অয়লারের সূত্র

অয়লারের সূত্র জটিল বিশ্লেষণের একটি গাণিতিক সূত্র যা ত্রিকোণমিতিক ফাংশন এবং জটিল সূচকীয় ফাংশনগুলির মধ্যে মৌলিক সম্পর্ক স্থাপন করে। এ সূত্রটির নামকরণ করা হয় বিখ্যাত গণিতবিদ লিওনার্দ অয়লারের নামানুসারে। এ সূত্রানুসারে যে কোন বাস্তব সংখ্যা এর জন্য,

যেখানে হল প্রাকৃতিক লগারিদমের ভিত্তি, কাল্পনিক সংখ্যার একক , হল ত্রিকোণমিতিক কোসাইন ও সাইন ফাংশন এবং রেডিয়ানে প্রকাশিত। এই জটিল সূচকীয় ফাংশনটি কখনও কখনও ("cosine plus i sine") দ্বারাও চিহ্নিত করা হয়। যদি জটিল সংখ্যা হয় তাহলেও সূত্রটি বৈধ এবং তাই কিছু লেখক অয়লারের সূত্র হিসাবে এই সাধারণ জটিল সংস্করণটি বোঝায়।

অয়লারে সূত্রে বসিয়ে পাই , , যা অয়লারের অভেদ নামে পরিচিত।

প্রমাণসম্পাদনা

টেইলরের ধারার সাহায্যেসম্পাদনা

 

ক্যালকুলাসের সাহায্যেসম্পাদনা

প্রমাণ ১ঃসম্পাদনা

ধরা যাক,

 

  কে   এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে,  

যেহেতু ফাংশন   এর অন্তরীকরণ শূন্য সেহেতু এটি একটি ধ্রুব ফাংশন। অর্থাৎ,   , যেখানে   একটি ধ্রুবক।

  বসিয়ে,  

সুতরাং,  

অর্থাৎ   (প্রমাণিত)

প্রমাণ ২ঃসম্পাদনা

ধরা যাক,

 

যেখানে   সমাকলন ধ্রুবক। প্রথম লাইনের সমীকরণে   বসালে   হয়। শেষ সমীকরণে   এবং   বসিয়ে   পাওয়া যায়।

সুতরাং,

 
  (প্রমাণিত)