গুণ (গণিত)

গণিতের চারটি মৌলিক ক্রিয়ার একটি
(গুণ থেকে পুনর্নির্দেশিত)

অঙ্কশাস্ত্রের চারটি মৌলিক ক্রিয়ার মধ্যে গুণ (বা গুণন) একটি, যেখানে অন্য তিনটি ক্রিয়া হলো যোগ, বিয়োগ এবং ভাগ)। গুণকে সচরাচর আড়াআড়ি ক্রশ চিহ্ন দ্বারা সূচিত করা হয়। এছাড়া গুণে ব্যবহৃত সংখ্যা বা চলকগুলোর অভ্যন্তরে বিন্দু বসিয়ে, চলকের ক্ষেত্রে একে অপরকে পাশাপাশি বসিয়ে এবং কম্পিউটারের ক্ষেত্রে সংখ্যার মধ্যে তারাচিহ্ন বসিয়ে গুণকে নির্দেশ করা হয়ে থাকে। সংখ্যার গুণন ক্রিয়ায় যে ফল বের হয় তাকে বলা হয় গুণফল।

৪টি থলের প্রতিটিতে ৩টি করে মার্বেল থাকলে মার্বেলের মোট পরিমাণ হবে ১২টি (৪ × ৩ = ১২)।
গুণকে স্কেলিংরূপেও কল্পনা করা যেতে পারে। চিত্রে স্কেলিংয়ের মাধ‍্যমে ২ কে ৩ দ্বারা গুণ এবং গুণফল হিসেবে ৬ দেখানো হয়েছে।
২ × ৩ = ৬ গুণের অ‍্যানিমেশন।
৪ × ৫ = ২০। বড় আয়তক্ষেত্রটি ২০টি বর্গের সমন্বয়ে গঠিত, যেগুলোর প্রতিটির মান এক একক।
একটি কাপড়ের ক্ষেত্রফল। ৪.৫মি. × ২.৫মি. = ১১.২৫মি.; / × ২/ = ১১/

দুইটি পূর্ণ সংখ্যার গুণকে পৌনঃপুনিক যোগ হিসেবে কল্পনা করা যেতে পারে, যেখানে গুণফল হলো সংখ্যা দুটির যেকোনো একটিকে অপর সংখ্যার মান যত তত বার যোগ করার সমান। অর্থাৎ দুইটি পূর্ণ সংখ্যা "ক" এবং "খ"-এর মধ্যকার গুণ হচ্ছে, "ক"-এর যে সংখ্যামান আছে, ততটি "খ"-কে তার নিজের সাথে যোগ। এক্ষেত্রে "ক"-কে গুণ্য, "খ"-কে 'গুণক এবং গুণ ক্রিয়ার ফলাফলকে গুণফল বলা হয়। গুণনে অংশগ্রহণকারী "ক" এবং "খ"-এর উভয়কেই এই গুণফলের গুণজ বা গুণনীয়ক বা উৎপাদক বলা হয়।

উদাহরণস্বরূপ, ৩ দিয়ে ৪-এর গুণকে সচরাচর ৩ × ৪ এর আকারে লেখা হয় এবং ইংরেজিবলয়ে একে থ্রি টাইমস ফোর পড়া হয়, যার অর্থ দাড়ায়, ৪-কে ৩ বার যোগ। ফলতঃ ৩ × ৪ এর গণনা ৪-এর তিনটি অনুলিপির একত্রে যোগের মাধ্যমে করা যেতে:

৩ × ৪ = ৪ + ৪ + ৪ = ১২

এখানে ৩ (গুণক) ও ৪ (গুণ্য) হলো গুণনীয়ক এবং ১২ হলো গুণফল।

গুণের প্রধান একটি ধর্ম হলো এর বিনিময়যোগ্যতা, যা এ কথাই বলে যে, ৪-এর তিনটি অনুলিপির যোগের যে ফলাফল বের হবে, ৩-এর চারটি অনুলিপির যোগেও সেই ফলাফলই পাওয়া যাবে। অর্থাৎ, "৩ দিয়ে ৪-কে গুণ" এবং "৪ দিয়ে ৩-কে গুণ" করা সমার্থক।

৪ × ৩ = ৩ + ৩ + ৩ + ৩ = ১২

এই কারণে, গুণ্য ও গুণকের সংজ্ঞা বা অভিধা কী হলো না হলো তা গুণফলের ওপর কোনো প্রভাব ফেলে না।[১]

এই মৌলিক সংজ্ঞার যে পদ্ধতিগত সাধারণীকরণগুলো রয়েছে সেগুলো দিয়েই ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা, পূর্ণসংখ্যা, মূলদ সংখ্যাসহ সকল বাস্তব সংখ্যার গুণকে সংজ্ঞায়িত করা হয়।

এছাড়া গুণকে একটি আয়তক্ষেত্র কতটি পূর্ণ সংখ্যক বস্তু দিয়ে সাজানো রয়েছে সেই সংখ্যা গণনারূপে করা কল্পনা করা যেতে পারে। অথবা একে কল্পনা করা যেতে পারে নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য-প্রস্থের বাহুযুক্ত একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সাথে। কোন বাহুটি প্রথমে পরিমাপ করা হলো আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল তার উপর নির্ভর করে না - যা গুণের বিনিময় বৈশিষ্ট্যেরই অনুসারী।

দুটি রাশির গুণনের ফলে একটি নতুন ধরনের রাশি বের হয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি আয়তক্ষেত্রের দুই বাহুর দৈর্ঘ্যকে গুণ করলে এর ক্ষেত্রফল পাওয়া যায়, যেখানে দৈর্ঘ্য ও ক্ষেত্রফল পরস্পরের সাথে সম্পর্কযুক্ত হলেও এরা সম্পূর্ণভাবে আলাদা দুটি রাশি বা পরিমাপ। এই ধরনের একটি গুণ মাত্রা সমীকরণের আলোচনার বিষয়।

গুণের বিপরীত প্রক্রিয়া হলো ভাগ। উদাহরণস্বরূপ, ৪-কে ৩ দ্বারা গুণ ১২-এর সমান হওয়ায়, ১২-কে ৩ দ্বারা ভাগ করলে ৪-এর সমান হয়। প্রকৃতপক্ষে, ৩ দ্বারা ভাগ অনুসারে, ৩ দ্বারা গুন করলে মূল সংখ্যা পাওয়া যায়।[স্পষ্টকরণ প্রয়োজন] ০ ব্যতীত অন্য যেকোনো সংখ্যাকে ঐ সংখ্যা দিয়েই ভাগের ফল হবে ১।

জটিল সংখ্যার ন্যায় অন্যান্য সংখ্যার ক্ষেত্রেও, উপরন্তু ম্যাট্রিক্সের মতো আরও বিমূর্ত কাঠামোর জন্যেও গুণকে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এই ধরনের আরও কিছু কিছু বিমূর্ত কাঠামোর ক্ষেত্রে অপারেন্ডগুলোর পারস্পরিক গুণন যে ক্রমানুসারে চালনা করা হয় তা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। (গণিতে অপারেন্ড হলো সেসব সংখ্যা বা রাশি যাদের ওপর গাণিতিক ক্রিয়া নির্বাহ করা হয়। যেমন: ৫-এ ৫ হলো অপারেন্ড এবং এর ওপর যে গাণিতিক ক্রিয়াটি প্রয়োগ করা হয়েছে তার নাম বর্গীকরণ।) গণিতে ব্যবহৃত বিভিন্ন ধরণের গুণফলের একটি তালিকা গুণফল (গণিত) -এ দেওয়া হয়েছে।

সংকেত এবং পরিভাষাসম্পাদনা

× ⋅
গুন চিহ্ন
In UnicodeU+00D7 × multiplication sign (এইচটিএমএল: × ×)
U+22C5 dot operator (এইচটিএমএল: ⋅ ⋅)
Different from
Different fromU+00B7 · middle dot
U+002E . full stop

পাটিগণিতে গুণনকে সচরাচর দুটি পদের মধ্যে গুণ চিহ্ন (×) ব্যবহার করে লেখা হয়। দুটি পদের মধ্যে গুণ বা অন্যান্য প্রক্রিয়া চিহ্ন বসিয়ে রাশিমালা লেখার এই নিয়মকে ইনফিক্স সংকেতায়ন বলা হয়।[২] উদাহরণস্বরূপ,

২ × ৩ = ৬ ("দুই গুণ তিন সমান ছয়")
৩ × ৪ = ১২
২ × ৩ × ৫ = ৫ × ৬ = ৩০
২ × ২ × ২ × ২ × ২ = ৩২

গুণকে নির্দেশ করতে অন্যান্য গাণিতিক চিহ্নও ব্যবহার করা হয়:

  • গুণ চিহ্ন × এবং বহুল ব্যবহৃত চলক x এর মধ্যে বিভ্রান্তি কমাতে, গুণকে ডট (বিন্দু) চিহ্ন দ্বারাও চিহ্নিত করা হয়।[৩] এছাড়াও, সংখ্যার পাদদেশে না বসে কিছুটা উপরে মধ্যম-অবস্থানে বসে সাধারণত এমন একটি বিন্দু (middle-position dot) দিয়ে এবং ইংরেজি সাহিত্যে পূর্ণ বিরতির জন্য যে বিন্দু চিহ্নটি (ফুল স্টপ, যা সংখ্যার পাদদেশে বসে) ব্যবহার করা হয়, কদাচিৎ সেই চিহ্নটি দিয়েও গুণকে প্রকাশ করা হয়:
৫ ⋅ ৩ বা ৫ . ৩ (বাংলা সংখ্যার ক্ষেত্রে)
5 ⋅ 2 অথবা 5 . 3 (ইংরেজি সংখ্যার ক্ষেত্রে)
উপরের উদাহরণ দুটিতে যে ডট চিহ্নটি 'কিছুটা উপরে মধ্যম-অবস্থানে' অর্থাৎ মাঝামাঝি অবস্থানে বসেছে তাকে ইউনিকোডে U+22C5 dot operator নামে এনকোড করা হয়েছে। এটি এখন যুক্তরাষ্ট্রসহ অন্যান্য দেশে আদর্শরূপে ধরা হয়। পক্ষান্তরে বিরতির জন্য ব্যবহৃত ডট চিহ্নটি (ফুল স্টপ) দশমিক বিন্দুরূপে ব্যবহার করা হয়। যখন ডট অপারেটর অক্ষরটি অ্যাক্সেসযোগ্য থাকে না অর্থাৎ এটি ব্যবহার করার সুযোগ থাকে না, সেক্ষেত্রে ইন্টারপাংক্ট (·) চিহ্ন ব্যবহার করা হয়, যা ডট অপারেটরটির তুলনায় আরেকটু ওপরে বসে। কিছু কিছু দেশে দেশে দশমিক চিহ্নরূপে (দশমিক সংখ্যায় সংখ্যাটির পূর্ণাংশ এবং ভগ্নাংশের মধ্যে পার্থক্য করতে যে চিহ্ন ব্যবহার করা হয়) কমা ব্যবহার করা হয়, আর গুণের জন্য ব্যবহার করা হয় ফুল স্টপের বিন্দু চিহ্নটি অথবা মাঝামাঝি অবস্থানের ডট বিন্দুটি।[তথ্যসূত্র প্রয়োজন]
ইতিহাস বলে যে, যুক্তরাজ্য এবং আয়ারল্যান্ডে দশমিক চিহ্নরূপে কখনও কখনও মাঝামাঝি অবস্থানের ডট বিন্দুটি ব্যবহার করা হতো যাতে এটি খাতায় টানা অনুভূমিক রেখাগুলোর সাথে মিশে না যায় এবং গুণের জন্য ব্যবহার করা হতো ফুল স্টপের বিন্দুটি। যাইহোক, যুক্তরাজ্যের সাবেক প্রযুক্তি মন্ত্রণালয় ১৯৬৮ সালে ফুলস্টপকে দশমিক বিন্দরূপে ব্যবহার করার বিধান জারি করায়[৪] এবং এসআই স্ট্যান্ডার্ডটি তখন থেকে ব্যাপকভাবে গৃহীত হওয়ায়, ডট চিহ্নের এমন প্রয়োগ এখন শুধু দ্য ল্যানসেটের মতো অতীব ঐতিহ্যবাহী জার্নালেই দেখতে পাওয়া যায়।[৫]
  • বীজগণিতে চলক-সংশ্লিষ্ট গুণনের ক্ষেত্রে প্রায়শই চলকগুলোকে পাশাপাশি বসিয়ে বা পরস্পর সন্নিবিষ্ট করে (juxtaposition) লেখা হয়, যাকে অন্তর্নিহিত বা অব্যক্ত গুণও বলা হয় (implied multiplication)। যেমন: xy-এর গুণকে xy, x-এর পাঁচ গুণকে বা 5 ও x-এর গুণকে 5x আকারে লেখা।[৬] বন্ধনী দ্বারা বেষ্টিত রাশির ক্ষেত্রেও এই সংকেতায়ন ব্যবহার করা যেতে পারে। যেমন: ২-এর ৫ গুণকে লেখার ক্ষেত্রে ৫(২) অথবা (৫)(২) লেখা। বন্ধনী দ্বারা বেষ্টিত চলকের নাম ফাংশন নামের সাথে বিভ্রান্তি তৈরি করতে পারে। ফলে যেসব ক্ষেত্রে কিছু কিছু চলককে একাধিক বর্ণের সমন্বয়ে লিখতে হয়, সেই চলকগুলোর নাম অন্য চলকের নামের সাথে মিলে গেলে গুণের এই অন্তর্নিহিত ব্যবহার অস্পষ্টতার কারণ হতে পারে। আবার, গাণিতিক ক্রিয়ার সঠিক অনুক্রম নির্ধারণের বেলায়ও গুণের এই অন্তর্নিহিত ব্যবহার অস্পষ্টতা ঘটাতে পারে।[তথ্যসূত্র প্রয়োজন]
  • ভেক্টর রাশির গুণের ক্ষেত্রে, আড়াআড়ি ক্রস এবং ডট চিহ্ন দুটির মধ্যে একটি সুনির্দিষ্ট পার্থক্য রয়েছে। ক্রস চিহ্নটি দিয়ে সাধারণত দুটি ভেক্টরের ক্রস গুণ বা গুণফলকে বোঝানো হয়। দুটি ভেক্টরের ক্রস গুণনে একটি ভেক্টর রাশি পাওয়া যায়। একে ভেক্টর গুণনও বলা হয়। পক্ষান্তরে, দুটি ভেক্টরের স্কেলার গুণকে ভেক্টর রাশি দুটির মধ্যে একটি ডট বসিয়ে প্রকাশ করা হয়। দুটি ভেক্টরের স্কেলার গুণনে একটি স্কেলার রাশি বের হয়।[৭]

কম্পিউটার প্রোগ্রামিংয়ে গুণকে নির্দেশ করার ক্ষেত্রে তারকাচিহ্ন এখনও সবচেয়ে ব্যাপকহারে ব্যবহার করা হয়, (যেমন: 5*2)। বেশিরভাগ কম্পিউটারে যেসব অক্ষর সেট (যেমন: ASCII এবং EBCDIC) ব্যবহার করা হয়, ঐতিহাসিকভাবেই সেগুলোতে অক্ষরের সংখ্যা কম হওয়ায় একটি সীমাবদ্ধতার সৃষ্টি হয়। যার কারণে এখানে বা × এর মতো একটি গুণ চিহ্নের ঘাটতি থেকেই যায়। উপরন্তু, যখন তারকাচিহ্নের উপস্থিতি প্রতিটি কীবোর্ডেই দেখা যায়। এসব কারণে, কম্পিউটারে গুণকে নির্দেশে তারকাচিহ্নের ব্যবহার ব্যাপকতর। তারকাচিহ্নের এই প্রয়োগটির উদ্ভব ঘটেছে ফরট্রান প্রোগ্রামিং ভাষায়।[তথ্যসূত্র প্রয়োজন]

যে সংখ্যাগুলি গুণ করা হয় সেগুলিকে সাধারণত "ফ্যাক্টর" বলা হয়। যে সংখ্যাটি গুণ করা হবে তা হ'ল "গুণ্য", এবং যে সংখ্যাটি দ্বারা এটি গুণ করা হয় তা হ'ল "গুণক"। সাধারণত, গুণক প্রথমে স্থাপন করা হয় এবং গুণ্য দ্বিতীয়তে স্থাপন করা হয় ;[১] তবে কখনও কখনও প্রথম ফ্যাক্টরটি গুণক এবং দ্বিতীয়টি গুণ্য হয়.[৮] এছাড়াও, যেহেতু গুণের ফলাফল সংখ্যাগুলির ধরনের উপর নির্ভর করে না, তাই "গুণক" এবং "গুণক" এর মধ্যে পার্থক্য শুধুমাত্র একটি খুব প্রাথমিক স্তরে এবং কিছু গুণিতক অ্যালগরিদমগুলিতে দরকারী, যেমন দীর্ঘ গুণন। অতএব, কিছু উৎসে, "গুণক" শব্দটি "ফ্যাক্টর" এর প্রতিশব্দ হিসাবে বিবেচিত হয়।[৯] বীজগণিতে, একটি সংখ্যা যা একটি ভেরিয়েবল বা এক্সপ্রেশনের গুণক(e.g., the 3 in 3xy2) তাকে সহগ বলা হয়।

গুণের ফলাফলকে গুণফল বলে। যখন একটি গুণনীয়ক একটি পূর্ণসংখ্যা হয়, তখন গুণফলটি অন্যটির গুণিতক বা অন্যের গুণফল। সুতরাং ২ × π হলো π এর গুণিতক, যেমন ৫১৩৩ × ৪৮৬ × π। পূর্ণসংখ্যার একটি গুণফল প্রতিটি ফ্যাক্টরের একাধিক; উদাহরণস্বরূপ, ১৫ হল ৩ এবং ৫ এর গুণফল এবং ৩ এর গুণিতক এবং ৫ এর গুণিতক উভয়ই।[তথ্যসূত্র প্রয়োজন]

গণনাসম্পাদনা

 
শিক্ষিত বানর – 1918 সালের একটি টিনের খেলনা, একটি গুণ "ক্যালকুলেটর" হিসাবে ব্যবহৃত হয়।যেমন: : বানরের পা ৪ এবং ৯ এ সেট করুন এবং গুণফল – 36 –পান তার হাতে।

পেন্সিল এবং কাগজ ব্যবহার করে সংখ্যাকে গুণ করার জন্য অনেক সাধারণ পদ্ধতিতে ছোট সংখ্যার (সাধারণত ০ থেকে ৯ পর্যন্ত যেকোনো দুটি সংখ্যা) মুখস্থ বা পরামর্শকৃত পণ্যগুলির একটি গুণ সারণী প্রয়োজন। যাইহোক, একটি পদ্ধতি, প্রাচীন মিশরীয় গুন অ্যালগরিদম, তা করে না। নীচের উদাহরণটি "দীর্ঘ গুণ" ("স্ট্যান্ডার্ড অ্যালগরিদম", "গ্রেড-স্কুল গুণন") ব্যাখ্যা করে:

      23958233
×         5830
———————————————
      00000000 ( =      23,958,233 ×     0)
     71874699  ( =      23,958,233 ×    30)
   191665864   ( =      23,958,233 ×   800)
+ 119791165    ( =      23,958,233 × 5,000)
———————————————
  139676498390 ( = 139,676,498,390        )

হাত দিয়ে কয়েক দশমিকের বেশি স্থানে সংখ্যাকে গুণ করা ক্লান্তিকর এবং ত্রুটি-প্রবণ। সাধারণ লগারিদমগুলি এই ধরনের গণনাকে সরল করার জন্য উদ্ভাবিত হয়েছিল, যেহেতু লগারিদম যোগ করা গুণ করার সমতুল্য। স্লাইড নিয়মটি সংখ্যাগুলিকে প্রায় তিনটি নির্ভুলতার জায়গায় দ্রুত গুণিত করার অনুমতি দেয়। ২০ শতকের গোড়ার দিকে, যান্ত্রিক ক্যালকুলেটর, যেমন মার্চ্যান্ট, ১০-অঙ্কের সংখ্যার স্বয়ংক্রিয় গুণ। আধুনিক ইলেকট্রনিক কম্পিউটার এবং ক্যালকুলেটর হাত দিয়ে গুণ করার প্রয়োজনীয়তাকে অনেকটাই কমিয়ে দিয়েছে।

ঐতিহাসিক অ্যালগরিদমসম্পাদনা

গুণের পদ্ধতিগুলি মিশরীয় সভ্যতা, গ্রিক, ভারতীয়[তথ্যসূত্র প্রয়োজন], এবং চীন সভ্যতার লেখায় নথিভুক্ত ছিল।

প্রায় ১৮,০০০ থেকে ২০,০০০ খ্রিস্টপূর্বাব্দের ঈশানগো বুন, মধ্য আফ্রিকার ভূতাত্ত্বিক সময়কালের গুণের জ্ঞানের দিকে ইঙ্গিত করতে পারে, তবে এটি অনুমানমূলক।[১০][যাচাই প্রয়োজন]

মিশরীয়সম্পাদনা

পূর্ণসংখ্যা এবং ভগ্নাংশের গুণনের মিশরীয় পদ্ধতি, যা Rhind Mathematical Papyrus-এ নথিভুক্ত করা হয়েছে, তা ছিল ধারাবাহিক সংযোজন এবং দ্বিগুণ। উদাহরণস্বরূপ, ১৩ এবং ২১ এর গুণফল খুঁজে পেতে একজনকে ২১ দ্বিগুণ করতে হবে, প্রাপ্ত করে

২ × ২১ = ৪২, ৪ × ২১ = ২ × ৪২ = ৮৪, ৪ × ২১ = ২ × ৮৪ = ১৬৮. দ্বিগুণ ক্রমানুসারে পাওয়া উপযুক্ত পদ যোগ করে সম্পূর্ণ ফলটি খুঁজে পাওয়া যেতে পারে[১১]

১৩ × ২১ = (১ + ৪ + ৮) × ২১ = (১ × ২১) + (৪ × ২১) + (৮ × ২১) = ২১ + ৮৪ + ১৬৮ = ২৭৩.

ব্যাবিলনীয়রাসম্পাদনা

ব্যাবিলনীয়রা আধুনিক যুগের দশমিক পদ্ধতির অনুরূপ একটি সেক্সাজেসিমাল পজিশনাল সংখ্যা পদ্ধতি ব্যবহার করত। এইভাবে, ব্যাবিলনীয় গুণন আধুনিক দশমিক গুণের সাথে খুব মিল ছিল। ৬০ × ৬০ বিভিন্ন প্রোডাক্ট মনে রাখার আপেক্ষিক অসুবিধার কারণে, ব্যাবিলনীয় গণিতবিদগণ গুণন সারণী নিযুক্ত করেছিলেন। এই টেবিলগুলি একটি নির্দিষ্ট মূল সংখ্যা n এর প্রথম বিশ গুণিতকের একটি তালিকা নিয়ে গঠিত: n, ২n, ..., ২০n; ১০n এর গুণিতকগুলি অনুসরণ করে: ৩০n ৪০n, এবং ৫০n। তারপর যেকোন সেক্সাজেসিমাল প্রোডাক্ট গণনা করার জন্য, বলুন ৫৩n, শুধুমাত্র টেবিল থেকে গণনা করা ৫০n এবং ৩n যোগ করতে হবে।[তথ্যসূত্র প্রয়োজন]

চীনারাসম্পাদনা

 
38 × 76 = 2888

গাণিতিক পাঠ্য Zhoubi Suanjing, 300 BC এর পূর্বে তারিখে, এবং গাণিতিক শিল্পের নয়টি অধ্যায়ে, গুণের গণনাগুলিকে শব্দে লেখা হয়েছিল, যদিও প্রাথমিক চীনা গণিতবিদরা রড ক্যালকুলাস নিযুক্ত করেছিলেন যেখানে স্থান মান সংযোজন, বিয়োগ, গুণ এবং ভাগ জড়িত ছিল। চীনারা ইতিমধ্যেই যুদ্ধরত রাষ্ট্রের সময়কালের শেষে একটি দশমিক গুণের সারণী ব্যবহার করছে।.[১২]

আধুনিক পদ্ধতিসম্পাদনা

 
Product of 45 and 256. Note the order of the numerals in 45 is reversed down the left column. The carry step of the multiplication can be performed at the final stage of the calculation (in bold), returning the final product of 45 × 256 = 11520. This is a variant of Lattice multiplication.

হিন্দু-আরবি সংখ্যা পদ্ধতির উপর ভিত্তি করে গুণের আধুনিক পদ্ধতি প্রথম ব্রহ্মগুপ্ত দ্বারা বর্ণিত হয়েছিল। ব্রহ্মগুপ্ত যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগের নিয়ম দিয়েছেন। হেনরি বারচার্ড ফাইন, তখন প্রিন্সটন ইউনিভার্সিটির গণিতের অধ্যাপক, নিম্নলিখিত লিখেছেন:

ভারতীয়রা শুধুমাত্র অবস্থানগত দশমিক পদ্ধতিরই উদ্ভাবক নয়, সিস্টেমের সাথে প্রাথমিক গণনার সাথে জড়িত বেশিরভাগ প্রক্রিয়ার উদ্ভাবক। যোগ এবং বিয়োগ তারা আজকাল সঞ্চালিত হয় হিসাবে বেশ সঞ্চালিত; গুণন তারা অনেক উপায়ে প্রভাবিত করেছে, তাদের মধ্যে আমাদের, কিন্তু বিভাজন তারা জটিলভাবে করেছে।[১৩]

এই স্থান মানের দশমিক গাণিতিক অ্যালগরিদমগুলি আরব দেশগুলিতে ৯ম শতাব্দীর প্রথম দিকে আল খোয়ারিজমি দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল এবং ১৩শ শতাব্দীতে ফিবোনাক্কি দ্বারা পশ্চিমা বিশ্বে জনপ্রিয় হয়েছিল।[তথ্যসূত্র প্রয়োজন]

গ্রিড পদ্ধতিসম্পাদনা

গ্রিড পদ্ধতি গুণন, বা বক্স পদ্ধতি, ইংল্যান্ড এবং ওয়েলসের প্রাথমিক বিদ্যালয়ে এবং মার্কিন যুক্তরাষ্ট্রের কিছু এলাকায় একাধিক অঙ্কের গুণ কীভাবে কাজ করে তা বোঝার জন্য ব্যবহার করা হয়। ৩৪ কে ১৩ দ্বারা গুন করার একটি উদাহরণ নিম্নরূপ একটি গ্রিডে সংখ্যাগুলি সাজানো হবে:

  ৩০
১০ ৩০০ ৪০
৯০ ১২

এবং তারপর এন্ট্রি যোগ করুন।

কম্পিউটার অ্যালগরিদমসম্পাদনা

The classical method of multiplying two n-digit numbers requires n2 digit multiplications. Multiplication algorithms have been designed that reduce the computation time considerably when multiplying large numbers. Methods based on the discrete Fourier transform reduce the computational complexity to O(n log n log log n). In 2016, the factor log log n was replaced by a function that increases much slower, though still not constant.[১৪] In March 2019, David Harvey and Joris van der Hoeven submitted a paper presenting an integer multiplication algorithm with a complexity of  [১৫] The algorithm, also based on the fast Fourier transform, is conjectured to be asymptotically optimal.[১৬] The algorithm is not practically useful, as it only becomes faster for multiplying extremely large numbers (having more than 2172912 bits).[১৭]

পরিমাপের গুণফলগুলিসম্পাদনা

কেউ শুধুমাত্র অর্থপূর্ণভাবে একই ধরনের পরিমাণ যোগ বা বিয়োগ করতে পারে, কিন্তু বিভিন্ন ধরনের পরিমাণ সমস্যা ছাড়াই গুণ বা ভাগ করা যায়। উদাহরণস্বরূপ, প্রতিটি তিনটি মার্বেল সহ চারটি ব্যাগ হিসাবে চিন্তা করা যেতে পারে:[১]

[৪ টি ব্যাগ] × [প্রতি ব্যাগে ৩ টি মার্বেল] = ১২ টি মার্বেল.

যখন দুটি পরিমাপ একসাথে গুণ করা হয়, তখন পরিমাপের প্রকারের উপর নির্ভর করে গুণফলটি এক প্রকারের হয়। সাধারণ তত্ত্ব মাত্রিক বিশ্লেষণ দ্বারা দেওয়া হয়। এই বিশ্লেষণটি নিয়মিতভাবে পদার্থবিজ্ঞানে প্রয়োগ করা হয়, তবে এটির অর্থ এবং অন্যান্য প্রয়োগ ক্ষেত্রেও অ্যাপ্লিকেশন রয়েছে।

পদার্থবিজ্ঞানের একটি সাধারণ উদাহরণ হল যে সময় দ্বারা গতি গুণ করলে দূরত্ব পাওয়া যায়। উদাহরণ স্বরূপ:

প্রতি ঘন্টায় ৫০ কিলোমিটার × ৩ ঘন্টা = ১৫০ কিলোমিটার.

এই ক্ষেত্রে, ঘন্টা ইউনিটগুলি বাতিল হয়ে যায়, শুধুমাত্র কিলোমিটার ইউনিটের সাথে গুণফলটি রেখে যায়।.

একক জড়িত গুণের অন্যান্য উদাহরণগুলির মধ্যে রয়েছে:

২.৫ মিটার × ৪.৫ মিটার = ১১.২৫ বর্গমিটার
১১ মিটার/সেকেন্ড × ৯ সেকেন্ড = ৯৯ মিটার
প্রতি বাড়িতে ৪.৫ জন বাসিন্দা × ২০ টি বাড়ি = ৯০ জন বাসিন্দা

একটি অনুক্রমের গুণফলসম্পাদনা

ক্যাপিটাল পাই স্বরলিপিসম্পাদনা

ফ্যাক্টরগুলির একটি অনুক্রমের গুণফলকে প্রোডাক্ট প্রতীক দিয়ে লেখা যেতে পারে, যা বড় অক্ষর থেকে উদ্ভূত হয়েছে   (পাই) গ্রিক বর্ণমালা (অনেকটা একইভাবে বড় অক্ষরের মতো   (সিগমা) যোগফলের প্রসঙ্গে ব্যবহৃত হয়).[১৮][১৯] ইউনিকোড অবস্থান U+220F এই জাতীয় প্রোডাক্ট বোঝানোর জন্য একটি গ্লিফ রয়েছে, যা U+03A0 Π , অক্ষর থেকে আলাদা। এই স্বরলিপির অর্থ দেওয়া হয়েছে:

 

এটা হল

 

সাবস্ক্রিপ্ট একটি আবদ্ধ ভেরিয়েবলের জন্য প্রতীক দেয় (i এই ক্ষেত্রে), যাকে "গুণের সূচক" বলা হয়, তার নিম্ন সীমা (1) সহ, যেখানে সুপারস্ক্রিপ্ট (এখানে 4) তার উপরের সীমা দেয়। নিম্ন এবং উপরের সীমা হল পূর্ণসংখ্যা নির্দেশ করে অভিব্যক্তি। গুণের সূচকের জন্য প্রতিস্থাপিত ক্রমাগত পূর্ণসংখ্যার মানগুলির সাথে, নিম্ন সীমা থেকে শুরু করে এবং উপরের সীমা পর্যন্ত ১ দ্বারা বৃদ্ধি করে (এবং সহ) পণ্য অপারেটরকে অনুসরণ করে অভিব্যক্তি গ্রহণ করে পণ্যের গুণকগুলি পাওয়া যায়। উদাহরণ স্বরূপ:

 

আরো সাধারণভাবে, স্বরলিপিকে এভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়

 

যেখানে m এবং n হল পূর্ণসংখ্যা বা অভিব্যক্তি যা পূর্ণসংখ্যাকে মূল্যায়ন করে।যে ক্ষেত্রে m = n, গুণফলের মান একক ফ্যাক্টর xm-এর সমান; যদি m > n হয়, পণ্যটি একটি খালি পণ্য যার মান হল ১—উপাদান নির্বিশেষে।

মূলধন পাই স্বরলিপির বৈশিষ্ট্যসম্পাদনা

সংজ্ঞানুসারে,

 

যদি সমস্ত গুণনীয়ক অভিন্ন হয়, n ফ্যাক্টরের একটি গুণফল সূচকের সমতুল্য:

 

গুণের সহযোগীতা এবং কম্যুটেটিভিটি বোঝায়

  and
 

যদি a একটি অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয়, অথবা যদি সব   ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা, এবং

 

যদি সব   অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা, অথবা যদি x একটি ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা হয়।

অসীম গুণফলসম্পাদনা

কেউ অসীম অনেক পদের গুণফলও বিবেচনা করতে পারে; এদেরকে অসীম গুণফল বলা হয়। লক্ষণীয়ভাবে, এটি অনন্ত প্রতীক ∞ দ্বারা উপরের n প্রতিস্থাপন করে। এই ধরনের একটি অসীম অনুক্রমের গুণফলকে প্রথম n পদের গুণফলের সীমা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, কারণ n সীমা ছাড়াই বৃদ্ধি পায়। এটা হল,

 

কেউ একইভাবে m কে ঋণাত্মক অসীম দিয়ে প্রতিস্থাপন করতে পারে এবং সংজ্ঞায়িত করতে পারে:

 

যদি উভয় সীমা বিদ্যমান থাকে।[তথ্যসূত্র প্রয়োজন]

সংখ্যার বৈশিষ্ট্যসম্পাদনা

 
০-১০ সংখ্যার গুণ। লাইন লেবেল = গুণিতক। এক্স-অক্ষ = গুণক। Y-অক্ষ = গুনফল।


বাস্তব এবং জটিল সংখ্যাগুলির জন্য, যার মধ্যে রয়েছে, উদাহগুণফলবরূপ, প্রাকৃতিক সংখ্যা, পূর্ণসংখ্যা এবং ভগ্নাংশ, গুণের নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্য রয়েছে:

পরিবর্তনমূলক বৈশিষ্ট্য
যে ক্রমানুসারে দুটি সংখ্যাকে গুণ করা হয় তা বিবেচ্য নয়:
 [২০][২১][২২]
সহযোগী বৈশিষ্ট্য
শুধুমাত্র গুণ বা যোগ জড়িত অভিব্যক্তি অপারেশনের ক্রম সাপেক্ষে অপরিবর্তনীয়:
 [২০][২২]
বিতরণমূলক বৈশিষ্ট্য
যোগের উপর গুণের সাপেক্ষে ধরে রাখে। বীজগাণিতিক রাশির সরলীকরণে এই পরিচয়টি গুরুত্বপূর্ণ:
 [২০][২২]
পরিচয় উপাদান
গুণগত পরিচয় হল ১; ১ দ্বারা গুণিত যে কোন কিছু নিজেই। ১ এর এই বৈশিষ্ট্যটি পরিচয় সম্পত্তি হিসাবে পরিচিত:
 [২০][২২]
০ এর বৈশিষ্ট্য
যে কোনো সংখ্যাকে ০ দ্বারা গুণ করলে ০ হয়। এটি গুণের শূন্য বৈশিষ্ট্য হিসাবে পরিচিত:
 [২০]
নেগেটিভ
যেকোন সংখ্যার -১ গুণ সেই সংখ্যার যোজক বিপরীতের সমান।
  যেখানে  
–১ বার –১ হলো ১ .
 [তথ্যসূত্র প্রয়োজন]
বিপরীত উপাদান
০ ব্যতীত প্রতিটি সংখ্যা x এর একটি গুণগত বিপরীত আছে , যেমন:  .
[তথ্যসূত্র প্রয়োজন]
অর্ডার সংরক্ষন
একটি ধনাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ ক্রম সংরক্ষণ করে:
For a > 0, if b > c then ab > ac.
একটি ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ ক্রম বিপরীত:
For a < 0, if b > c then ab < ac.[তথ্যসূত্র প্রয়োজন]
জটিল সংখ্যার এমন কোনো ক্রম নেই যা যোগ এবং গুণ উভয়ের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ।[২৩][২৪]

অন্যান্য গাণিতিক সিস্টেম যা একটি গুণন অপারেশন অন্তর্ভুক্ত করে এই সমস্ত বৈশিষ্ট্য নাও থাকতে পারে। উদাহরণ স্বরূপ, গুণন, সাধারণভাবে, ম্যাট্রিক্স এবং চতুর্ভুজের জন্য কম্যুটেটিভ নয়।[২০]

সেট তত্ত্বের সাথে গুণসম্পাদনা

অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার গুণফলকে মূল সংখ্যা বা পিয়ানো স্বতঃসিদ্ধ ব্যবহার করে সেট তত্ত্ব দিয়ে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে।ইচ্ছামত পূর্ণসংখ্যা এবং তারপরে ইচ্ছামত মূলদ সংখ্যায় কীভাবে এটি প্রসারিত করা যায় তা নীচে দেখুন।প্রকৃত সংখ্যার গুণফল মূলদ সংখ্যার গুণফলের পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত করা হয়; বাস্তব সংখ্যার নির্মাণ দেখুন।

গ্রুপ তত্ত্বে গুণসম্পাদনা

এমন অনেক সেট আছে যেগুলি, গুণের ক্রিয়াকলাপের অধীনে, গ্রুপ গঠনকে সংজ্ঞায়িত করে এমন স্বতঃসিদ্ধগুলিকে সন্তুষ্ট করে।এই স্বতঃসিদ্ধ হল বন্ধ, সহযোগীতা, এবং একটি পরিচয় উপাদানের অন্তর্ভুক্তি এবং বিপরীত।

একটি সাধারণ উদাহরণ হল অ-শূন্য মূলদ সংখ্যার সেট।এখানে আমাদের পরিচয় ১ আছে, যোগের অধীনে গোষ্ঠীর বিপরীতে যেখানে পরিচয়টি সাধারণত ০ হয়।লক্ষ্য করুন যে মূলদগুলির সাথে, আমাদের অবশ্যই শূন্যকে বাদ দিতে হবে কারণ, গুণনের অধীনে, এটির একটি বিপরীত নেই: এমন কোনও মূলদ সংখ্যা নেই যা শূন্য দ্বারা গুণ করা যেতে পারে ১ এ।এই উদাহরণে, আমাদের একটি অ্যাবেলিয়ান গোষ্ঠী রয়েছে, তবে এটি সর্বদা হয় না।

এটি দেখতে, একটি প্রদত্ত ক্ষেত্রের উপর একটি প্রদত্ত মাত্রার ইনভার্টেবল বর্গ ম্যাট্রিক্সের সেট বিবেচনা করুন।এখানে, ক্লোজার, অ্যাসোসিয়েটিভিটি, এবং আইডেন্টিটি ( পরিচয় ম্যাট্রিক্স ) এবং ইনভার্সের অন্তর্ভুক্তি যাচাই করা সহজ।যাইহোক, ম্যাট্রিক্স গুণন পরিবর্তনশীল নয়, যা দেখায় যে এই দলটি নন-আবেলিয়ান।

আরেকটি বিষয় লক্ষ্য করার মতো বিষয় হল যে গুণের অধীনে পূর্ণসংখ্যাগুলি একটি গ্রুপ গঠন করে না - এমনকি যদি আমরা শূন্য বাদ দিই।এটি ১ এবং ব্যতীত অন্য সমস্ত উপাদানের জন্য একটি বিপরীতের অস্তিত্বের দ্বারা সহজেই দেখা যায় −১।

গোষ্ঠী তত্ত্বে গুণন সাধারণত একটি বিন্দু দ্বারা বা জুক্সটাপজিশন (উপাদানের মধ্যে একটি অপারেশন প্রতীক বাদ দেওয়া) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।তাই উপাদানকে উপাদান দ্বারা গুণ করলে ক•খ বা কখ হিসাবে চিহ্নিত করা যেতে পারে।সেট এবং অপারেশনের ইঙ্গিতের মাধ্যমে একটি গ্রুপকে উল্লেখ করার সময়, ডট ব্যবহার করা হয়।উদাহরণস্বরূপ, আমাদের প্রথম উদাহরণ দ্বারা নির্দেশিত হতে পারে   .

স্বতঃসিদ্ধসম্পাদনা

অ্যারিথমিটিসেস প্রিন্সিপিয়া, নোভা মেথোডো এক্সপোসিটা বইতে, জিউসেপ পিয়ানো প্রাকৃতিক সংখ্যার জন্য তার স্বতঃসিদ্ধের উপর ভিত্তি করে পাটিগণিতের জন্য স্বতঃসিদ্ধ প্রস্তাব করেছেন। [২৫]পিয়ানো পাটিগণিতের গুণনের জন্য দুটি স্বতঃসিদ্ধ রয়েছে:

 
 

এখানে S ( y ) y এর উত্তরসূরীকে প্রতিনিধিত্ব করে; অর্থাৎ, প্রাকৃতিক সংখ্যা যা y অনুসরণ করে।যোগসূত্রের মতো বিভিন্ন বৈশিষ্ট্য এইগুলি এবং পিয়ানো গাণিতিকের অন্যান্য স্বতঃসিদ্ধ থেকে প্রমাণ করা যেতে পারে, যার মধ্যে অন্তর্ভুক্তি রয়েছে।উদাহরণস্বরূপ, S (0), ১ দ্বারা চিহ্নিত, একটি গুণগত পরিচয় কারণ

 

পূর্ণসংখ্যার জন্য স্বতঃসিদ্ধ সাধারণত এগুলিকে প্রাকৃতিক সংখ্যার অর্ডারযুক্ত জোড়ার সমতুল্য শ্রেণী হিসাবে সংজ্ঞায়িত করে।মডেলটি ( x, y ) কে xy এর সমতুল্য হিসাবে বিবেচনা করার উপর ভিত্তি করে যখন x এবং y কে পূর্ণসংখ্যা হিসাবে গণ্য করা হয়।সুতরাং (০,১) এবং (১,২) উভয়ই −১ এর সমান।এইভাবে সংজ্ঞায়িত পূর্ণসংখ্যার জন্য গুণন স্বতঃসিদ্ধ

 

যে নিয়মটি −১ × −১ = ১ থেকে বের করা যায়

 

গুণকে মূলদ সংখ্যা এবং তারপর বাস্তব সংখ্যার অনুরূপভাবে প্রসারিত করা হয়।

বিভিন্ন ধরণের সংখ্যার গুণসম্পাদনা

সংখ্যা (৩ টি আপেল), অর্ডার (৩য় আপেল), বা পরিমাপ (৩.৫ ফুট উঁচু) গণনা করতে পারে; যেহেতু গণিতের ইতিহাস আমাদের আঙ্গুলে গণনা থেকে কোয়ান্টাম মেকানিক্সের মডেলিং পর্যন্ত অগ্রসর হয়েছে, গুণকে আরও জটিল এবং বিমূর্ত ধরণের সংখ্যায় সাধারণীকরণ করা হয়েছে এবং ব্যবহৃত হয়েছে এমন জিনিসগুলিতে যা সংখ্যা নয় (যেমন ম্যাট্রিক্স ) বা সংখ্যার মতো দেখতে নয় ( যেমন কোয়াটারনিয়ন )।

পূর্ণসংখ্যা
পূর্ণসংখ্যা যখন N এবং M ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা হয় তখন M এর N অনুলিপিগুলির যোগফল  ।এটি একটি সারণির N চওড়া এবং M উচ্চতায় জিনিসের সংখ্যা দেয়।ঋণাত্মক সংখ্যার সাধারণীকরণ দ্বারা করা যেতে পারে
  এবং
 
একই চিহ্নের নিয়ম মূলদ এবং বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য।[তথ্যসূত্র প্রয়োজন]
মূলদ সংখ্যা
ভগ্নাংশে সাধারণীকরণ   যথাক্রমে লব এবং হরকে গুণ করে: . এটি একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল দেয়   উচ্চ এবং   প্রশস্ত, এবং একটি অ্যারের জিনিসের সংখ্যার সমান যখন মূলদ সংখ্যাগুলি পূর্ণ সংখ্যা হয়।[২০][২১]
Real number
বাস্তব সংখ্যা এবং তাদের পণ্যগুলি মূলদ সংখ্যার ক্রম অনুসারে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে ।
জটিল সংখ্যা
জটিল সংখ্যা বিবেচনা করে   এবং   as যথাক্রমে বাস্তব সংখ্যার জোড়া   এবং  , গুনফলটি   হয়  . এটি বাস্তবের মতোই   যখন কাল্পনিক অংশ   এবং   শূন্য হয়[তথ্যসূত্র প্রয়োজন]
সমানভাবে, বোঝানো   হিসাবে  , আমাদের আছে [২০][২১]
বিকল্পভাবে, ত্রিকোণমিতিক আকারে, যদি হয়, তারপর [২০]
আরও সাধারণীকরণ
গোষ্ঠী তত্ত্বে গুণন দেখুন, উপরে, এবং গুণিতক গোষ্ঠী, যা উদাহরণ স্বরূপ ম্যাট্রিক্স গুণ অন্তর্ভুক্ত করে।একটি খুব সাধারণ, এবং বিমূর্ত, গুণের ধারণা হল একটি রিং -এ "গুণগতভাবে নির্দেশিত" (দ্বিতীয়) বাইনারি অপারেশন।একটি রিং এর উদাহরণ যা উপরের সংখ্যা সিস্টেমগুলির মধ্যে কোনটি নয় একটি বহুপদী রিং (আপনি বহুপদী যোগ এবং গুণ করতে পারেন, কিন্তু বহুপদী কোন স্বাভাবিক অর্থে সংখ্যা নয়।)
ভাগ
প্রায়ই বিভাজন, , একটি বিপরীত দ্বারা গুণের সমান,,  . কিছু ধরণের "সংখ্যার" গুণের ক্ষেত্রে বিপরীত ছাড়াই সংশ্লিষ্ট বিভাগ থাকতে পারে; একটি অবিচ্ছেদ্য ডোমেনে x এর কোনো বিপরীত নাও থাকতে পারে " "কিন্তু  সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে।একটি বিভাগ রিং মধ্যে বিপরীত আছে, কিন্তু   থেকে অ-পরিবর্তনমূলক রিংগুলিতে অস্পষ্ট হতে পারে  হিসাবে একই হতে হবে না  [তথ্যসূত্র প্রয়োজন]

সূচকীকরণসম্পাদনা

সূচকীকরণ হচ্ছে একটি গাণিতিক প্রক্রিয়া, যা লেখা হয়   আকারে যেখানে,  -কে বলা হয় ভিত্তি এবং  -কে বলা হয় সূচক (exponent) বা শক্তি (power)। যখন   একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা, সূচকীকরণ প্রক্রিয়া তখন ভিত্তির পুনরাবৃত্ত গুণফল বোঝায় অর্থাৎ   হচ্ছে ভিত্তি   কে   সংখ্যক বার গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যায় তার সমান।

 

সূচকটি সাধারণত ভিত্তির ডান পাশে উপরে শীর্ষলিপি (superscript) হিসেবে দেখানো হয়। সেক্ষেত্রে,  -কে ‘ -তম সূচক/শক্তিতে উন্নীত  ’, ‘ -এর সূচকে/শক্তিতে উন্নীত  ’, ‘  এর  -তম সূচক/শক্তি’, অথবা সবচেয়ে সংক্ষেপে ‘  টু দ্য  ’ হিসেবে পড়া হয়।

আরও দেখুনসম্পাদনা

বহিঃসংযোগসম্পাদনা

  1. Devlin, Keith (জানুয়ারি ২০১১)। "What Exactly is Multiplication?"Mathematical Association of America। মে ২৭, ২০১৭ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ মে ১৪, ২০১৭With multiplication you have a multiplicand (written second) multiplied by a multiplier (written first) 
  2. Khan Academy (২০১৫-০৮-১৪), Intro to multiplication | Multiplication and division | Arithmetic | Khan Academy, ২০১৭-০৩-২৪ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা, সংগ্রহের তারিখ ২০১৭-০৩-০৭ 
  3. Khan Academy (২০১২-০৯-০৬), Why aren't we using the multiplication sign? | Introduction to algebra | Algebra I | Khan Academy, ২০১৭-০৩-২৭ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা, সংগ্রহের তারিখ ২০১৭-০৩-০৭ 
  4. "Victory on Points"। Nature218 (5137): 111। ১৯৬৮। ডিওআই:10.1038/218111c0 বিবকোড:1968Natur.218S.111. 
  5. "The Lancet – Formatting guidelines for electronic submission of manuscripts" (PDF)। সংগ্রহের তারিখ ২০১৭-০৪-২৫ 
  6. Announcing the TI Programmable 88! (PDF)Texas Instruments। ১৯৮২। ২০১৭-০৮-০৩ তারিখে মূল (PDF) থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ২০১৭-০৮-০৩ 
  7. তপন, ড. শাহজান; হাসান, মুহম্মদ আজিজ; চৌধুরী, ড. রানা (২০০৮)। উচ্চ মাধ্যমিক পদার্থবিজ্ঞান : প্রথম পত্র (৯ম সংস্করণ)। হাসান বুক হাউস, ঢাকা। পৃষ্ঠা ২০ – ২৩। 
  8. Crewton Ramone। "Multiplicand and Multiplier"। Crewton Ramone's House of Math। ২৬ অক্টোবর ২০১৫ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ১০ নভেম্বর ২০১৫ .
  9. Chester Litvin (২০১২)। Advance Brain Stimulation by Psychoconduction। পৃষ্ঠা 2–3, 5–6। আইএসবিএন 978-1-4669-0152-0Google Book Search-এর মাধ্যমে। 
  10. Pletser, Vladimir (২০১২-০৪-০৪)। "Does the Ishango Bone Indicate Knowledge of the Base 12? An Interpretation of a Prehistoric Discovery, the First Mathematical Tool of Humankind"। arXiv:1204.1019  [math.HO]। 
  11. "Peasant Multiplication"www.cut-the-knot.org। সংগ্রহের তারিখ ২০২১-১২-২৯ 
  12. Qiu, Jane (৭ জানুয়ারি ২০১৪)। "Ancient times table hidden in Chinese bamboo strips"Natureএসটুসিআইডি 130132289ডিওআই:10.1038/nature.2014.14482। ২২ জানুয়ারি ২০১৪ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ২২ জানুয়ারি ২০১৪ 
  13. Fine, Henry B. (১৯০৭)। The Number System of Algebra – Treated Theoretically and Historically (PDF) (2nd সংস্করণ)। পৃষ্ঠা 90। 
  14. Harvey, David; van der Hoeven, Joris; Lecerf, Grégoire (২০১৬)। "Even faster integer multiplication"। Journal of Complexity36: 1–30। arXiv:1407.3360 আইএসএসএন 0885-064Xএসটুসিআইডি 205861906ডিওআই:10.1016/j.jco.2016.03.001 
  15. David Harvey, Joris Van Der Hoeven (2019). Integer multiplication in time O(n log n) ওয়েব্যাক মেশিনে আর্কাইভকৃত ২০১৯-০৪-০৮ তারিখে
  16. Hartnett, Kevin (১১ এপ্রিল ২০১৯)। "Mathematicians Discover the Perfect Way to Multiply"Quanta Magazine (ইংরেজি ভাষায়)। সংগ্রহের তারিখ ২০২০-০১-২৫ 
  17. Klarreich, Erica। "Multiplication Hits the Speed Limit"cacm.acm.org (ইংরেজি ভাষায়)। ২০২০-১০-৩১ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ২০২০-০১-২৫ 
  18. Weisstein, Eric W.। "Product"mathworld.wolfram.com (ইংরেজি ভাষায়)। সংগ্রহের তারিখ ২০২০-০৮-১৬ 
  19. "Summation and Product Notation"math.illinoisstate.edu। সংগ্রহের তারিখ ২০২০-০৮-১৬ 
  20. "Multiplication - Encyclopedia of Mathematics"encyclopediaofmath.org। সংগ্রহের তারিখ ২০২১-১২-২৯ 
  21. "multiplication"planetmath.org। সংগ্রহের তারিখ ২০২১-১২-২৯ 
  22. Biggs, Norman L. (২০০২)। Discrete Mathematics (ইংরেজি ভাষায়)। Oxford University Press। পৃষ্ঠা 25। আইএসবিএন 978-0-19-871369-2 
  23. Angell, David। "ORDERING COMPLEX NUMBERS... NOT*" (PDF)web.maths.unsw.edu.au। সংগ্রহের তারিখ ২৯ ডিসেম্বর ২০২১ 
  24. "Total ordering on complex numbers"Mathematics Stack Exchange। সংগ্রহের তারিখ ২০২১-১২-২৯ 
  25. "Peano arithmetic"PlanetMath। ২০০৭-০৮-১৯ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ২০০৭-০৬-০৩