দিক কোসাইন

কোন ভেক্টর ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার ধনাত্মক অক্ষ তিনটির সাথে যে কোণগুলো তৈরি করে স্থানাঙ্ক জ্যামিতিতে তাদেরকে ভেক্টরটির দিক কোসাইন বলা হয়। একইভাবে বলা যায়, কোন একক ভেক্টরের দিক বরাবর একক ভেক্টরটির বেসিসের প্রতিটি উপাংশের ফল হলো এই দিক কোসাইনগুলো। এই কোসাইন দিগঙ্কগুলো হচ্ছে আমাদের জানা ঢালের ধারনার উচ্চতর মাত্রায় সম্প্রসারণ।

ত্রিমাত্রিক কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক সম্পাদনা

R³ স্থানে v ভেক্টর।

একক ভেক্টর v/|v| এর দিক কোসাইন এবং দিক কোণ

যদি R³ ত্রিমাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানে v একটি ইউক্লিডীয় ভেক্টর হয় তাহলে আমরা পাব —

\mathbf {v} =v_{x}\mathbf {e} _{x}+v_{y}\mathbf {e} _{y}+v_{z}\mathbf {e} _{z}

এখানে e_x, e_y এবং e_z হচ্ছে আদর্শ বেসিস যাদেরকে কার্তেসীয় নোটেশনের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়েছে। অতএব দিক কোসাইনগুলো হবে —

{\begin{alignedat}{2}\alpha &{}=\cos a={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{x}}{\Vert \mathbf {v} \Vert }}&&{}={\frac {v_{x}}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}},\\\beta &{}=\cos b={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{y}}{\Vert \mathbf {v} \Vert }}&&{}={\frac {v_{y}}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}},\\\gamma &{}=\cos c={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{z}}{\Vert \mathbf {v} \Vert }}&&{}={\frac {v_{z}}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}\end{alignedat}}

প্রত্যেকটি সমীকরণকে বর্গ করে যোগ করলে হবে —

\cos ^{2}a+\cos ^{2}b+\cos ^{2}c=\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=1

এখানে α, β ও γ হলো দিক কোসাইন। আর v/|v| হচ্ছে একক ভেক্টরটির কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক। a, b এবং c হলো v ভেক্টরের দিক কোণ।

a, b ও c দিক কোনগুলো সূক্ষ্মকোণ অথবা স্থূলকোণ হবে। যেমন: 0 ≤ a ≤ π, 0 ≤ b ≤ π এবং 0 ≤ c ≤ π। উপরন্তু দিক কোণগুলো e_x, e_y ও e_z একক বেসিস ভেক্টরগুলোর সাথে v ভেক্টরটির গঠিত কোণগুলোকেও নির্দেশ করে।

সাধারণ অর্থ সম্পাদনা

আরও সাধারণভাবে বলা যায়, দিক কোসাইন দুটি ভেক্টরের অন্তর্ভুক্ত কোণের কোসাইনকে নির্দেশ করে। অর্থোনর্মাল বেসিস ভেক্টরের একটি সেটকে অন্য আরেকটি সেটের শর্তাধীনে প্রকাশ করে এমন দিক কোসাইন ম্যাট্রিক্সসমূহ গঠন করতে দিক কোসাইনগুলোর প্রয়োজন হয়। অথবা পরিচিত একটি ভেক্টরকে ভিন্ন আরেকটি বেসিসের মাধ্যমে প্রকাশেও এর প্রয়োজন হতে পারে।

তথ্যসূত্র সম্পাদনা

Kay, D. C. (১৯৮৮)। Tensor Calculus। Schaum’s Outlines। McGraw Hill। পৃষ্ঠা 18–19। আইএসবিএন 0-07-033484-6।
Spiegel, M. R.; Lipschutz, S.; Spellman, D. (২০০৯)। Vector analysis। Schaum’s Outlines (2nd সংস্করণ)। McGraw Hill। পৃষ্ঠা 15, 25। আইএসবিএন 978-0-07-161545-7।
Tyldesley, J. R. (১৯৭৫)। An introduction to tensor analysis for engineers and applied scientists। Longman। পৃষ্ঠা 5। আইএসবিএন 0-582-44355-5।
Tang, K. T. (২০০৬)। Mathematical Methods for Engineers and Scientists। 2। Springer। পৃষ্ঠা 13। আইএসবিএন 3-540-30268-9।
এরিক ডব্লিউ. ওয়াইস্টাইন সম্পাদিত ম্যাথওয়ার্ল্ড থেকে "Direction Cosine"।