গাণিতিক প্রমাণ: সংশোধিত সংস্করণের মধ্যে পার্থক্য
বিষয়বস্তু বিয়োগ হয়েছে বিষয়বস্তু যোগ হয়েছে
১টি উৎস উদ্ধার করা হল ও ০টি অকার্যকর হিসেবে চিহ্নিত করা হল।) #IABot (v2.0.1 |
ইংরেজি লেখা অপসারণ করা হলো |
||
১ নং লাইন:
[[চিত্র:Oxyrhynchus_papyrus_with_Euclid's_Elements.jpg|ডান|থাম্ব|250x250পিক্সেল|P. Oxy. 29, [[ইউক্লিড|ইউক্লিডের]] ''[[ইউক্লিডের উপাদানসমূহ|উপাদানসমূহ]]'' বইয়ের পাতার একটি ছেঁড়া অংশ।<ref>{{ওয়েব উদ্ধৃতি|ইউআরএল=http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/papyrus/papyrus.html|শিরোনাম=One of the Oldest Extant Diagrams from Euclid|লেখক=[[Bill Casselman (mathematician)|Bill Casselman]]|লেখক-সংযোগ=|তারিখ=|প্রকাশক=University of British Columbia|সংগ্রহের-তারিখ=September 26, 2008}}</ref>]]
'''গাণিতিক প্রমাণ''' হল [[গাণিতিক বিবৃতি]]<nowiki/>র জন্য এক ধরনের [[অনুমিতি]]<nowiki/>ক যুক্তি। এ ধরনের যুক্তিতে ইতোমধ্যে প্রতিষ্ঠিত বিভিন্ন বিবৃতি (যেমন- [[উপপাদ্য]]) ব্যবহার করা যায়। তাত্ত্বিকভাবে, অনুমিতির বিভিন্ন স্বীকৃত নিয়মের পাশাপাশি বেশকিছু অনুমিত বিবৃতির উপর নির্ভর করে একটি প্রমাণ সম্পন্ন করা হয়। এ ধরনের অনুমিত বিবৃতিগুলোকে গাণিতিক ভাষায় [[স্বতঃসিদ্ধ]] বলা হয়।<ref>{{বই উদ্ধৃতি|লেখক১=Clapham, C.|লেখক২=Nicholson, JN.|lastauthoramp=yes|শিরোনাম=The Concise Oxford Dictionary of Mathematics, Fourth edition|উক্তি=A statement whose truth is either to be taken as self-evident or to be assumed. Certain areas of mathematics involve choosing a set of axioms and discovering what results can be derived from them, providing proofs for the theorems that are obtained.}}</ref><ref name="nutsandbolts">Cupillari, Antonella. ''The Nuts and Bolts of Proofs''. Academic Press, 2001. p. 3.</ref><ref>{{বই উদ্ধৃতি||শিরোনাম=Discrete Mathematics with Proof|তারিখ=July 2009|প্রথমাংশ=Eric|শেষাংশ=Gossett|পাতা=86|উক্তি=Definition 3.1. Proof: An Informal Definition|প্রকাশক=[[Wiley (publisher)|John Wiley & Sons]]|আইএসবিএন=978-0470457931}}</ref> স্বতঃসিদ্ধগুলোকে উক্ত বিবৃতি প্রমাণের ক্ষেত্রে প্রধান শর্ত হিসেবে ভাবা যেতে পারে। অর্থাৎ, একটি গাণিতিক বিবৃতি তখনই প্রমাণ করার যোগ্য হবে যখন উক্ত স্বতঃসিদ্ধগুলো উপস্থিত থাকবে। অনেকগুলো সমর্থনসূচক ঘটনা দেখিয়ে কোনো বিবৃতি গাণিতিকভাবে প্রমাণ করা যায় না। গাণিতিক প্রমাণের ক্ষেত্রে অবশ্যই দেখাতে হবে উক্ত বিবৃতিটি সব সময়ের জন্য সত্য (এক্ষেত্রে ''অনেক''গুলো ঘটনার পরিবর্তে ''সব''গুলো ঘটনা নিয়ে পর্যালোচনা করা যেতে পারে। সেক্ষেত্রে দেখাতে হবে যে উক্ত বিবৃতিতে ''সকল'' ঘটনার জন্য সত্য)। গাণিতিকভাবে প্রমাণিত নয়, কিন্তু সত্য হিসেবে ধরে নেয়া হয় — এমন বিবৃতিকে [[অনুমান]] বলা হয়।
১১ ⟶ ১০ নং লাইন:
গণিতের আরো অগ্রগতি হয় মধ্যযুগের [[ইসলাম]]ি গণিতের মাধ্যমে। গোড়ার দিকের গ্রিক প্রমাণাদি জ্যামিতিক প্রদর্শনের ওপর অতি নির্ভরশীল ছিল, কিন্তু মুসলিম গণিতবিদদের দ্বারা বিকশিত [[পাটিগণিত]] ও [[বীজগণিত]]ের ফলে সেই নির্ভরশীলতা আর থাকল না।
== পদ্ধতিসমূহ ==
৩৬ ⟶ ২২ নং লাইন:
=== গাণিতিক আরোহ পদ্ধতিতে প্রমাণ ===
{{মূল নিবন্ধ|গাণিতিক আরোহ পদ্ধতি}}
গাণিতিক আরোহ পদ্ধতি হ্রাস করার একটি পদ্ধতি, এটি আরোহী যুক্তির কোনও রূপ নয়।
গাণিতিক আরোহ পদ্ধতিতে প্রমাণের একটি সাধারণ উদাহরণ হলো একটি সংখ্যার জন্য প্রযোজ্য বৈশিষ্ট্য সকল প্রাকৃতিক সংখ্যার জন্য প্রযোজ্য:<ref>[http://zimmer.csufresno.edu/~larryc/proofs/proofs.mathinduction.html Examples of simple proofs by mathematical induction for all natural numbers]</ref>
মনে করি, {{math|1='''N''' = {1,2,3,4,...}}} একটি স্বাভাবিক সংখ্যা সেট, এবং {{math|''P''(''n'')}} একটি গাণিতিক বিবৃতি যেখানে {{math|''n''}} একটি স্বাভাবিক সংখ্যা যা {{math|'''N'''}} এর অন্তর্গত যেন
৭১ ⟶ ৫৮ নং লাইন:
: মনে করি, <math>\sqrt{2}</math> একটি [[মূলদ সংখ্যা]]। সংজ্ঞানুসারে, <math>\sqrt{2} = {a\over b}</math> যেখানে ''a'' এবং ''b'' শুন্য নয় এমন দুটি [[পূর্ণ সংখ্যা|পূর্ণসংখ্যা]] ও [[সহমৌলিক]]। ফলে, <math>b\sqrt{2} = a</math>। এর উভয়দিকে বর্গ করে পাই, 2''b''<sup>2</sup> = ''a''<sup>2</sup> । যেহেতু সমীকরণটির বামপক্ষ 2 দ্বারা বিভাজ্য, সেহেতু এর ডানপক্ষও 2 দ্বারা বিভাজ্য হবে (অন্যথায় একটি জোড় ও একটি বিজোড় সংখ্যা পরস্পর সমান হবে, যা অসম্ভব)। সুতরাং ''a''<sup>2</sup> জোড় সংখ্যা। অর্থাৎ ''a-''ও একটি জোড় সংখ্যা কেননা জোড় সংখ্যা বর্গ সর্বদা জোড় এবং বিজোড় সংখ্যার বর্গ সর্বদা বিজোড়। অতএব আমরা লিখতে পারি ''a'' = 2''c'', যেখানে ''c'' একটি পূর্ণসংখ্যা। একে মূল সমীকরণে [[প্রতিস্থাপন প্রক্রিয়া (গণিত)|প্রতিস্থাপন]] করে পাই 2''b''<sup>2</sup> = (2''c'')<sup>2</sup> = 4''c''<sup>2</sup>। প্রাপ্ত সমীকরণের উভয়দিকে 2 দ্বারা ভাগ করে পাই ''b''<sup>2</sup> = 2''c''<sup>2</sup>। পূর্বের যুক্তি অনুসারে বলা যায় যে ''b''<sup>2</sup>-ও 2 দ্বারা বিভাজ্য। অর্থাৎ ''b-''ও একটি জোড় সংখ্যা। কিন্তু যদি ''a'' এবং ''b'' উভয়ই জোড় হয়, তাহলে তাদের মধ্যে অবশ্যই একটা সাধারণ [[গুণিতক]] (এক্ষেত্রে 2) থাকবে যা শুরুতে করা অনুমান (অর্থাৎ ''a'' এবং ''b'' যে সহমৌলিক এই অনুমান)-এর সাথে অসঙ্গতি প্রকাশ করে। সুতরাং আমরা এ উপসংহারে পৌঁছুতে পারি যে <math>\sqrt{2}</math> একটি অমূলদ সংখ্যা।
== প্রমাণের সমাপ্তিতে ==
|