মুখোপাধ্যায়ের উপপাদ্য

জ্যামিতিতে মুখোপাধ্যায়ের উপপাদ্যটি বক্ররেখাগুলির উপর ছেদচিহ্নর সংখ্যা সম্পর্কে উল্লেখ করে। এই উপপাদ্যটি শ্যামাদাস মুখোপাধ্যায় ১৯০৯ খ্রিষ্টাব্দে উপস্থাপন করেন। এই উপপাদ্যের একটি অংশকে চতুর্শীর্ষ উপপাদ্য বলা হয়, যেখানে বলা হয়েছে কোন সমতলে একটি সাধারণ উত্তল বক্ররেখার উপর কমপক্ষে ৪ টি শীর্ষে রয়েছে, এবং অন্য অংশে বলা হয়েছে যে কোন অ্যাফাইন সমতলে (affine plane) একটি সাধারণ উত্তল বক্ররেখার কমপক্ষে ৬ টি উপরিভাগের কোণ (affine vertices) আছে।

উপবৃত্তের সাহায্যে চতুর্শীর্ষ উপপাদ্য (Four-vertex theorem)

মূল উপপাদ্য

• একটি উত্তল ডিম্বাকার তলের উপর সর্বনিম্ন চক্রাকার বিন্দুর সংখ্যা ৪ হয় (the minimum number of cyclic points on a convex oval is 4)
• একটি ডিম্বাকার তলের উপর sextactic বিন্দুর সর্বনিম্ন সংখ্যা ৬ হয় (the minimum number of sextactic points on a convex oval is 6)

সাধারণীকরণ

পরবর্তীতে শ্যামাদাস মুখোপাধ্যায় এই দুটি উপপাদ্যের সাধারণীকরণ করে শক্তভাবে প্রতিষ্ঠা করেন-

• If a circle C intersects an oval V in 2n points (n 2) then there exists at least 2n cyclic points in order on V, of alternately contrary signs, provided the oval has continuity of order 3
• If a conic C intersects an oval V in 2n points (n> or = 2), then there exist at least 2n sextactic points in order on V, which are alternatively positive and negative, provided V has continuity of order 5