পর্যাবৃত্ত ফাংশন

একটি ফাংশন, নিয়মিত বিরতিতে যার মানের পুনরাবৃত্তি ঘটে তাকে পর্যাবৃত্ত ফাংশন বলে। উদাহরণস্বরূপ, ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের যদি $2\pi$ রেডিয়ান ব্যবধানে পুনরাবৃত্তি হয় তবে সেটি পর্যাবৃত্ত ফাংশন। পর্যাবৃত্ত ফাংশনগুলি দোলন বা স্পন্দন, তরঙ্গ এবং কম্পাঙ্ক প্রমুখ বর্ণনা করতে ব্যবহৃত হয়। পর্যায়ক্রমিক নয় এমন যে কোনো ফাংশনকে অপর্যাবৃত্ত ফাংশন বলে।

একটি পর্যাবৃত্ত ফাংশনের যেখানে পর্যায়কাল হল P

সংজ্ঞা

কোনো অশূন্য ধ্রুবক P এর ক্ষেত্রে একটি ফাংশন f কে পর্যাবৃত্তিক বলে যদি,

$f(x+P)=f(x)$

হয়।

ডোমেনে x এর সকল মানের জন্য এটি প্রযোজ্য। আর অশূন্য ধ্রুবক P হলো এই ফাংশনের একটি পর্যায় । ধ্রুবক P এর সর্বনিম্ন ধনাত্মক মান থাকলে তাকে মৌলিক পর্যায়কাল বলে। প্রায়শই, একটি ফাংশনের পর্যায় কাল বলতে এর মৌলিক পর্যায়কালকেই বোঝানো হয়। P পর্যায়ের একটি ফাংশন P এককের ব্যবধানে পুনরাবৃত্তি করবে এবং এই ব্যবধানগুলিকেও ফাংশনের পর্যায়কাল হিসাবে বলা হয়ে থাকে।

জ্যামিতিকভাবে, একটি পর্যাবৃত্ত ফাংশনকে এমন একটি ফাংশন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যার গ্রাফ ট্রান্সলেশনাল প্রতিসাম্যতা প্রদর্শন করে, অর্থাৎ একটি P পর্যায়ের ফাংশন f পর্যাবৃত্তিক হবে যখন f এর ফাংশনটি গ্রাফে x অক্ষ বরাবর যদি P দূরত্ব পরপর অপরিবর্তিত থাকে। পর্যায়বৃত্ততার এই সংজ্ঞাটি অন্যান্য জ্যামিতিক আকার এবং প্যাটার্নের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য, সেইসাথে অধিক মাত্রার আকৃতিগুলো, যেমন কোনো সমতলের পর্যাবৃত্তিক টালিকরণ, এগুলোর ক্ষেত্রেও ব্যবহার করা যেতে পারে।

উদাহরণ

সাইন ফাংশনের একটি গ্রাফ এবং এর দুটি সম্পূর্ণ পর্যায়

বাস্তব সংখ্যা উদাহরণ

সাইন ফাংশনের পর্যায়কাল $2\pi$, কেননা

$\sin(x+2\pi )=\sin x$

এক্ষেত্রে $x$ এর সকল মানের জন্য এটি সঠিক। এই ফাংশনের $2\pi$ দৈর্ঘ্যের ব্যবধানে পুনরাবৃত্তি হয় (ডানের গ্রাফ দেখুন)।

$f(x+nP)=f(x)$

$f(x)=\sin(x)$ এবং $g(x)=\cos(x)$ এর গ্রাফ; উভয় ফাংশন পর্যায়কাল $2\pi$

যেহেতু কোসাইন এবং সাইন ফাংশন উভয়রই পর্যায়কাল $2\pi$, জটিল সূচকটি কোসাইন এবং সাইন তরঙ্গ দ্বারা গঠিত। এর মানে হল যে অয়লারের সূত্রে (উপরে) এমন বৈশিষ্ট্য রয়েছে যে যদি $L$ ফাংশনের পর্যায়কাল হয়, তবে

জটিল সংখ্যা উদাহরণ

জটিল চলক সহ সাধারণ পর্যাবৃত্ত ফাংশনের সমীকরণ হলো:

$e^{ikx}=\cos kx+i\,\sin kx.$

$L={\frac {2\pi }{k}}.$

দ্বি-পর্যাবৃত্তিক ফাংশন

একটি ফাংশন যার ডোমেইন জটিল সংখ্যা সেটির পর্যায়কাল ধ্রুবক না হয়ে দুটি অসামঞ্জস্যপূর্ণ পর্যায় হিসেবে থাকতে পারে। উপবৃত্তাকার ফাংশনগুলোর ক্ষেত্রে সাধারণত এরকম হয়ে থাকে।

বৈশিষ্ট্য

$f(x+P)=e^{ikP}f(x)$

পর্যাবৃত্তিক ফাংশনের একটি সাধারণ উপসেট হল অ্যান্টিপিরিওডিক ফাংশন । এটি একটি ফাংশন $f$ যেখানে $x$ এর সকল মানের জন্য$f(x+P)=-f(x)$ সত্য। অর্থাৎ একটি $P$ -অ্যান্টিপিরিওডিক ফাংশন হলো একটি $2P$ পর্যায়ের পর্যাবৃত্তিক ফাংশন। যেমন, সাইন এবং কোসাইন ফাংশন হল $\pi$ -অ্যান্টিপিরিওডিক এবং $2\pi$ -পর্যাবৃত্তিক। যদিও একটি $P$ -অ্যান্টিপিরিওডিক ফাংশন একটি $2P$ - পর্যায়ক্রমিক ফাংশন হয়ে থাকে, তবে এর উল্টোটা সবসময় সত্য নাও হতে পারে।

সাধারণীকরণ

ব্লচ-পর্যাবৃত্তিক ফাংশন

$f(x+P)=e^{ikP}f(x)$

ডোমেন হিসাবে কোশেন্ট স্পেস

${\mathbb {R} /\mathbb {Z} }=\{x+\mathbb {Z} :x\in \mathbb {R} \}=\{\{y:y\in \mathbb {R} \land y-x\in \mathbb {Z} \}:x\in \mathbb {R} \}$ .

পর্যায়কালের গণনা

• পশ্চিমা প্রধান স্কেলের সমস্ত নোট প্রতিনিধিত্বকারী সেটের জন্য: [1৯⁄৮৫⁄৪৪⁄৩৩⁄২৫⁄৩১৫⁄৮ ] LCD 24 তাই T =২৪⁄f ।
• একটি প্রধান ট্রায়াডের সমস্ত নোট প্রতিনিধিত্বকারী সেটের জন্য: [1৫⁄৪৩⁄২ ] LCD 4 তাই T =৪⁄f ।
• একটি ছোট ট্রায়াডের সমস্ত নোট প্রতিনিধিত্বকারী সেটের জন্য: [1৬⁄৫৩⁄২ ] LCD 10 তাই T =১০⁄f ।

আরও দেখুন

• Almost periodic function
• Amplitude
• Continuous wave
• Definite pitch
• Double Fourier sphere method
• Doubly periodic function
• Fourier transform for computing periodicity in evenly spaced data
• Frequency
• Frequency spectrum
• Least-squares spectral analysis for computing periodicity in unevenly spaced data
• Periodic sequence
• Periodic summation
• Periodic travelling wave
• Quasiperiodic function
• Seasonality
• Secular variation
• Wavelength
• List of periodic functions

তথ্যসূত্র

• Ekeland, Ivar (১৯৯০)। "One"। Convexity methods in Hamiltonian mechanics। Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)]। Springer-Verlag। পৃষ্ঠা x+247। আইএসবিএন 3-540-50613-6। এমআর 1051888। 

বহিঃ সংযোগ

• ম্যাথওয়ার্ল্ডে পর্যায়ক্রমিক ফাংশন