বৃত্তীয় গতি

পদার্থবিজ্ঞানে, বৃত্তীয় গতি হল একটি বৃত্তের পরিধি বরাবর কোনও বস্তুর চলাচল বা একটি বৃত্তাকার পথ ধরে ঘূর্ণন। এটি অপরিবর্তনীয় হতে পারে, অর্থাৎ কৌণিক আবর্তনের হার এবং গতিবেগ অপরিবর্তনীয়, বা পরিবর্তনীয় হতে পারে, যেখানে আবর্তনের হার পরিবর্তিত হয়। ত্রি-মাত্রিক বস্তুর একটি নির্দিষ্ট অক্ষের চারপাশে ঘূর্ণন হলে এর প্রতিটি অংশের বৃত্তাকার গতি থাকে। গতির সমীকরণগুলি বস্তুর ভরকেন্দ্রের গতি বর্ণনা করে।

বৃত্তীয় গতির উদাহরণের মধ্যে আছে: একটি কৃত্রিম উপগ্রহের স্থির উচ্চতায় পৃথিবী প্রদক্ষিণ, একটি ছাদের পাখার ফলকগুলির একটি চক্রকেন্দ্রের চারদিকে ঘোরা, দড়িতে বাঁধা একটি পাথরকে বৃত্তীয় পথে ঘোরানো, একটি গাড়ির দৌড়ের পথে বক্ররেখায় ঘোরা, একটি ইলেকট্রনের একটি অভিন্ন চৌম্বক ক্ষেত্রে লম্বভাবে গতিশীল থাকা, এবং একটি গিয়ারের একটি যন্ত্রের ভিতরে ঘোরা।

যেহেতু বস্তুর বেগ ভেক্টর ক্রমাগত দিক পরিবর্তন করছে, অতএব ঘূর্ণন কেন্দ্রের অভিমুখে চলন্ত বস্তুটির ত্বরণ ঘটছে। এটি ঘটছে একটি কেন্দ্রমুখী বলের অধীনে। এই ত্বরণ না থাকলে নিউটনের গতিসূত্র অনুসারে বস্তুটি সরলরেখায় চলত।

সুষম বৃত্তীয় গতি

চিত্র ১: অভিন্ন বৃত্তীয় গতিতে, গতিবেগ v এবং ত্বরণ a কৌণিক হার ω তে; দ্রুতির পরিবর্তন হচ্ছেনা, কিন্তু বেগ সর্বদা কক্ষপথের স্পর্শক অভিমুখী থাকছে; ত্বরণের মান অপরিবর্তনীয়, তবে সর্বদা আবর্তনের কেন্দ্রের দিকে নির্দেশ করছে।

চিত্র ২: সময় t এবং সময় t + dt তে বেগ ভেক্টর কক্ষপথ থেকে বাম দিকে একটি নতুন অবস্থায় সরে যাচ্ছে, যেখানে ডানদিকে তাদের পশ্চাদ্বর্তী অংশ মিলছে। যেহেতু বেগের মান v = r ω তে স্থির আছে, বেগের ভেক্টরগুলিও বৃত্তীয় পথে পরিভ্রমন করছে যার কৌণিক হার ω। যেহেতু dt → ০, ত্বরণ ভেক্টর a, vএর ওপর লম্ব হচ্ছে, এর মানে এটি বাম দিকে বৃত্তের কক্ষপথের কেন্দ্রের দিকে নির্দেশ করছে। কোণ ω dt দুটি বেগের মধ্যে খুব ছোট কোণ, যার প্রবণতা শূন্য, কারণ dt→ ০

চিত্র ৩: (বাম) বল বৃত্তীয় গতিতে আছে – বলটিকে বৃত্তে রাখার জন্য দড়ির মাধ্যমে কেন্দ্রমুখী বল সরবরাহ হয়। (ডান) দড়ি কাটা হয়েছে এবং দড়িটি কাটার সময় যে গতিবেগ ছিল সেই বেগে, নিউটনের জড়তা সূত্র অনুসারে, বলটি সরল রেখায় চলতে থাকছে, কেননা এখন আর কোন কেন্দ্রমুখী বল নেই।

পদার্থবিজ্ঞানে, অভিন্ন বৃত্তীয় গতি,- স্থির গতিবেগে বৃত্তাকার পথ অতিক্রমকারী কোনও বস্তুর গতি বর্ণনা করে। যেহেতু বস্তুটি বৃত্তীয় গতিতে আছে, আবর্তনের অক্ষ থেকে এর দূরত্ব সর্বদা স্থির থাকে। যদিও বস্তুরর দ্রুতির পরিবর্তন হচ্ছেনা, এর গতিবেগ পরিবর্তিত হচ্ছে: গতিবেগ, একটি ভেক্টর রাশি হওয়ায়, বস্তুর গতি এবং তার ভ্রমণের অভিমুখ উভয়ের উপর নির্ভর করে। বেগের পরিবর্তন হচ্ছে অর্থাৎ এখানে ত্বরণের উপস্থিতি নির্দেশ করছে; এই কেন্দ্রমুখী ত্বরণের মানের পরিবর্তন হচ্ছেনা এবং এর অভিমুখ আবর্তনের অক্ষের দিকে সর্বদা নির্দেশিত। এই ত্বরণটি কেন্দ্রমুখী বল দ্বারা উৎপাদিত হয় এবং সেটিও স্থির মানের এবং ঘূর্ণনের অক্ষের দিকে নির্দেশিত।

একটি দৃঢ় বস্তুর নির্দিষ্ট অক্ষের চারপাশে ঘূর্ণনের ক্ষেত্রে, যদি বস্তুটি আবর্তন পথের ব্যাসার্ধের থেকে তুলনামূলকভাবে ছোট না হয়, বস্তুর প্রতিটি কণা একই কৌণিক বেগ সহ অভিন্ন বৃত্তাকার গতিতে চলে। তবে অক্ষের সাপেক্ষে স্থান পরিবর্তনের সাথে সাথে গতিবেগ এবং ত্বরণ পরিবর্তিত হচ্ছে।

সূত্র

চিত্র ১: অভিন্ন বৃত্তাকার গতির জন্য ভেক্টর সম্পর্ক; ভেক্টর ω, যেটি ঘূর্ণনকে বোঝাচ্ছে, সেট কক্ষপথের তলের সাথে লম্বভাবে আছে।

একটি বৃত্তীয় গতি যার ব্যাসার্ধ r, বৃত্ত Cএর পরিধি হল = 2πr। যদি একটি ঘূর্ণনের সময়কাল T হয়, আবর্তনের কৌণিক হার, ω, যেটি কৌণিক বেগ নামেও পরিচিত, সেটি হল:

$\omega ={\frac {2\pi }{T}}=2\pi f={\frac {d\theta }{dt}}\$ এবং এর একক রেডিয়ান/সেকেন্ড

বৃত্তে ভ্রমণকারী বস্তুর গতি:

$v={\frac {2\pi r}{T}}=\omega r$

t সময়ে অতিক্রান্ত কোণ θ হল:

$\theta =2\pi {\frac {t}{T}}=\omega t\,$

বস্তুর কৌণিক ত্বরণ, α, হল:

$\alpha ={\frac {d\omega }{dt}}$

অভিন্ন বৃত্তীয় গতির ক্ষেত্রে, α এর মান শূন্য।

দিক পরিবর্তনের কারণে যে ত্বরণ হচ্ছে তা হল:

$a_{c}={\frac {v^{2}}{r}}=\omega ^{2}r$

ত্বরণসূত্র ব্যবহার করেও কেন্দ্রমুখী এবং কেন্দ্রবিমুখী বলও বার করা যাবে:

$F_{c}={\dot {p}}\ {\overset {{\dot {m}}=0}{=}}\ ma_{c}={\frac {mv^{2}}{r}}$

চিত্র ১-এ ভেক্টর সম্পর্কগুলি দেখানো হয়েছে। আবর্তনের অক্ষ ভেক্টর ω হিসেবে দেখানো হয়েছে, যেটি কক্ষপথের তলের সাথে লম্বভাবে আছে এবং তার মান ω = dθ / dt। ω এর অভিমুখ দক্ষিণ হস্তের নিয়ম ব্যবহার করে বেছে নেওয়া হয়েছে। এই ধারা অনুযায়ী আবর্তন বর্ণনা করার জন্য, গতিবেগের মান হয় একটি ভেক্টর সদিক গুণন,

$\mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} \ ,$

এটিও একটি ভেক্টর রাশি এবং ω ও r(t) দুজনের ওপরেই লম্ব, এবং কক্ষপথের স্পর্শক। এর মান ω r। একইভাবে, ত্বরণ হল

$\mathbf {a} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} \right)\ ,$

এটিও একটি ভেক্টর এবং ω ও v(t) দুজনের ওপর লম্ব। এর মান ω |v| = ω² r এর অভিমুখ r(t)এর ঠিক বিপরীত।

সবচেয়ে সরল ক্ষেত্রে গতি, ভর এবং ব্যাসার্ধ অপরিবর্তনীয়।

মনে করা যাক ১ কিলোগ্রামের একটি বস্তু, এক মিটার ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তে চলমান, যার কৌণিক বেগ হল এক রেডিয়ান প্রতি সেকেন্ড।

• দ্রুতি হল ১ মিটার প্রতি সেকেন্ড
• অন্তর্মুখী ত্বরণ হল প্রতি বর্গ সেকেন্ডে ১ মিটার, v^২/r.
• এটিতে প্রতি বর্গ সেকেন্ডে ১ কিলোগ্রাম মিটার অর্থাৎ ১ নিউটন কেন্দ্রমুখী বল প্রযুক্ত হয়েছে
• বস্তুর ভরবেগ হল ১ কেজি·মি·সেকেন্ড^−১.
• জড়তার ভ্রামক হল ১ কেজি·মি^২.
• কৌণিক ভরবেগ হল ১ কেজি·মি^২·সেকন্ড^−১.
• গতিবেগ হল ১ জুল.
• কক্ষপথের পরিধি হল ২π (~৬.২৮৩) মিটার।
• গতির পর্যায়কাল ২π সেকেন্ড প্রতি আবর্তন।
• কম্পাঙ্ক হল (২π)^−১ হার্জ।

আরও দেখুন

• ভূস্থির কক্ষপথ
• সরল স্পন্দন গতি

বহিঃসংযোগ

• Physclips: Mechanics with animations and video clips from the University of New South Wales
• Circular Motion ওয়েব্যাক মেশিনে আর্কাইভকৃত ১৪ ডিসেম্বর ২০১০ তারিখে – a chapter from an online textbook
• Circular Motion Lecture – a video lecture on CM
• [১] – an online textbook with different analysis for circular motion