজগুলি সংকোচনের অধীনে ষড়ভুজগুলির মতো শক্তিশালী নয় (তাই প্রকৃতিতে ষড়ভুজাকৃতি গঠনের প্রচলন)। টেসেলেটেড ত্রিভুজগুলি অধিকতর শক্তি বজায় রাখার জন্য এখনও ক্যান্টিলিভারিংয়ে, এবং এটি মানুষের তৈরি সবচেয়ে শক্তিশালী কাঠামোগুলির একটি, টেট্রাহেড্রাল ট্রাসের মূল নীতি।

আরও দেখুন সম্পাদনা

টীকা সম্পাদনা

  1. Euclid defines isosceles triangles based on the number of equal sides, i.e. only two equal sides. An alternative approach defines isosceles triangles based on shared properties, i.e. equilateral triangles are a special case of isosceles triangles. wikt:Isosceles triangle
  2. The n external angles of any n-sided convex polygon add up to 360 degrees.
  3. Again, in all cases "mirror images" are also similar.
  4. All pairs of congruent triangles are also similar; but not all pairs of similar triangles are congruent.

তথ্যসূত্র সম্পাদনা

  1. এরিক ডব্লিউ. ওয়াইস্টাইন সম্পাদিত ম্যাথওয়ার্ল্ড থেকে "Triangle"।
  2. "Triangles - Equilateral, Isosceles and Scalene"www.mathsisfun.com। সংগ্রহের তারিখ ২০২০-০৯-০১ 
  3. "Euclid Elements Book I Definition 20" 
  4. এরিক ডব্লিউ. ওয়াইস্টাইন সম্পাদিত ম্যাথওয়ার্ল্ড থেকে "Isosceles Triangle"।
  5. Zeidler, Eberhard (২০০৪)। Oxford Users' Guide to MathematicsOxford University Press। পৃষ্ঠা 729আইএসবিএন 978-0-19-850763-5 
  6. Gullberg, Jan। Mathematics From the Birth of Numbers। পৃষ্ঠা 393। আইএসবিএন 9780393040029 
  7. "Euclid's Elements, Book I, Proposition 32" 
  8. Vardan Verdiyan & Daniel Campos Salas, "Simple trigonometric substitutions with broad results", Mathematical Reflections no 6, 2007.
  9. Longuet-Higgins, Michael S., "On the ratio of the inradius to the circumradius of a triangle", Mathematical Gazette 87, March 2003, 119–120.
  10. Prof. David E. Joyce। "The Laws of Cosines and Sines"। Clark University। সংগ্রহের তারিখ ১ নভেম্বর ২০০৮ 
  11. Weisstein, Eric W."Law of Tangents"Wolfram MathWorld। সংগ্রহের তারিখ ২৬ জুলাই ২০১২ 
  12. The Āryabhaṭīya by Āryabhaṭa (translated into English by Walter Eugene Clark, 1930) hosted online by the Internet Archive.
  13. এরিক ডব্লিউ. ওয়াইস্টাইন সম্পাদিত ম্যাথওয়ার্ল্ড থেকে "Triangle area"।
  14. Bart Braden (১৯৮৬)। "The Surveyor's Area Formula" (পিডিএফ): 326–337। জেস্টোর 2686282ডিওআই:10.2307/2686282। ৫ নভেম্বর ২০০৩ তারিখে মূল (পিডিএফ) থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ৫ জানুয়ারি ২০১২ 
  15. Benyi, Arpad, "A Heron-type formula for the triangle," Mathematical Gazette 87, July 2003, 324–326.
  16. Mitchell, Douglas W., "A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle," Mathematical Gazette 89, November 2005, 494.
  17. Mitchell, Douglas W., "A Heron-type area formula in terms of sines," Mathematical Gazette 93, March 2009, 108–109.
  18. "Sa ́ndor Nagydobai Kiss, "A Distance Property of the Feuerbach Point and Its Extension", Forum Geometricorum 16, 2016, 283–290." (পিডিএফ) 
  19. "Circumradius"AoPSWiki। ২০ জুন ২০১৩ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ২৬ জুলাই ২০১২ 
  20. Mitchell, Douglas W., "The area of a quadrilateral," Mathematical Gazette 93, July 2009, 306–309.
  21. Pathan, Alex, and Tony Collyer, "Area properties of triangles revisited," Mathematical Gazette 89, November 2005, 495–497.
  22. Baker, Marcus, "A collection of formulae for the area of a plane triangle," Annals of Mathematics, part 1 in vol. 1(6), January 1885, 134–138; part 2 in vol. 2(1), September 1885, 11–18.
  23. Chakerian, G.D. "A Distorted View of Geometry."
  24. Rosenberg, Steven; Spillane, Michael; and Wulf, Daniel B. "Heron triangles and moduli spaces", Mathematics Teacher 101, May 2008, 656–663.
  25. Posamentier, Alfred S., and Lehmann, Ingmar, The Secrets of Triangles, Prometheus Books, 2012.
  26. Dunn, J.A., and Pretty, J.E., "Halving a triangle," Mathematical Gazette 56, May 1972, 105–108.
  27. Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover, 2007.
  28. "Oxman, Victor. "On the existence of triangles with given lengths of one side and two adjacent angle bisectors", Forum Geometricorum 4, 2004, 215–218." (পিডিএফ) 
  29. Mitchell, Douglas W. (2013), "Perpendicular Bisectors of Triangle Sides", Forum Geometricorum 13, 53-59.
  30. Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ.
  31. Altshiller-Court (1925)
  32. Kalman, Dan.
  33. Allaire, Patricia R.; Zhou, Junmin; and Yao, Haishen, "Proving a nineteenth century ellipse identity", Mathematical Gazette 96, March 2012, 161–165.
  34. Weisstein, Eric W। "Triangle Circumscribing"Wolfram Math World 
  35. Bailey, Herbert, and DeTemple, Duane, "Squares inscribed in angles and triangles", Mathematics Magazine 71(4), 1998, 278–284.
  36. "Victor Oxman and Moshe Stupel, "Why Are the Side Lengths of the Squares Inscribed in a Triangle so Close to Each Other?", Forum Geometricorum 13 (2013) 113–115." 
  37. Christos। "Is the area of intersection of convex polygons always convex?"Math Stack Exchange 
  38. Watkins, Matthew, Useful Mathematical and Physical Formulae, Walker and Co., 2000.
  39. "Tokyo Designers Envision 500-Story Tower"Los Angeles Times। Associated Press। ১০ নভেম্বর ১৯৮৯। সংগ্রহের তারিখ ৫ মার্চ ২০১১A construction company said Thursday that it has designed a 500-story skyscraper for Tokyo, ... The building is shaped like a triangle, becoming smaller at the top to help it absorb shock waves. It would have a number of tunnels to let typhoon winds pass through rather than hitting the building with full force. 
  40. Stapinski, Helene (২৬ মে ২০১০)। "A Quirky Building That Has Charmed Its Tenants"The New York Times। সংগ্রহের তারিখ ৫ মার্চ ২০১১Though it is hard to configure office space in a triangle 
  41. Jodidio, Philip। "সংরক্ষণাগারভুক্ত অনুলিপি"Architecture Week। ২৬ ডিসেম্বর ২০১০ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ৫ মার্চ ২০১১ 
  42. Metz, Tracy (জুলাই ২০০৯)। Architectural Record http://archrecord.construction.com/projects/portfolio/archives/0907chapel-1.asp। সংগ্রহের তারিখ ৫ মার্চ ২০১১  |শিরোনাম= অনুপস্থিত বা খালি (সাহায্য)
  43. Deborah Snoonian, P.E. (৫ মার্চ ২০১১)। Architectural Record http://archrecord.construction.com/features/digital/archives/0508dignews-1.asp। সংগ্রহের তারিখ ৫ মার্চ ২০১১  |শিরোনাম= অনুপস্থিত বা খালি (সাহায্য)
  44. Sarah Amelar (নভেম্বর ২০০৬)। Architectural Record http://archrecord.construction.com/projects/bts/archives/civic/06_prairieridge/default.asp। সংগ্রহের তারিখ ৫ মার্চ ২০১১  |শিরোনাম= অনুপস্থিত বা খালি (সাহায্য)
  45. Joshua Rothman (১৩ মার্চ ২০১১)। "Building a better brick"Boston Globe। সংগ্রহের তারিখ ৫ মার্চ ২০১১Bricks are among the world’s oldest building materials – the first were used as long ago as 7,500 B.C. ... An especially beautiful proposal by Rizal Muslimin at the Massachusetts Institute of Technology came in as a runner-up: BeadBricks are flat, triangular bricks that can be combined in three dimensions (rather than the usual two). 

বহিঃসংযোগ সম্পাদনা