দৈব প্রক্রিয়া
দৈব প্রক্রিয়া (Stochastic process বা Random Process) বলতে সম্ভাবনা তত্ত্বে একটি দৈব ফাংশন বোঝানো হয়ে থাকে, অধিকাংশ ক্ষেত্রে যা সময় ব্যবধি (time interval) (ব্যবহারিক ক্ষেত্রে এ ধরনের দৈব প্রক্রিয়াকে সময় ধারা (time series) বলে) অথবা কোন ক্ষেত্র-অঞ্চল (region of space) ডোমেইনে (এ ধরনের দৈব প্রক্রিয়াকে দৈব ক্ষেত্র (random field) বলে) সংজ্ঞায়িত হয়ে থাকে।
সময় ধারার উদাহরণ হিসেবে স্টক বাজার (stock market)[৪][৫][৬], বিনিময় হারের (exchange rate) উত্থান পতন, বাক-সংকেত (speech signal), অডিও ও ভিডিও সংকেত, রোগীর ইকেজি, ইইজি, রক্তচাপ, তাপমাত্রা, ইত্যাদি তথ্য; এবং দৈব চলাচলসমূহ, যেমন ব্রাউনীয় গতি (Brownian motion), দৈব চলন (random walk), ইত্যাদি উল্লেখযোগ্য। এছাড়া ব্যাকটিরিয়ার জনসংখ্যার বৃদ্ধি, তাপীয় বিশৃংখলা, বা একটি গ্যাস অণু এর চলাফেরাও এর মধ্যে পরে।[১][৭][৮][৯] দৈব প্রক্রিয়াগুলি গাণিতিক মডেল হিসাবে সিস্টেম এবং এলোমেলোভাবে পরিবর্তিত হয় বলে মনে হয় এমন দৈব ঘটনাগুলির হিসাবে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। বিজ্ঞানের অনেকগুলি শাখায় এর প্রয়োগ রয়েছে যেমন জীববিজ্ঞান[১০],রসায়ন[১১], বাস্তুতন্ত্র[১২], স্নায়ুবিজ্ঞান[১৩], পদার্থবিজ্ঞান[১৪] পাশাপাশি প্রযুক্তি এবং প্রকৌশল ক্ষেত্র যেমন চিত্র প্রক্রিয়াকরণ, সিগন্যাল প্রক্রিয়াজাতকরণ[১৫], তথ্য তত্ত্ব[১৬], কম্পিউটার বিজ্ঞান[১৭], তথ্যগুপ্তিবিদ্যা[১৮] এবং টেলিযোগাযোগ[১৯]।
দৈব ফাংশন শব্দটি দৈব প্রক্রিয়া বা এলোমেলো প্রক্রিয়া বোঝাতেও ব্যবহৃত হয়[২০][২১],কারণ একটি দৈব প্রক্রিয়াকে কোনও ফাংশন স্পেসের এলোমেলো উপাদান হিসাবেও ব্যাখ্যা করা যেতে পারে।[২২][২৩]
গাণিতিক বৈশিষ্ট্যের ভিত্তিতে দৈব প্রক্রিয়াগুলি বিভিন্ন বিভাগে বিভক্ত করা যেতে পারে, যার মধ্যে এলোমেলো পদচারণা( random walks),[২৪] মার্টিংএলস ( martingales)[২৫], মার্কভ প্রক্রিয়া ( Markov processes),[২] ল্যাভি প্রক্রিয়া (Lévy processes),[২৬] গাউসীয় প্রক্রিয়া, (Gaussian processes)[২৭] এলোমেলো ক্ষেত্র (random fields),[২৮] পুনর্নবীকরণ প্রক্রিয়া (renewal processes), এবং ব্র্যঞ্চিং প্রক্রিয়া (branching processes)।[২৯] স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলির অধ্যয়নটি সম্ভাবনা, ক্যালকুলাস, লিনিয়ার বীজগণিত, সেট তত্ত্ব এবং টপোলজির গাণিতিক জ্ঞান এবং কৌশলগুলি ব্যবহার করে[৩০][৩১][৩২] পাশাপাশি গাণিতিক বিশ্লেষণের শাখা যেমন বাস্তব বিশ্লেষণ, পরিমাপ তত্ত্ব, ফুরিয়ার বিশ্লেষণ এবং কার্যকরী বিশ্লেষণও (functional analysis) ব্যবহার করে।[৩৩][৩৪][৩৫]
সংজ্ঞা
সম্পাদনাদৈব প্রক্রিয়া হলো দৈব চলক (random variable) {Xi} এর সূচিত সংগ্রহ (indexed collection)। এর সূচক i সাধারণত বাস্তব সংখ্যার সেট R থেকে মান নেয়।
বিশেষক্ষেত্রে এই সূচকের মান বিচ্ছিন্ন হয়ে থাকে, সেক্ষেত্রে সাধারণত অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার সেট {০, ১, ২, ৩, ...}।
অবিচ্ছিন্ন দৈব প্রক্রিয়ায় এই সূচক অবিচ্ছিন্ন (সাধারণত স্থানাংক বা সময় বোঝাতে) হয় ও অগণন অসীম (uncountably infinite) সংখ্যক দৈব চলক পাওয়া যায়।
তথ্যসূত্র
সম্পাদনা- ↑ ক খ Doob, Joseph L. (১৯৯০)। Stochastic processes (ইংরেজি ভাষায়)। Wiley। পৃষ্ঠা 46, 47।
- ↑ ক খ Rogers, L. C. G.; Williams, David (২০০০-০৪-১৩)। Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations (ইংরেজি ভাষায়)। Cambridge University Press। আইএসবিএন 978-1-107-71749-7।
- ↑ Steele, J. Michael. (২০০১)। Stochastic Calculus and Financial Applications। New York, NY: Springer New York। আইএসবিএন 978-1-4684-9305-4। ওসিএলসি 853267693।
- ↑ Steele, J. Michael (২০০১)। Stochastic Calculus and Financial Applications (ইংরেজি ভাষায়)। Springer Science & Business Media। আইএসবিএন 978-0-387-95016-7।
- ↑ Marek Musiela; Marek Rutkowski (২০০৬)। Martingale Methods in Financial Modelling। Springer Science & Business Media। আইএসবিএন 978-3-540-26653-2।
- ↑ Steven E. Shreve (২০০৪)। Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models। Springer Science & Business Media। আইএসবিএন 978-0-387-40101-0।
- ↑ Parzen, Emanuel (২০১৫-০৬-১৭)। Stochastic Processes (ইংরেজি ভাষায়)। Courier Dover Publications। পৃষ্ঠা ৭–৮। আইএসবিএন 978-0-486-79688-8।
- ↑ Gikhman, I. I. (Iosif Ilʹich), 1918-1985. (১৯৯৬)। Introduction to the theory of random processes। Skorokhod, A. V. (Anatoliĭ Vladimirovich), 1930-2011. (Dover ed সংস্করণ)। Mineola, N.Y.: Dover Publications। আইএসবিএন 0-486-69387-2। ওসিএলসি 35262440।
- ↑ Gagniuc, Paul A.,। Markov chains : from theory to implementation and experimentation। Hoboken, NJ। আইএসবিএন 978-1-119-38757-2। ওসিএলসি 982373850।
- ↑ Bressloff, Paul C. (২০১৪-০৮-২২)। Stochastic Processes in Cell Biology (ইংরেজি ভাষায়)। Springer। আইএসবিএন 978-3-319-08488-6।
- ↑ Kampen, N. G. Van (২০১১-০৮-৩০)। Stochastic Processes in Physics and Chemistry (ইংরেজি ভাষায়)। Elsevier। আইএসবিএন 978-0-08-047536-3।
- ↑ Lande, Russell; Engen, Professor of Biostatistics Steinar; Engen, Steinar; Sæther, Bernt-Erik; Saether, Professor of Population Ecology Bernt-Erik (২০০৩)। Stochastic Population Dynamics in Ecology and Conservation (ইংরেজি ভাষায়)। Oxford University Press। আইএসবিএন 978-0-19-852525-7।
- ↑ Laing, Carlo; Lord, Gabriel J. (২০১০)। Stochastic Methods in Neuroscience (ইংরেজি ভাষায়)। OUP Oxford। আইএসবিএন 978-0-19-923507-0।
- ↑ Paul, Wolfgang; Baschnagel, Jörg (২০১৩-০৭-১১)। Stochastic Processes: From Physics to Finance (ইংরেজি ভাষায়)। Springer Science & Business Media। আইএসবিএন 978-3-319-00327-6।
- ↑ Dougherty, Edward R. (১৯৯৯)। Random processes for image and signal processing (ইংরেজি ভাষায়)। SPIE Optical Engineering Press। আইএসবিএন 978-0-8194-2513-3।
- ↑ Cover, T. M., 1938-2012,। Elements of information theory। Thomas, Joy A., (Second edition সংস্করণ)। Hoboken, N.J.। আইএসবিএন 978-0-471-74881-6। ওসিএলসি 70862892।
- ↑ Baron, Michael (২০১৩-০৮-০৫)। Probability and Statistics for Computer Scientists (ইংরেজি ভাষায়)। CRC Press। আইএসবিএন 978-1-4987-6060-7।
- ↑ Katz, Jonathan; Lindell, Yehuda (২০০৭-০৮-৩১)। Introduction to Modern Cryptography: Principles and Protocols (ইংরেজি ভাষায়)। CRC Press। আইএসবিএন 978-1-58488-586-3।
- ↑ Baccelli, François; Błaszczyszyn, Bartłomiej (২০১০)। Stochastic Geometry and Wireless Networks (ইংরেজি ভাষায়)। Now Publishers Inc। আইএসবিএন 978-1-60198-264-3।
- ↑ Theory of stochastic processes : with applications to financial mathematics and risk theory। Gusak, D. V. (Dmitriĭ Vasilʹevich)। New York: Springer। ২০১০। পৃষ্ঠা ২১। আইএসবিএন 978-0-387-87862-1। ওসিএলসি 663094112।
- ↑ Skorokhod, Valeriy (২০০৫-১২-০৫)। Basic Principles and Applications of Probability Theory (ইংরেজি ভাষায়)। Springer Science & Business Media। আইএসবিএন 978-3-540-26312-8।
- ↑ Lamperti, John (১৯৭৭)। Stochastic Processes: A Survey of the Mathematical Theory (ইংরেজি ভাষায়)। Springer-Verlag। আইএসবিএন 978-3-540-90275-1।
- ↑ Kallenberg, Olav (২০০২-০১-০৮)। Foundations of Modern Probability (ইংরেজি ভাষায়)। Springer Science & Business Media। পৃষ্ঠা ২৪–২৫। আইএসবিএন 978-0-387-95313-7।
- ↑ Lawler, Gregory F.; Limic, Vlada (২০১০-০৬-২৪)। Random Walk: A Modern Introduction (ইংরেজি ভাষায়)। Cambridge University Press। আইএসবিএন 978-1-139-48876-1।
- ↑ Williams, David (১৯৯১-০২-১৪)। Probability with Martingales (ইংরেজি ভাষায়)। Cambridge University Press। আইএসবিএন 978-0-521-40605-5।
- ↑ Applebaum, David (২০০৪-০৭-০৫)। Lévy Processes and Stochastic Calculus (ইংরেজি ভাষায়)। Cambridge University Press। আইএসবিএন 978-0-521-83263-2।
- ↑ Lifshits, Mikhail (২০১২-০১-১১)। Lectures on Gaussian Processes (ইংরেজি ভাষায়)। Springer Science & Business Media। আইএসবিএন 978-3-642-24939-6।
- ↑ Adler, Robert J. (২০১০-০১-২৮)। The Geometry of Random Fields (ইংরেজি ভাষায়)। SIAM। আইএসবিএন 978-0-89871-693-1।
- ↑ Karlin, Samuel; Taylor, Howard E. (২০১২-১২-০২)। A First Course in Stochastic Processes (ইংরেজি ভাষায়)। Academic Press। আইএসবিএন 978-0-08-057041-9।
- ↑ Latouche, G. (Guy) (১৯৯৯)। Introduction to matrix analytic methods in stochastic modeling। Ramaswami, V.। Philadelphia, Pa.: Society for Industrial and Applied Mathematics। আইএসবিএন 0-89871-425-7। ওসিএলসি 40163561।
- ↑ Daley, D. J.; Vere-Jones, David (২০০৭-১১-১২)। An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure (ইংরেজি ভাষায়)। Springer Science & Business Media। আইএসবিএন 978-0-387-21337-8।
- ↑ Hajek, Bruce (২০১৫-০৩-১২)। Random Processes for Engineers (ইংরেজি ভাষায়)। Cambridge University Press। আইএসবিএন 978-1-316-24124-0।
- ↑ Billingsley, Patrick (২০০৮-০৮-০৪)। PROBABILITY AND MEASURE, 3RD ED (ইংরেজি ভাষায়)। Wiley India Pvt. Limited। আইএসবিএন 978-81-265-1771-8।
- ↑ Brémaud, Pierre (২০১৪-০৯-১৬)। Fourier Analysis and Stochastic Processes (ইংরেজি ভাষায়)। Springer। আইএসবিএন 978-3-319-09590-5।
- ↑ Bobrowski, Adam (২০০৫-০৮-১১)। Functional Analysis for Probability and Stochastic Processes: An Introduction (ইংরেজি ভাষায়)। Cambridge University Press। আইএসবিএন 978-0-521-83166-6।