পরম মান

গণিতশাস্ত্রে কোন বাস্তব সংখ্যা a এর 'পরম মান' বা মডুলাস (প্রতীক: |a|) বলতে সংখ্যাটির শুধু সাংখ্যিক মানকে বোঝায়। অর্থাৎ +১০ এর পরম মান ১০ আবার -১০ এর পরম মানও ১০। কোন সংখ্যার পরম মানকে সংখ্যারেখায় মূলবিন্দু থেকে সংখ্যাটির দূরত্ব হিসেবে চিন্তা করা যায়।

বাস্তব সংখ্যার পরম মানের ফাংশনের লেখচিত্র

সংজ্ঞা ও বৈশিষ্ট্যসমূহ

যেকোন বাস্তব সংখ্যা a এর পরম মানকে |a| দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এবং নিম্নোক্ত ভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়।

$|a|={\begin{cases}a,&{\mbox{if }}a\geq 0\\-a,&{\mbox{if }}a<0\end{cases}}$

উপর্যুক্ত সংজ্ঞা থেকে দেখা যায় a এর পরম মান সবসময়ই ধনাত্বক হবে কখনোই ঋণাত্বক হতে পারবে না। যেহেতু + বা - চিহ্ন বর্জিত বর্গমূলচিহ্ন শুধু ধনাত্বক বর্গমূলকে নির্দেশ করে সুতরাং

$|a|={\sqrt {a^{2}}}$

যা কোথাও কোথাও পরম মানের সংজ্ঞা হিসেবে ব্যবহৃত হয়।

পরম মানের নিম্নোক্ত ৪টি মৌলিক বিধি রয়েছে:

$|a|\geq 0$

$|a|=0\iff a=0$

$|ab|=|a||b|\,$

$|a+b|\leq |a|+|b|$

আরও কিছু গুরুত্বপূর্ণ বিধিসমূহ:

$||a||=|a|\,$

$|-a|=|a|\,$

$|a-b|=0\iff a=b$

$|a-b|\leq |a-c|+|c-b|$

$|a/b|=|a|/|b|{\mbox{ (if }}b\neq 0)\,$

$|a-b|\geq ||a|-|b||$

অসমতা সংক্রান্ত আর দুটি মৌলিক বিধি:

$|a|\leq b\iff -b\leq a\leq b$

$|a|\geq b\iff a\leq -b{\mbox{ or }}b\leq a$

এই সম্পর্ক গুলো পরম মান সংক্রান্ত অসমতা সমাধানে ব্যবহার করা যায়। উদাহরণ স্বরুপ:

$|x-3|\leq 9$	$\iff -9\leq x-3\leq 9$
	$\iff -6\leq x\leq 12$

জটিল সংখ্যার পরম মান

জটিল সংখ্যা z এর পরম মান হল z থেকে মূলবিন্দুর দুরত্ব r। চিত্র থেকে আরো দেখা যায় z এবং এর জটিল অনুবন্ধী  z এর মান সমান।

কোন জটিল সংখ্যা

$z=x+iy,\,$

যেখানে x ও y হল বাস্তব সংখ্যা, তার পরম মান |z| হল

$|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

যখন z কে পোলার ফরমে প্রকাশ করা হয়

$z=re^{i\theta }$

যেখানে r ≥ 0 এবং θ বাস্তব, তখন z এর পরম মান

$|z|=r$