ধীর পরিবর্তনশীল ফাংশন

বাস্তব বিশ্লেষণে, গণিতের একটি শাখা, একটি ধীরে ধীরে পরিবর্তিত ফাংশন হল একটি বাস্তব পরিবর্তনশীলের একটি ফাংশন যার অসীমতার আচরণ কিছু অর্থে অসীমে রূপান্তরিত একটি ফাংশনের আচরণের মতো। একইভাবে, একটি নিয়মিত পরিবর্তিত ফাংশন হল একটি বাস্তব পরিবর্তনশীলের একটি ফাংশন যার অসীমতার আচরণ অসীমের কাছাকাছি একটি পাওয়ার ল ফাংশনের (যেমন একটি বহুপদী ) আচরণের অনুরূপ। এই শ্রেণীর ফাংশন উভয়ই জোভান কারামাটা দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল, এবং বেশ কিছু গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগ খুঁজে পেয়েছে, উদাহরণস্বরূপ সম্ভাব্যতা তত্ত্বে ।

মৌলিক সংজ্ঞা

সংজ্ঞা ১. একটি পরিমাপযোগ্য ফাংশন L : (0, +∞) → (0, +∞) কে ধীর পরিবর্তনশীল বলা হবে (অসীমে) যদি সকল a > 0 এর জন্য,

$\lim _{x\to \infty }{\frac {L(ax)}{L(x)}}=1.$

সংজ্ঞা ২.ধরি L : (0, +∞) → (0, +∞)।তাহলে L একটি ক্রমাগত পরিবর্তনশীল ফাংশন হবে যদি এবং কেবল যদি $\forall a>0,g_{L}(a)=\lim _{x\to \infty }{\bigg |}{\frac {L(ax)}{L(x)}}{\bigg |}\in \mathbb {R} ^{+}$।সুনির্দিষ্টভাবে,সীমা টিকে নির্দিষ্ট হতে হবে।

এই সংজ্ঞা জোভান কারামাতার দেয়া।

বিঃদ্রঃ. নিয়মিত পরিবর্তিত ক্ষেত্রে, দুটি ধীরে ধীরে পরিবর্তিত ফাংশনের যোগফল আবার ধীরে ধীরে পরিবর্তিত ফাংশন।

মৌলিক বৈশিষ্ট্য

নিয়মিত পরিবর্তিত ফাংশনের কিছু গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য রয়েছে: সেগুলির একটি আংশিক তালিকা নীচে রিপোর্ট করা হয়েছে। বিংহ্যাম, গোল্ডই & টিউগেলস (১৯৮৭) দ্বারা মনোগ্রাফে নিয়মিত বৈচিত্র্যের বৈশিষ্ট্যযুক্ত বৈশিষ্ট্যগুলির আরও বিস্তৃত বিশ্লেষণ উপস্থাপন করা হয়েছে।

সীমাবদ্ধ আচরণের সুষমতা

তত্ত্ব ১.সংজ্ঞা ১ এবং ২ এ বর্ণিত লিমিটদ্বয় সুষম যদি a একটি দৃঢ় ব্যবধানএর মধ্যে সুনির্দিষ্ট।

কারামাটার চরিত্রায়ন উপপাদ্য

তত্ত্ব ২. প্রতিটি নিয়মিত পরিবর্তনশীল ফাংশন f : (0, +∞) → (0, +∞) এই রুপে থাকে,

$f(x)=x^{\beta }L(x)$

যেখানে

• β একটি বাস্তব সংখ্যা,
• L একটি ধীর পরিবর্তনশীল ফাংশন।

নোট এটি বোঝায় যে সংজ্ঞা ২ -এ ফাংশন g(a) অবশ্যই নিম্নলিখিত ফর্মের হতে হবে

$g(a)=a^{\rho }$

যেখানে প্রকৃত সংখ্যা ρ কে নিয়মিত পরিবর্তনের সূচক বলা হয়।

কারামাটা প্রতিনিধিত্ব উপপাদ্য

একটি ফাংশন L ধীর পরিবর্তনশীল হবে যদি এবং কেবল যদি B > 0 যেন সকল x ≥ B এর জন্য ফাংশনটিকে এমনভাবে লেখা যায়

$L(x)=\exp \left(\eta (x)+\int _{B}^{x}{\frac {\varepsilon (t)}{t}}\,dt\right)$

যেখানে

• η(x) একটি বাস্তব চলকের সীমাবদ্ধ পরিমাপযোগ্য ফাংশন যা একটি সসীম সংখ্যায় মিলিত হয় যখন x অসীমে পৌঁছায়
• ε(x) একটি বাস্তব চলকের সীমাবদ্ধ পরিমাপযোগ্য ফাংশন যা শূন্যে মিলিত হয় যখন অসীমে পৌঁছায়।

উদাহরণ

• যদি L এর একটি সীমা থাকে

$\lim _{x\to \infty }L(x)=b\in (0,\infty ),$

তাহলে L একটি ধীর পরিবর্তনশীল ফাংশন।

• যে কোনো β ∈ R এর জন্য, ফাংশন L(x) = log^β x ধীরে ধীরে পরিবর্তিত হয়।
• ফাংশন L(x) = x ধীরে ধীরে পরিবর্তিত হয় না, L(x) = x^β ও হয় না যেকোনো বাস্তব β ≠ 0 এর জন্য।তবে এই ফাংশন নিয়মিত পরিবর্তনশীল।

আরো দেখুন

• বিশ্লেষণাত্মক সংখ্যা তত্ত্ব
• হার্ডি-লিটলউড টবেরিয়ান উপপাদ্য এবং কারামাটা দ্বারা এর চিকিত্সা

তথ্যসূত্র

•  Bingham, N.H. (2001) [1994], "Karamata theory", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
•  Bingham, N. H.; Goldie, C. M.; Teugels, J. L. (1987), Regular Variation, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 27, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-30787-2, MR 0898871, Zbl 0617.26001
•  .Galambos, J.; Seneta, E. (১৯৭৩), "Regularly Varying Sequences", Proceedings of the American Mathematical Society, 41 (1): 110–116, আইএসএসএন 0002-9939, জেস্টোর 2038824, ডিওআই:10.2307/2038824  উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)