সম্ভাব্যতা বিকিরণ

কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানে সম্ভাব্যতা বিকিরণ হচ্ছে একটি জটিল সংখ্যা যা সিস্টেমের আচরণকে ব্যাখ্যা করতে ব্যবহার করা হয়। এর পরমমানের বর্গ মূলত সম্ভাবনা

5d আণবিক অর্বিটালে হাইড্রোজেনের একটি মাত্র ইলেক্ট্রনের জন্য তরঙ্গ ফাংশন । এই চিত্রটি থেকে দেখা যায় ইলেক্ট্রনের সম্ভাব্য ঘনত্ব কোথায় একটি নির্দিষ্ট মানের বেশি(এক্ষেত্রে 0.02nm^-3)। এটি সম্ভাব্যতা বিকিরণের দ্বারা নির্ণয় করা হয়। এর পৃষ্ঠের রঙ তরঙ্গ ফাংশনের জটিল দশাকে নির্দেশ করে।

কিংবা সম্ভাব্য ঘনত্বকে উপস্থাপন করে।

সম্ভাব্যতা বিকিরণ একটি সিস্টেমের তরঙ্গ ফাংশন(বা, সাধারণভাবে একটি কোয়ান্টাম অবস্থা ভেক্টর ) এবং সিস্টেমটির পর্যবেক্ষণের ফলাফলের মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করে। এই সম্পর্কটি প্রথমে ম্যাক্স বর্ন প্রস্তাব করেন। সম্ভাব্যতা বিকিরণের সাপেক্ষে কোনো তরঙ্গ ফাংশনের মান নির্ণয় মূলত কোয়ান্টাম বলবিদ্যার কোপেনহেগেন ব্যাখ্যার মূল স্তম্ভ।এমনকি, তরঙ্গ ফাংশনের স্থানের বৈশিষ্ট্যসমূহ কোনো ফাংশনের ভৌত ব্যাখ্যার পূর্বেই তার ভৌত ভবিষ্যতবাণী(যেমনঃ নির্দিষ্ট শক্তির অণু হতে বিকিরণ ) করতে ব্যবহৃত হতো। এর জন্য বর্নকে ১৯৫৪ সালের পদার্থবিজ্ঞানে নোবেল পুরষ্কারের অর্ধেক প্রদান করা হয়। এই কারণে এর দ্বারা নির্ণীত সম্ভাবনাকে কখনোবা "বর্ন সম্ভাবনা" বলা হয়ে থাকে। এই সম্ভাব্য ধারণাসমূহ অর্থাৎ সম্ভাব্য ঘনত্ব এবং কোয়ান্টাম পরিমাপ, এই তত্ত্ব নিয়ে কাজ করা তৎকালীন বিজ্ঞানীদের (যেমনঃ শ্রোডিংগার এবং আইনস্টাইন) দ্বারা প্রতিদ্বন্দ্বীতাপূর্ণ হত।এটি কোয়ান্টাম বলবিদ্যার ব্যাখ্যা সম্পর্কিত রহস্যময় সব পরিণাম এবং দার্শনিক বাধার উৎস, যা নিয়ে বর্তমানেও বিতর্ক হয়ে থাকে।

সারাংশ

মূল নিবন্ধঃ বর্ন নীতি

ভৌত

কিছু প্রযুক্তিগত জটিলতা উপেক্ষা করলে, কোয়ান্টাম পরিমাপের সমস্যা হচ্ছে কোয়ান্টাম অবস্থার আচরণ। এই কারণেই পর্যবেক্ষণযোগ্য Q এর মান অনিশ্চিত।এরকম একটি অবস্থাকে পর্যবেক্ষকের আইগেনস্টেটের সুসংগত উপরিপাতন বিবেচনা করা হয়। পর্যবেক্ষণগুলো করা হয় এমনসব অবস্থায় যখন পর্যবেক্ষণযোগ্য বস্তুটির মান ভিন্ন ভিন্ন সম্ভাব্য মানের জন্য স্বতন্ত্রভাবে সংজ্ঞায়িত।

যখন Q পরিমাপ করা হয়,সিস্টেমটি(কোপেনহেগেন ব্যাখ্যার অধীনে) কোনো একটি আইগেনস্টেটে লাফ দেয়, ফলে আইগেনমানটি নির্দিষ্ট অবস্থায় ফিরে আসে। অবস্থানের এই উপরিপাতন তাদেরকে অসম "ওজন" প্রদান করে। অনুমানযোগ্যভাবে, এটি পরিষ্কার যে অধিক ওজনের আইগেনস্টেট উৎপন্ন হওয়াটাই স্বাভাবিক। অবশ্য, কোন আইগেনস্টেটে সিস্টেমটি লাফ দিবে তা একটি সম্ভাবনার নীতি অনুসরণ করেঃ সিস্টেমের নির্দিষ্ট অবস্থায় লাফ দেয়ার সম্ভাবনা অনুরূপ সাংখ্যিক গুণনীয়কের বর্গের সমানুপাতিক। এই সাংখ্য গূণনীয়কগুলোকে সম্ভাব্যতা বিকিরণ বলা হয়, এবং এই সম্পর্কটি প্রদত্ত কোয়ান্টাম অবস্থা থেকে সম্ভাবনা নির্ণয়ে ব্যবহৃত হয়,এটিই হচ্ছে বর্ন নীতি।

বিভিন্ন পর্যবেক্ষণযোগ্য বিষয় অবস্থার অসঙ্গত বিকৃতি ঘটাতে পারে। যেসব পর্যবেক্ষণযোগ্য বিষয়গুলো কোনো বিনিময় করে না তারা ভিন্ন সেটে সম্ভাব্য বিকিরণকে সংজ্ঞায়িত করে।

গাণিতিক

একটি আনুষ্ঠানিক সেটআপে, কোয়ান্টাম বলবিদ্যার যেকোনো সিস্টেমকে একটি ক্ষেত্রের মাধ্যমে বর্ণনা করা হয়, যা আসলে একটি ভেক্টর ।Ψ⟩, যা মূলত একটি বিমূর্ত জটিল ভেক্টর স্থানে অবস্থান করে যাকে হিলবার্ট স্পেস বলা হয়। এটি সসীম কিংবা অসীম মাত্রার হতে পারে। হিলবার্টের স্পেসের একটি সাধারণ উপস্থাপনা হচ্ছে একটি বিশেষ ফাংশন স্পেস, যাকে একটি নির্দিষ্ট সেট X এ L²(X) বলা হয়। এটি আসলে কোনো কনফিগারেশন স্পেস বা একটি বিচ্ছিন্ন সেট।

একটি পরিমাপযোগ্য ফাংশন $\psi$, শর্ত $\psi \in L^{2}(X)$ নির্দেশ করে যে একটি সসীম বদ্ধ যোগজ ব্যবহার করতে হবে:

$\int \limits _{X}|\psi (x)|^{2}\,\mathrm {d} \mu (x)<\infty ;$

এই যোগজ আদর্শ ψ এর বর্গকে নির্দেশ করে. এই মানটি যদি 1, এর সমান হয় তবে,

$\int \limits _{X}|\psi (x)|^{2}\,\mathrm {d} \mu (x)=1.$

এটি আসলে বোঝায় যে L²(X) এর যেকোনো উপাদানের 1 X এ একটি সম্ভাব্য পরিমাপ সংজ্ঞায়িত করে। এবং একটি অঋণাত্মক বাস্তব প্রকাশ হচ্ছে | ψ(x) |² যা μ এর সাপেক্ষে ের র‍্যাডন-নিকোডিয়াম অন্তরীকরণকে সংজ্ঞায়িত করে।

তরঙ্গ ফাংশন এবং সম্ভাবনা

যদি কনফিগারেশন স্থান X যদি ধারাবাহিক হয়(বাস্তব রেখার বা ইউক্লিডিয়ান স্পেসের মত), তবে সেখানে x ∈ X এর সাথে মিল হয় এমন কোনো বৈধ কোয়ান্টাম দশা থাকে না। এবং এই সম্ভাবনা যে সিস্টেমটি x এ রয়েছে তা সবসময় শুন্য হয়। এর একটি আর্কটিপিক্যাল উদাহরণঃ L²(R) এক মাত্রিক লিবিগ পরিমাপ দ্বারা গঠিত হয়। এটি একমাত্রিক গতি পাঠ করতে ব্যবহৃত হয়।অসীম-মাত্রিক হিলবার্ট স্থানের এই উপস্থাপনা স্থানিক অপারেটরের স্প্রেক্ট্রাল ডিকম্পোজিশনের সাথে মিলে যায়ঃ ⟨x | Q | Ψ⟩ = x⋅⟨x | Ψ⟩, x ∈ R ।যদিও ⟨x | বলে কোনো ভেক্টর নেই, ⟨x | Ψ⟩ এটিকে অর্থবোধক করা যায় স্প্রেক্ট্রাল থিওরী দ্বারা।

সাধারণত, অবস্থানিক স্থানে যখন কোনো কণার গতি বর্ণনা করা হয়, যেখানে অনুরূপ বিস্তার ফাংশন ψ হচ্ছে তরঙ্গ ফাংশন।

যদি ψ ∈ L²(X), ‖ψ‖ = 1 ফাংশনটি কোয়ান্টাম দশা ভেক্টর |Ψ⟩কে প্রকাশ করে, তবে বাস্তব প্রকাশ হচ্ছে |ψ(x)|²,যা x এর উপর নির্ভর করে এবং প্রদত্ত দশার সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন গঠন করে।কেবলমাত্র একটি সংখ্যাসূচক সম্ভাবনার সাথে ঘনত্বের ফাংশনটির পার্থক্যটি হল সম্ভাবনার মানগুলি নির্ণয়ের জন্য Xএর কয়েকটি ডোমেনের উপর এই মডুলাস-স্কোয়ারড ফাংশনটির যোগজীকরণ করা উচিত - যেমনঃ উপরিল্লখিত, সিস্টেমটি একই দশায় x এর সাথে ধনাত্বক সম্ভাবনায় অবস্থান করতে পারে না।উদাহরণস্বরূপ, একটি ত্রিমাত্রিক তরঙ্গ ফাংশনের জন্য, বিস্তারের মাত্রা হবে, [L^−3/2] যেখানে,L হচ্ছে দৈর্ঘ্য।

লক্ষ্য রাখা উচিত, উভয় ধারাবাহিক এবং অসীম বিচ্ছিন্ন কেসগুলো প্রত্যেকটি পরিমাপযোগ্য নয়, এমনকি স্মুথ ফাংশন L²(X) এর একটি উপাদানকে সংজ্ঞায়িত করা হয়।

বিচ্ছিন্ন বিস্তার

যখন X সেটটি বিচ্ছিন্ন হয়,হিলবার্ট স্পেস L²(X) দ্বারা প্রকাশিত ভেক্টর |Ψ⟩ মূলত কলাম ভেক্টর যা বিস্তার দ্বারা গঠিত এবং X দ্বারা সূচিত। এগুলো মাঝেমাঝে কোনো বিচ্ছিন্ন চলকের x ∈ X তরঙ্গ ফাংশন হিসেবে নির্দেশ করা হয়। বিচ্ছিন্ন ডাউনামিক চলক সাধারণত এমন সমস্যায় ব্যবহার করা হয় যেমনঃ একটি আদর্শ প্রতিফলিত বাক্সে কণা এবং কোয়ান্টাম সরল দোলক। পূর্বের কেসের সাথে একত্ব রেখে ψ(x) দ্বারা ভেক্টরের উপাংশসমূহ চিহ্নিত করা হবে। হিলবার্ট স্পেসের ওপর নির্ভর করে এখানে সসীম কিংবা অসীম সংখ্যক উপাংশ থাকতে পারে। এই ক্ষেত্রে, যদি |Ψ⟩ ভেক্টরটির নর্ম ১ হলে, | ψ(x) |² হচ্ছে শুধু x ক্ষেত্রে অবস্থিত কোয়ান্টাম সিস্টেমের সম্ভাবনা। এটি X এ বিচ্ছিন্ন সম্ভাবনা বণ্টন সংজ্ঞায়িত করে।

| ψ(x) | = 1 যদি এবং কেবল যদি |x> এবং |Ψ> এর সাথে একই কোয়ান্টাম অবস্থায় থাকে। ψ(x) = 0,যদি এবং কেবল যদি x এবং Ψ পরস্পর লম্ব হয়। অন্যথায়, ψ(x) এর মান ০ বা ১ এর মধ্যে হয়। একটি বিচ্ছিন্ন সম্ভাবনা বিস্তারকে এম থিওরীকে সরল করার উদ্দেশ্যে সম্ভাবনার কম্পাঙ্ক ডোমেনে মৌলিক কম্পাঙ্ক হিসেবে বিবেচনা করা হয়।

একটি মৌলিক উদাহরণ

বিচ্ছিন্ন একটি অর্থবোধক উদাহরণ হচ্ছেঃ একটি কোয়ান্টাম সিস্টেম যেটি কেবল দুটি সম্ভাব্য অবস্থায় বিরাজ করতে পারে। উদাহরণস্বরুপ, ফোটনের পোলারাইজেশন। যখন পোলারাইজেশন পরিমাপ করা হয়, এটি অনুভুমিক অবস্থা হতে পারে | H ⟩ বা উল্লম্ব অবস্থায় | V ⟩ থাকতে পারে। যতক্ষণ না এর পোলারাইজেশন পরিমাপ করা হয়, ফোটনটি এই উভয় অবস্থায় সুপারপজিশনে থাকতে পারে। তাই, এর অবস্থা |ψ⟩ কে এভাবে লেখা হয়ঃ

$|\psi \rangle =\alpha |H\rangle +\beta |V\rangle ,\,$

| H ⟩ এবং | V ⟩ যথাক্রমে α এবং β অবস্থার জন্য |ψ⟩ এর সম্ভাব্যতা বিকিরণ। যখন ফোটনের পোলারাইজেশন পরিমাপ করা হয়, ফলাফলের অবস্থা হয় উল্লম্ব কিংবা আনুভুমিক। কিন্তু কোনো র‍্যান্ডম পরীক্ষণে, আনুভূমিকভাবে পোলারাইজড হবার সম্ভাবনা হচ্ছেঃ α² এবং উল্লম্বভাবে পোলারাইজড হবার সম্ভাবনাঃ β²।

সেকারণে, ফোটনে একটি দশা $|\psi \rangle ={\sqrt {1 \over 3}}|H\rangle -i{\sqrt {2 \over 3}}|V\rangle$। যখন এটি দ্বারা পরিমাপ করা হয় তখন এক-তৃতীয়াংশ সম্ভাবনা থাকে আনুভুমিকভাবে পোলারাইজড হবার এবং দুই-তৃতীয়াংশ সম্ভাবনা থাকে উল্লম্বভাবে পোলারাইজড হবার।

স্বাভাবিকীকরণ

উপরের উদাহরণে, পরিমাপটির ফলাফল | H ⟩ অথবা | V ⟩ প্রদান করতে হবে, তাই | H ⟩ এবং | V ⟩ পরিমাপের মোট সম্ভাবনা হবে ১। এটি একটি সীমাবদ্ধতা α² + β² = 1; এর দিকে নিয়ে যায়। আরো সাধারণভাবে, সম্ভাব্যতা বিস্তারের বর্গকৃত মডুলাসের সবগুলোর যোগফল হয় ১। অর্থোনর্মাল ভিত্তিতে, যদি সমস্ত সম্ভাব্য দশাকে বুঝতে হয়, যা বিচ্ছিন্ন ঘটনায় অর্থপূর্ণ হয়, তবে এই শর্ত উপরিল্লিখিত নর্ম-১ শর্তের মত।

একজন সবসময়ই অশুন্য কোনো উপাদানকে এর নর্ম দ্বারা হিলবার্ট স্থানে ভাগ করতে পারে এবং একটি নর্মালাইজড দশা ভেক্টর পেতে পারে।যদিও প্রত্যেক তরঙ্গ ফাংশন হিলবার্ট স্পেসের L²(X) অন্তর্ভুক্ত নয়।যে তরঙ্গ ফাংশনগুলি এই সীমাবদ্ধতা পূরণ করে তাদেরকে নরমালযোগ্য বলা হয়।

শ্রোডিংগারের তরঙ্গ সমীকরণ, কোয়ান্টাম কণার দশাগুলি বর্ণনা করে,এর এমন একটি সমাধান রয়েছে যা একটি সিস্টেমকে বর্ণনা করে এবং সময়ের সাথে দশা কীভাবে পরিবর্তিত হয় তা নির্দিষ্টভাবে নির্ধারণ করে।ধরে নেয়া যাক, একটি তরঙ্গ ফাংশন ψ₀(x, t) হচ্ছে তরঙ্গ ফাংশনের একটি সমাধান, t সময়ে অবস্থান x এর জন্য একটি কণার বর্ণনা দেয়। যদি ফাংশনটি বর্গীয় যোগজীকরণযোগ্য হয়ে থাকে,

$\int _{\mathbf {R} ^{n}}|\psi _{0}(\mathbf {x} ,t_{0})|^{2}\,\mathrm {d\mathbf {x} } =a^{2}<\infty$

কোনো t₀ এর জন্য, ψ = ψ₀/a কে নর্মালাইজড তরঙ্গ ফাংশন বলে। আদর্শ কোপেনহেগেন ব্যাখ্যা অনুসারে, নর্মালাইজড তরঙ্গ ফাংশন কণার অবস্থান জন্য সম্ভাব্যতা বিস্তার প্রদান করে। তাই, একটি নির্দিষ্ট সময় t₀ এর জন্য, ρ(x) = | ψ(x, t₀) |² হচ্ছে কোনো কণার জন্য সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন । সুতরাং,কণাটি t₀ সময়ে V আয়তনে থাকার সম্ভাবনাঃ

$\mathbf {P} (V)=\int _{V}\rho (\mathbf {x} )\,\mathrm {d\mathbf {x} } =\int _{V}|\psi (\mathbf {x} ,t_{0})|^{2}\,\mathrm {d\mathbf {x} } .$

যদি, তরঙ্গ ফাংশনের কোনো সমাধান ψ₀ যদি নর্মালাইজেবল হয় t₀ সময়ে,তবে উপরে সংজ্ঞায়িত ψ সবসময়ই নর্মালাইজড। যাতে,

$\rho _{t}(\mathbf {x} )=\left|\psi (\mathbf {x} ,t)\right|^{2}=\left|{\frac {\psi _{0}(\mathbf {x} ,t)}{a}}\right|^{2}$

সর্বদাই, সকল t এর জন্য সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন। এটি এই ব্যাখ্যার গুরুত্ব বোঝার মূল বিষয়, কারণ কণার ধ্রুব ভর, প্রাথমিক ψ (x, 0) এবং সম্ভাব্যতার জন্য, শ্রোডিংগার সমীকরণ পরবর্তী তরঙ্গ ফাংশন সম্পূর্ণরূপে নির্ধারণ করে এবং উপরের সমীকরণটি পরে কণার অবস্থানগুলির সম্ভাবনা প্রদান করে।

ঘটনার সম্ভাবনা গণনার নীতিসমূহ

A. একটি সিস্টেম স্বাভাবিকভাবেই(কোপেনহেগেন ব্যাখ্যার অনুসারে) উদ্ভূত হয় ধরে নিলে, নিম্নোক্ত নিয়মগুলো প্রযোজ্য হয়ঃ

1. কোনো ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা(বা অবস্থানে সম্ভাবনা ঘনত্ব/গতিশীল স্পেস) হচ্ছে ঘটনাটির সম্ভাব্যতা বিস্তারের পরমমানের বর্গ ।$P=|\phi |^{2}$

সম্ভাবনাসমূহের সংরক্ষণশীলতা এবং ধারাবাহিক সমীকরণ

মূল নিবন্ধঃ সম্ভাব্যতা কারেন্ট

যেহেতু তরঙ্গ সমীকরণ অনুসারে বিকশিত হবার সময় একটি নর্মালাইজড তরঙ্গ ফাংশন নর্মালাইজডই থাকে, তাই কণার অবস্থানের সম্ভাব্যতা ঘনত্বের এবং এই অবস্থানগুলিতে বিস্তারের পরিবর্তনের মধ্যে একটি সম্পর্ক থাকবে।

সম্ভাব্যতা ফ্লাক্স j কে এভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়-

$\mathbf {j} ={\hbar \over m}{1 \over {2i}}\left(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*}\right)={\hbar \over m}\operatorname {Im} \left(\psi ^{*}\nabla \psi \right),$

একে (সম্ভাবনা)/(ক্ষেত্রফল * সময়) এর এককে পরিমাপ করা হয়।

$\nabla \cdot \mathbf {j} +{\partial \over \partial t}|\psi |^{2}=0.$

সম্ভাবনা ঘনত্ব, $\rho =|\psi |^{2}$এই সমীকরণটিই হচ্ছে ধারাবাহিক সমীকরণ,পদার্থবিদ্যায় পরিমাণের স্থানীয় সংরক্ষণশীলতা বর্ণনা করতে এবং বিভিন্ন পরিস্থিতিতে এটি দেখা যায়। সর্বোত্তম উদাহরণটি হচ্ছে, ক্লাসিকাল ইলেক্ট্রোডায়নামিক্স যেখানে, j বিদ্যুৎ ঘনত্বের সাথে মিলে যায় আধানের সাথে এবং ঘনত্বটি হচ্ছে চার্জ ঘনত্ব। এই ধারাবাহিকতা সমীকরণটি আধানের স্থানীয় সংরক্ষণ বর্ণনা করে।

যৌগিক সিস্টেম

দুটি প্রদত্ত কোয়ান্টাম সিস্টেমের জন্য, যাদের স্পেস যথাক্রমে L²(X₁) ও L²(X₂) এবং প্রদত্ত ক্ষেত্র যথাক্রমে |Ψ₁⟩ ও |Ψ₂⟩ তাদের সম্মিলিত ক্ষেত্রে Ψ₁ ⊗ Ψ₂ কে এভাবে প্রকাশ করা যায়ঃ ψ₁(x₁) ψ₂(x₂)। X₁ × X_{2 তে একটি ফাংশন যা ক্রমিক সম্ভাব্যতার পরিমাপের গুণফল প্রদান করে। অন্য কথায়, যৌগিকক্ষেত্রের অবিজড়িত বিস্তার হচ্ছে মূল বিস্তার এবং যথাক্রমে পর্যবেক্ষণযোগ্য বিষয়ের গুণফল। যেখানে সিস্টেম ১ ও ২ এসব ক্ষেত্রে স্বাধীন র‍্যান্ডম চলক হিসেবে আচরণ করে। এটি উপরে বর্ণিত সম্ভাবনার ব্যাখ্যাকে শক্তিশালী করে।}

বিস্তারে অপারেটরসমূহ

উপরে বর্ণিত বিস্তারের ধারণা কোয়ান্টাম ক্ষেত্র ভেক্টরের সাথে সম্পর্কিত। এটি ঐকিক অপারেটরের ধারণায়ও ব্যবহার করা হয় যা বিক্ষেপ তত্বেও গুরুত্বপূর্ণ বিশেষভাবে, এস ম্যাট্রিক্সের রুপে। অপরদিকে, প্রদত্ত কোনো ভেক্টরের জন্য, ভেক্টর উপাংশের মডিউলের বর্গ নির্দিষ্ট সম্ভাবনা প্রদান করে। ম্যাট্রিক্সের উপাদানের বর্গের মডিউলকে কোনো নির্দিষ্টতা ছাড়াই রুপান্তর সম্ভাবনা হিসেবে ধরা হয়। কোনো সসীম-মাত্রিক একক ভেক্টরের মত সসীম সম্ভাবনা বণ্টন বিশিষ্ট করে।একটি সসীম মাত্রিক ঐকিক ম্যাট্রিক্স সসীম সংখ্যক ক্ষেত্রের মধ্যে রুপান্তর সম্ভাবনা নির্দেশ করে। একক ম্যাট্রিক্সের কলামগুলোতেও ভেক্টরের মত আদর্শ হিসেবে ১ থাকে।

"রুপান্তর" ব্যাখ্যাটি অবিচ্ছিন্ন স্থানে L² এও ব্যবহার করা যায়।

আরও দেখুন

• মুক্ত কণা
• সসীম সম্ভাব্য প্রতিবন্ধক
• বস্তু তরঙ্গ
• অনিশ্চয়তা নীতি
• ওয়ার্ডের সম্ভাব্যতা বিকিরণ
• তরঙ্গ প্যাকেট
• দশা স্থান গঠন

তথ্যসূত্র

• Feynman, R. P.; Leighton, R. B.; Sands, M. (1989). "Probability Amplitudes" The Feynman Lectures on Physics. Volume 3. Redwood City: Addison-Wesley.ISBN 0-201-51005-7.
• Gudder, Stanley P. (1988). Quantum Probability. San Diego: Academic Press ISBN 0-12-305340-4.