বাহু (জ্যামিতি)

কোন বহুভুজ বা বহুতলকের অথবা উচ্চতরমাত্রার পলিটোপের যে বিশেষ রেখাংশের প্রান্তবিন্দু^[১] দুটি (অন্যান্য রেখাংশের সাথে) সংযুক্ত অবস্থায় থাকে তাকে জ্যামিতিতে বাহু বা ভুজ বলা হয়। অর্থাৎ একটি জ্যামিতিক কাঠামোর কোন রেখাংশের প্রান্তবিন্দু দুটি যদি শীর্ষবিন্দু^[২] হয় (অন্যভাবে বলা যায়) একটি কাঠামোর কোন রেখাংশের যদি দুটি শীর্ষবিন্দু থাকে তবে এই রেখাংশটি ঐ কাঠামোর একটি বাহু হবে।^[৩] বহুভুজের ক্ষেত্রে বাহু হল বহুভুজটির সীমা নির্ধারক রেখাংশ অথবা বহুভুজটির সীমার উপর অবস্থিত রেখাংশ।^[৪] আর বহুতলকের ক্ষেত্রে বা আরো সাধারণভাবে বলা যায় পলিটোপের ক্ষেত্রে বাহু হলো সেই রেখাংশ যেখানে দুটি তল মিলিত হয়।^[৫] দুটি শীর্ষবিন্দু থাকলেও যে রেখাংশ কাঠামোটির মধ্য দিয়ে গমন করে অথবা বাইরে গমন করে তাকে বাহু বলা যাবে না। সেটাকে বরং কর্ণ বলা হয়।

যেকোন ত্রিভুজের AB, BC এবং CA বাহুত্রয়ের প্রত্যেকে দুটি শীর্ষবিন্দুর মধ্যে অবস্থান করে।
একটি বহুভুজ তার বাহুগুলো দ্বারা সীমাবদ্ধ থাকে। যেকোন চতুর্থভুজের চারটি, পঞ্চভুজের পাঁচটি, ষড়ভুজের ছয়টি.... বাহু বিদ্যমান।
যেকোন বহুতলকের প্রতিটি বাহু অবশ্যই দুটি তলকে সংযুক্ত করে অর্থাৎ দুটি তলের মাঝে বণ্টিত থাকে।
চার-পলিটোপের প্রতিটি বাহু তিন বা ততোধিক তলকে সংযুক্ত করে (চিত্রের টেসারেক্টে যেমনটা দেখানো হয়েছ)।

লেখচিত্রের বাহু বা রেখার সাথে সম্পর্ক

বহুভুজ ও বহুতলকের বাহুর ক্ষেত্রে রেখাংশের মতো একটি সুস্থিত জ্যামিতিক চিত্র রয়েছে। অপরদিকে গ্রাফ তত্ত্বের বাহু (বা রেখা অথবা ধার) হলো গ্রাফের দুটি শীর্ষবিন্দুর সংযোগকারী একটি বিমূর্ত বস্তু যা বহুভুজ ও বহুতলকের বাহুর থেকে আলাদা। সে যাই হোক, যে কোন বহুতলককে তার কঙ্কাল বা বাহু-কঙ্কালের মাধ্যমে উপস্থাপন করা যেতে পারে (বহুতলকের কঙ্কাল হলো এমনই এক লেখচিত্র যার শীর্ষবিন্দুগুলো জ্যামিতিক শীর্ষবিন্দু এবং যার বাহু বা রেখাগুলো জ্যামিতিক বাহুর অনুরূপ)।^[৬] বিপরীতভাবে বলা যায়, কোন লেখচিত্র ত্রি-মাত্রিক বহুতলকের কঙ্কাল হলে এই লেখচিত্রটিকে স্টানিটসের উপপাদ্যের মাধ্যমে এমনভাবে চিহ্নিত করা যেতে পারে যেন এটা ঠিক তিনটি শীর্ষবিন্দু দ্বারা যুক্ত সমতলিক লেখচিত্র।^[৭]

বহুভুজের বাহুর সংখ্যা

উত্তল বহুতলকের যেকোন পৃষ্ঠতলের নিম্নোক্ত অয়লারীয় ধর্ম বিদ্যমান:

V-E+F=2

যেখানে V হলো শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা, E হলো বাহুর সংখ্যা এবং F হলো তলের সংখ্যা। সমীকরণটি বহুতলকের অয়লার সূত্র নামে পরিচিত। এই সূত্রানসারে কোন বহুতলকের বাহুর সংখ্যা বহুতলকটির শীর্ষবিন্দু ও তলের সংখ্যার সমষ্টি অপেক্ষা ২ কম। যেমন: তিনটি ত্রিভুজাকার তল দ্বারা গঠিত পিরামিডের ৪ টি শীর্ষবিন্দু, ৬ টি বাহু এবং ৪ টি তল বিদ্যমান। আবার একটি ঘনকের ৮ টি শীর্ষবিন্দু, ১২ টি বাহু এবং ৬ টি তল বিদ্যমান।

অন্যান্য তলের সাথে বাহুর সম্পর্ক

একটি বহুভুজের প্রতিটি শীর্ষবিন্দুতে ন্যূনতম দুটি বাহু এসে মিলিত হয়। অপরদিকে একটি বহুতলকের প্রতিটি শীর্ষবিন্দুতে ন্যূনতম তিনটি বাহু এসে মিলিত হয়।^{[তথ্যসূত্র প্রয়োজন]} মিচেল বালিনস্কির উপপাদ্য অনুসারে, d-মাত্রিক উত্তল পলিটোপের প্রতিটি শীর্ষবিন্দুতে ন্যূনতম d সংখ্যক বাহু মিলিত হবে।^[৮] একইভাবে, যেকোন বহুতলকের প্রতিটি বাহুতে ঠিক (এবং কেবলমাত্র) দুটি দ্বিমাত্রিক তল মিলিত হবে।^[৯] অপরদিকে উচ্চতর মাত্রার পলিটোপের প্রতিটি বাহুতে তিন বা ততোধিক দ্বিমাত্রিক তল মিলিত হবে।

পরিভাষা ও বিকল্প পরিভাষা এবং আরও কিছু টার্ম

আলোচ্য বিষয়টিকে ইংরেজি পাঠ্যপুস্তকে Edge এবং বহুভুজের ক্ষেত্রে সচরাচর side বলা হয়। বাংলাভাষী বইগুলোগুলোতে বহুভুজ ও বহুতলকের প্রেক্ষাপট ছাড়াও কোণ গঠনকারী রশ্মিদুটোকেও বাহু নামে অভিহিত করা হয়ে থাকে।^{[তথ্যসূত্র প্রয়োজন]}

উচ্চতর মাত্রার উত্তল পলিটোপের তাত্ত্বিক আলোচনার ক্ষেত্রে, d-মাত্রিক কোন পলিটোপের ফ্যাসেট বা side হলো পলিটোপটির একটি (d − 1)-মাত্রিক আকৃতি, রিজ (Ridge) হলো এর একটি (d − 2)-মাত্রিক আকৃতি এবং পীক (Peak) হলো এর একটি (d − 3)-মাত্রিক আকৃতি। একইভাবে বহুভুজের বাহুগুলো হলো বহুভুজটির ফ্যাসেট, তিন মাত্রার উত্তল বহুতলকের বাহুগুলো হলো বহুতলকটির রিজ এবং চার মাত্রার পলিটোপের বাহুগুলো হলো পলিটোপটির পীক।^[১০]

তথ্যসূত্র

↑ কোন রেখাংশের বা রশ্মির শেষ বিন্দু। রেখাংশের দুটি এবং রশ্মির একটি প্রান্তবিন্দু থাকে।
↑ দুটি অসমান্তরাল রেখার মিলন বিন্দু
↑ Ziegler, Günter M. (১৯৯৫), Lectures on Polytopes, Graduate Texts in Mathematics, 152, Springer, Definition 2.1, p. 51 .
↑ Weisstein, Eric W. "Polygon Edge." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PolygonEdge.html
↑ Weisstein, Eric W. "Polytope Edge." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PolytopeEdge.html
↑ Senechal, Marjorie (২০১৩), Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geometrical Imagination, Springer, পৃষ্ঠা 81, আইএসবিএন 9780387927145 .
↑ Pisanski, Tomaž; Randić, Milan (২০০০), "Bridges between geometry and graph theory", Gorini, Catherine A., Geometry at work, MAA Notes, 53, Washington, DC: Math. Assoc. America, পৃষ্ঠা 174–194, এমআর 1782654 . See in particular Theorem 3, p. 176.
↑ Balinski, M. L. (১৯৬১), "On the graph structure of convex polyhedra in n-space", Pacific Journal of Mathematics, 11 (2): 431–434, এমআর 0126765, ডিওআই:10.2140/pjm.1961.11.431  .
↑ Wenninger, Magnus J. (১৯৭৪), Polyhedron Models, Cambridge University Press, পৃষ্ঠা 1, আইএসবিএন 9780521098595 .
↑ Seidel, Raimund (১৯৮৬), "Constructing higher-dimensional convex hulls at logarithmic cost per face", Proceedings of the Eighteenth Annual ACM Symposium on Theory of Computing (STOC '86), পৃষ্ঠা 404–413, ডিওআই:10.1145/12130.12172 .

বহিঃসংযোগ

এরিক ডব্লিউ. ওয়াইস্টাইন সম্পাদিত ম্যাথওয়ার্ল্ড থেকে "Polygonal edge"।
এরিক ডব্লিউ. ওয়াইস্টাইন সম্পাদিত ম্যাথওয়ার্ল্ড থেকে "Polyhedral edge"।
bigyan.org.in থেকেফুটবলেও জ্যামিতি?

[1] কোন রেখাংশের বা রশ্মির শেষ বিন্দু। রেখাংশের দুটি এবং রশ্মির একটি প্রান্তবিন্দু থাকে।

[2] দুটি অসমান্তরাল রেখার মিলন বিন্দু

[3] Ziegler, Günter M. (১৯৯৫), Lectures on Polytopes, Graduate Texts in Mathematics, 152, Springer, Definition 2.1, p. 51 .

[4] Weisstein, Eric W. "Polygon Edge." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PolygonEdge.html

[5] Weisstein, Eric W. "Polytope Edge." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PolytopeEdge.html

[6] Senechal, Marjorie (২০১৩), Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geometrical Imagination, Springer, পৃষ্ঠা 81, আইএসবিএন 9780387927145 .

[7] Pisanski, Tomaž; Randić, Milan (২০০০), "Bridges between geometry and graph theory", Gorini, Catherine A., Geometry at work, MAA Notes, 53, Washington, DC: Math. Assoc. America, পৃষ্ঠা 174–194, এমআর 1782654 . See in particular Theorem 3, p. 176.

[8] Balinski, M. L. (১৯৬১), "On the graph structure of convex polyhedra in n-space", Pacific Journal of Mathematics, 11 (2): 431–434, এমআর 0126765, ডিওআই:10.2140/pjm.1961.11.431  .

[9] Wenninger, Magnus J. (১৯৭৪), Polyhedron Models, Cambridge University Press, পৃষ্ঠা 1, আইএসবিএন 9780521098595 .

[10] Seidel, Raimund (১৯৮৬), "Constructing higher-dimensional convex hulls at logarithmic cost per face", Proceedings of the Eighteenth Annual ACM Symposium on Theory of Computing (STOC '86), পৃষ্ঠা 404–413, ডিওআই:10.1145/12130.12172 .

[১]

[২]

[৩]

[৪]

[৫]

[৬]

[৭]

[৮]

[৯]

[১০]