শূন্যসন্নিকর্ষী

অসীমের বিপরীত তবে শূন্য নয় বরং শূন্যের অত্যন্ত কাছাকাছি মানের সংখ্যা

যেসব সংখ্যা অন্য যেকোনো আদর্শ বাস্তব সংখ্যার থেকেও শূন্যের অত্যন্ত কাছাকাছি মানের, অথচ সেগুলো শূন্যও নয়, তাদেরকে গণিতের ভাষায় শূন্যসন্নিকর্ষী বা ইনফিনিটেসিমাল বলা হয়। শূন্যসন্নিকর্ষী আবশ্যিকভাবেই একটি অ-শূন্য সংখ্যা যা ধনাত্মক ও ঋণাত্মক উভয়ই হতে পারে। ঋণাত্মক শূন্যসন্নিকর্ষী হলো সবচেয়ে বড় ঋণাত্মক সংখ্যা, এর বিপরীতে ধনাত্মক শূন্যসন্নিকর্ষী হলো সবচেয়ে ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা। infinitesimal শব্দটি ১৭শ শতকের আধুনিক ল্যাটিনের জন্য নতুনভাবে উদ্ভাবিত শব্দ infinitesimus থেকে এসেছে, ব্যুৎপত্তিগতভাবে যা মূলত কোনো অনুক্রমের অসীম-তম পদকে বুঝিয়ে থাকে।

অধিবাস্তব সংখ্যারেখায় (ε = 1/ω) শূন্যসন্নিকর্ষী (ε) এবং অসীম (ω) সংখ্যাসূহ।

শূন্যসন্নিকর্ষিসমূহ আদর্শ বাস্তব সংখ্যা ব্যবস্থায় খুঁজে পাওয়া না গেলেও পরাবাস্তব ও অধিবাস্তব সংখ্যার ন্যায় অন্যান্য সংখ্যা ব্যবস্থায় এদেরকে দেখা যায়, যেখানে এই সংখ্যা ব্যবস্থাগুলোকে শূন্যসন্নিকর্ষী ও অসীম উভয় ধরনের রাশি সহযোগে সম্প্রসারিত বাস্তব সংখ্যারূপে বিবেচনা করা যেতে পারে, যেথায় আবার এই সম্প্রসারণসমূহ অর্থাৎ শূন্যসন্নিকর্ষী ও অসীম রাশিসমূহ পরস্পরের গুণাত্মক বিপরীত

ক্যালকুলাসের উন্নয়নের অংশরূপে শূন্যসন্নিকর্ষী সংখ্যার ধারণার প্রবর্তন ঘটে। ক্যালকুলাসের বিবর্তনের ধারাবাহিকতায় অন্তরজকে প্রথমদিকে দুটি শূন্যসন্নিকর্ষী রাশির অনুপাত হিসেবে গণ্য করা হতো। তবে এই সংজ্ঞার আনুষ্ঠানিক কোন শক্ত ভিত্তি ছিল না। ক্যালকুলাসের আরও উন্নয়ন ঘটলে শূন্যসন্নিকর্ষিতার স্থলে সীমার ধারণা প্রবর্তিত হয়, যা আদর্শ বাস্তব সংখ্যা ব্যবহার করে গণনা করা সম্ভব।

বিশ শতকে অব্রাহাম রবিনসন কর্তৃক অনাদর্শ বিশ্লেষণ এবং অধিবাস্তব সংখ্যার উন্নয়নের সাথে সাথে শূন্যসন্নিকর্ষিতা পুণরায় জনপ্রিয় হয়ে ওঠে। শূন্যসন্নিকর্ষিতার ক্যালকুলাসের তথা ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র রাশির গণনার আনুষ্ঠানিক ব্যবহার ও প্রয়োগ যে সম্ভব শতাব্দীর পর শতাব্দী বিতর্কের পর এর মাধ্যমে সেটা প্রমাণিত হয়েছিল। এরপরে, গণিতবিদরা পরাবাস্তব সংখ্যা যা বৃহত্তম ক্রমভুক্ত ক্ষেত্র তার উন্নয়ন ঘটান। পরাবাস্তব সংখ্যা হলো, অসীম ও শূন্যসন্নিকর্ষী সংখ্যার সাথে জড়িত একটি আনুষ্ঠানিক রূপ বা আনুষ্ঠানিকীকরণ, অধিবাস্তব ও ক্রমবাচক উভয় সংখ্যাই যার অন্তর্ভুক্ত।

শূন্যসন্নিকর্ষিসমূহের প্রায়োগিক অন্তর্দৃষ্টি বা সূক্ষ্মদর্শিতার যে অস্তিত্ব তখন পর্যন্ত জানা ছিল তার মাধ্যমে অন্ততপক্ষে কোণ অথবা ঢালের মতো বিশেষ বৈশিষ্ট্যগুলোর ব্যাখ্যা করা যেত, যদিও এই বিষয়গুলো ছিল সীমাহীভাবে ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র।[১]

লিবনিজ অবিচ্ছিন্নতার নীতি এবং সমসত্ত্বার তুরীয় নীতির অন্তর্ভুক্তির মাধ্যমে যে ক্যালকুলাসের উন্নয়ন ঘটিয়েছিলেন শূন্যসন্নিকর্ষিতা হল সেই ক্যালকুলাসের মৌলিক উপাদান। সাধারণভাবে বলা যায়, একটি শূন্যসন্নিকর্ষী বস্তু হচ্ছে এমন একটি বস্তু যা যেকোন সম্ভাব্য পরিমাপের চেয়েও ক্ষুদ্রতর, কিন্তু আকারে শূন্য নয় — অথবা, এটি এতই ক্ষুদ্র যে প্রচলিত কোন অর্থেই একে শূন্য থেকে আলাদা করা যায় না। এর দরুন গণিতে শূন্যসন্নিকর্ষী শব্দটি বিশেষণ হিসেবে ব্যবহার করা হলে এটি অসীমতকভাবে বা সীমাহীনভাবে ক্ষুদ্র তথা যে কোনও আদর্শ বাস্তব সংখ্যার তুলনায় ক্ষুদ্রতর এমনটি বুঝিয়ে থাকে। কোন ফাংশনের অন্তরজকে যেভাব দেখা হয় একটি শূন্যসন্নিকর্ষিকে সচরাচর সেভাবেই অনুরূপ আকারের আরেকটি শূন্যসন্নিকর্ষির সাথে তুলনা করা হয়। ক্যালকুলাসের যোগজ নির্ণয়ে অসীম সংখ্যক শূন্যসন্নিকর্ষির সমষ্টি বের করা হয়।

শূন্যসন্নিকর্ষিতার ধারণাটি মূলত নিকোলাস মার্ক্যাটর নতুবা লিবনিজ এদের যেকোন একজনের মাধ্যমে ১৬৭০ সালের দিকে চালু হয়।[২] আর্কিমিডিস ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও কঠিন বস্তুর আয়তন নির্ণয় করার জন্য যে নিয়মটি ব্যবহার করেছিলেন ঘটনাক্রমে সেটা তার মেথড অফ মেকানিক্যাল থিওরেমস গ্রন্থে অবিভাজ্যতার পদ্ধতি হিসেবে পরিচিতি পেয়েছে।[৩] আর্কিমিডিস তার প্রথামাফিক প্রকাশিত প্রাচীন গ্রন্থসমহূহে নিঃশেষণ পদ্ধতি ব্যবহার করে একই সমস্যার সমাধান করেছেন। পঞ্চদশ শতাব্দী কুসের নিকোলাসের প্রচেষ্টার সাক্ষী হয়ে রয়েছে যা আমরা সপ্তদশ শতকে জোহানেস কেপলারকে আরও উন্নত করতে দেখলাম যেখানে তিনি (কেপলার) বিশেষ করে কোন বৃত্তের ক্ষেত্রফল গণনার ক্ষেত্রে বৃত্তটিকে অসীম সংখ্যক বাহুযুক্ত নতুন একটি বহুভুজ হিসেবে উপস্থাপন করলেন। ১৬শ শতকে সাইমন স্ট্যাভিন সকল সংখ্যাকে দশমিকের মাধ্যমে প্রকাশের জন্য কাজ করেন যা বাস্তব ধারার পটভূমি তৈরি করে। বোনাভনটুরা কাভালিয়ারির অবিভাজ্যতার পদ্ধতির প্রয়োগের দরুন ধ্রুপদী লেখকেরা তাদের অনুসন্ধান কার্যের ফলাফলে একটি সম্প্রসারণ পেয়ে যান। The method of indivisibles related to geometrical figures as being composed of entities of codimension 1.[স্পষ্টকরণ প্রয়োজন] John Wallis's infinitesimals differed from indivisibles in that he would decompose geometrical figures into infinitely thin building blocks of the same dimension as the figure, preparing the ground for general methods of the integral calculus.[বঙ্গানুবাদ প্রয়োজন] ক্যালকুলাসের প্রেক্ষাপটে তিনি শূন্যসন্নিকর্ষী সংখ্যাকে 1/∞ এর মাধ্যমে প্রয়োগ ও নির্দেশ করেন।

লিবনিজ অবিচ্ছিন্নতার নীতি এবং সমসত্ত্বার তুরীয় নীতির মতো কিছু অনুসন্ধানী নীতির ভিত্তিতে শূন্যসন্নিকর্ষিসমূহ ব্যবহার করেছেন। অবিচ্ছিন্নতার নীতি অনুসারে, সসীম সংখ্যার জন্য যা সফল হয় তা অসীম সংখ্যার জন্যও সফল। এর বিপরীতে সমসত্ত্বার তুরীয় নীতি অবরাদ্দযোগ্য রাশি নিয়ে গঠিত রাশিমালাকে শুধু বরাদ্দযোগ্য রাশি নিয়ে গঠিত রাশিমালার দ্বারা প্রতিস্থাপনের প্রক্রিয়াসমূহ নির্দেশ করে। ১৮শ শতকে লিওনার্ড অয়লার এবং জোসেফ লুই ল্যাগ্রাঞ্জ এদের মতো গণিতবিদদেরকে শূন্যসন্নিকর্ষির নিয়মিত ব্যবহার করতে দেখা যায়। অগাস্টিন লুই কোশি তার কোর্স ডি'অ্যানালিসে অবিচ্ছিন্নতার সংজ্ঞায়নে এবং ডিরাক ডেল্টা ফাংশনের যে আদি রূপ ছিল তার সংজ্ঞায়নে শূন্যসন্নিকর্ষিসমূহের প্রয়োগ ঘটান। ক্যান্টর এবং ডেডেকিন্ড যখন স্ট্যাভিনের ধারার বিমূর্ত সংস্করণসমূহের আরও উন্নয়ন করছিলেন তখন পল ডু বয়স-গাইমেন্ড ফাংশনের বৃদ্ধির হারের ভিত্তিতে শূন্যসন্নিকর্ষি-সমৃদ্ধ ধারাসমূহের উপর ধারাবাহিক-প্রবন্ধ (সিরিজ প্রবন্ধ) লিখছিলেন। ডু বয়স-গাইমেন্ডের লেখা এমিল বোরেল এবং থোরালফ স্কোলেম এদের দুজনকেই অনুপ্রাণিত করেছিল। শূন্যসন্নিকর্ষী সংখ্যার বৃদ্ধি হার নিয়ে কোশি যে কাজ করেছিলেন বোরেল সুস্পষ্টভাবে তার সাথে বয়স-গাইমেন্ডের কাজের সমন্বয় করেন। স্কোলেম ১৯৩৪ সালে প্রথম পাটীগাণিতের অনাদর্শ মডেলটির উন্নয়ন করেছিলেন। অবশেষে আব্রাহাম রবিনসন যিনি তার পূর্ববর্তী এডুইন হিউয়েটের ১৯৪৮ সালের এবং জার্জি লসের ১৯৫৫ সালের সম্পাদিত কাজের উপর ভিত্তি করে অনাদর্শ বিশ্লেষণের উন্নয়ন ঘটিয়েছিলেন তার মাধ্যমে ১৯৬১ সালে অবিচ্ছিন্নতার নীতি এবং শূন্যসন্নিকর্ষিতা উভয়ের একটি গাণিতিক বাস্তবায়ন সফলভাবে সম্পাদিত হয়। শূন্যসন্নিকর্ষি-সমৃদ্ধ ধারার বাস্তবায়ন ঘটে অধিবাস্তব সংখ্যাগুলোর মাধ্যমে এবং লিবনিজের অবিচ্ছিন্নতার নীতির বাস্তবায়ন ঘটে স্থানান্তর নীতিটির মাধ্যমে। ফের্মার আসন্ন সমতার বাস্তবায়ন ঘটে আদর্শ অংশ ফাংশনটির মাধ্যমে।

ভ্লাদিমির আর্নল্ড ১৯৯০ সালে লেখেন:

আজকাল বিশ্লেষণ সম্পর্কে পড়ানোর ক্ষেত্রে শূন্যসন্নিকর্ষী রাশিসমূহ নিয়ে কথা বলার জনপ্রিয়তা খুব একটা নেই। ফলস্বরূপ বর্তমান সময়ের শিক্ষার্থীরা এই ভাষার সাথে পুরোপুরি সাচ্ছন্দ্য বোধ করে না। তথাপি এটি সাচ্ছন্দ্যের বিষয় হওয়া প্রয়োজন।[৪]

শূন্যসন্নিকর্ষিতার ইতিহাসসম্পাদনা

প্রাক-সক্রেটীয় দর্শন যুগের এলিয়্যাটিক স্কুলে "সীমাহীনভাবে ক্ষুদ্র রাশি" নিয়ে আলোচনা হয়েছিল। গ্রিক গণিতবিদ আর্কিমিডিস (আনু. ২৮৭ খ্রীস্টপূর্বাব্দ – আনু. ২১২ খ্রীস্টপূর্বাব্দ) ছিলেন প্রথম যিনি তার মেথড অব মেকানিকাল থিওরেমসে শূন্যসন্নিকর্ষী সংখ্যার জন্য যুক্তিগতভাবে অনড় একটি সংজ্ঞার প্রস্তাব করেন।[৫] আর্কিমিডিসীয় ধর্ম অনুসারে x সংখ্যাটি অসীম(সংখ্যা)রূপে সংজ্ঞায়িত হবে, যদি এই সংখ্যাটি |x|>1, |x|>1+1, |x|>1+1+1, ... শর্তগুলো পূরণ করে। আবার x সংখ্যাটি শূন্যসন্নিকর্ষী হবে যদি x≠0 হওয়ার পাশাপাশি x-এর ক্ষেত্রে এবং ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাসমূহের গুণাত্মক বিপরীত সংখ্যাগুলোর ক্ষেত্রে একই ধরনের একগুচ্ছ শর্ত বিদ্যমান থাকে। একটি সংখ্যা পদ্ধতিতে কোন অসীম সংখ্যা বা শূন্যসন্নিকর্ষী সংখ্যা না থাকলে এটা আর্কিমিডিসীয় হবে বলা হয়।

ইংরেজ গণিতবিদ জন ওয়ালিস ১৬৫৫ সালে প্রকাশিত তার ট্রিটিস অন দ্য কনিক সেকশনস বইয়ে 1/∞ গণিতিক অভিব্যক্তিটির তথা রাশিমালাটির প্রবর্তন করেছিলেন। চিহ্নটির (তথা অসীমতার) গুণাত্মক বিপরীত নির্দেশকারী এই প্রতীকটি (1/∞) হচ্ছে একটি শূন্যসন্নিকর্ষির গাণিতিক ধারণার প্রতীকী উপস্থাপন।

প্রথম-ক্রমের ধর্মসম্পাদনা

শূন্যসন্নিকর্ষী অন্তর্ভুক্তকারী সংখ্যা পদ্ধতিসমূহসম্পাদনা

শূন্যসন্নিকর্ষী ডেল্টা ফাংশনসম্পাদনা

যৌক্তিক ধর্মসম্পাদনা

পাঠ্যক্রমে শূন্যসন্নিকর্ষীসম্পাদনা

শূন্যের দিকে ধাবমান ফাংশনসম্পাদনা

বিভিন্ন চলকের বিন্যাসসম্পাদনা

তথ্যসূত্রসম্পাদনা

  1. Bell, John L. (৬ সেপ্টেম্বর ২০১৩)। "Continuity and Infinitesimals"Stanford Encyclopedia of Philosophy 
  2. Katz, Mikhail G.; Sherry, David (২০১২), "Leibniz's Infinitesimals: Their Fictionality, Their Modern Implementations, and Their Foes from Berkeley to Russell and Beyond", Erkenntnis, 78 (3): 571–625, arXiv:1205.0174 , এসটুসিআইডি 119329569, ডিওআই:10.1007/s10670-012-9370-y 
  3. Reviel, Netz; Saito, Ken; Tchernetska, Natalie (২০০১)। "A New Reading of Method Proposition 14: Preliminary Evidence from the Archimedes Palimpsest (Part 1)"। Sciamvs2: 9–29। 
  4. Arnolʹd, V. I. Huygens and Barrow, Newton and Hooke. Pioneers in mathematical analysis and catastrophe theory from evolvents to quasicrystals. Translated from the Russian by Eric J. F. Primrose. Birkhäuser Verlag, Basel, 1990. p. 27
  5. Archimedes, The Method of Mechanical Theorems; see Archimedes Palimpsest

গ্রন্থপঞ্জিসম্পাদনা

  • B. Crowell, "Calculus" (2003)
  • Ehrlich, P. (2006) The rise of non-Archimedean mathematics and the roots of a misconception. I. The emergence of non-Archimedean systems of magnitudes. Arch. Hist. Exact Sci. 60, no. 1, 1–121.
  • Malet, Antoni. "Barrow, Wallis, and the remaking of seventeenth century indivisibles". Centaurus 39 (1997), no. 1, 67–92.
  • J. Keisler, "Elementary Calculus" (2000) University of Wisconsin
  • K. Stroyan "Foundations of Infinitesimal Calculus" (1993)
  • Stroyan, K. D.; Luxemburg, W. A. J. Introduction to the theory of infinitesimals. Pure and Applied Mathematics, No. 72. Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], New York-London, 1976.
  • Robert Goldblatt (1998) "Lectures on the hyperreals" Springer.
  • Cutland et al. "Nonstandard Methods and Applications in Mathematics" (2007) Lecture Notes in Logic 25, Association for Symbolic Logic.
  • "The Strength of Nonstandard Analysis" (2007) Springer.
  • Laugwitz, D. (১৯৮৯)। "Definite values of infinite sums: aspects of the foundations of infinitesimal analysis around 1820"। Archive for History of Exact Sciences39 (3): 195–245। এসটুসিআইডি 120890300ডিওআই:10.1007/BF00329867 
  • Yamashita, H.: Comment on: "Pointwise analysis of scalar Fields: a nonstandard approach" [J. Math. Phys. 47 (2006), no. 9, 092301; 16 pp.]. J. Math. Phys. 48 (2007), no. 8, 084101, 1 page.