দ্বিঘাত সূত্র: সংশোধিত সংস্করণের মধ্যে পার্থক্য
বিষয়বস্তু বিয়োগ হয়েছে বিষয়বস্তু যোগ হয়েছে
খাঁ শুভেন্দু (আলোচনা | অবদান) অ সংশোধন |
খাঁ শুভেন্দু (আলোচনা | অবদান) অ →সূত্রের বিকাশকরণ: সম্প্রসারণ |
||
১২ নং লাইন:
দ্বিঘাত সূত্র দ্বারা প্রদত্ত সমাধানগুলির প্রতিটিকে দ্বিঘাত সমীকরণের মূল বলা হয়। জ্যামিতিকভাবে, এই শিকড়গুলি x মানগুলির প্রতিনিধিত্ব করে যা কোন প্যারোব্লোকে স্পষ্টভাবে <math>y = ax^2 + bx + c</math> হিসাবে প্রদান করে, x- অক্ষ অতিক্রম করে। পাশাপাশি একটি সূত্র হচ্ছে যে কোনও অধিবৃত্ত শূন্য উৎপন্ন করবে, কোরাড্রাটিক সূত্র অধিবৃত্ত এর সমান্ত্রিকতার অক্ষ প্রদান করবে, এবং তা অবিলম্বে নির্ধারণ করতে পারে যে কত সংখ্যক শূন্য সমীকরণ রয়েছে।
==সূত্রের বিকাশকরণ==
[[বর্গক্ষেত্র সমাপ্তি]] এর একটি কৌশলগত প্রয়োগের সাথে দ্বিগুণ সূত্রটি তৈরি করা যায়।<ref>{{citation
|title=Schaum's Outline of Theory and Problems of Elementary Algebra
|first1=Barnett
|last1=Rich
|first2=Philip
|last2=Schmidt
|publisher=The McGraw–Hill Companies
|year=2004
|isbn=0-07-141083-X
|url=https://books.google.com/books?id=8PRU9cTKprsC}}, [https://books.google.com/books?id=8PRU9cTKprsC&pg=PA291 Chapter 13 §4.4, p. 291]</ref><ref>Li, Xuhui. ''An Investigation of Secondary School Algebra Teachers' Mathematical Knowledge for Teaching Algebraic Equation Solving'', p. 56 (ProQuest, 2007): "The quadratic formula is the most general method for solving quadratic equations and is derived from another general method: completing the square."</ref> এই কারণে, শিক্ষাদীক্ষা কখনও কখনও ছাত্র, যারা এইভাবে এই গুরুত্বপূর্ণ সূত্রের পুনঃআবিষ্কারের অনুভব করতে একটি ব্যায়াম যেমন ছেড়ে দেওয়া হয়।<ref>Rockswold, Gary. ''College algebra and trigonometry and precalculus'', p. 178 (Addison Wesley, 2002).</ref><ref>Beckenbach, Edwin et al. ''Modern college algebra and trigonometry'', p. 81 (Wadsworth Pub. Co., 1986).</ref> স্পষ্ট শিক্ষাদীক্ষা নিম্নরূপ।
{{গণিত | '' a ''}} দ্বারা চতুর্ভুজ সমীকরণ বিভাজন করুন, যা অনুমোদিত কারণ {{গণিত | '' a ''} শূন্য না:
:<math>x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}=0.</math>
সমীকরণের উভয় পাশ থেকে {{গণিত | {{sfrac | '' c '' '' a ''}}}} বিয়োগ করুন:
:<math>x^2 + \frac{b}{a} x= -\frac{c}{a}.</math>
চতুর্ভুজ সমীকরণ এখন এমন একটি ফর্মের বা পদ্ধতির মধ্যে রয়েছে যে এখন [[বর্গ সমাপ্ত]] প্রয়োগ করা যেতে পারে।সুতরাং, সমীকরণ উভয় পক্ষের একটি ধ্রুবক যোগ করুন যেমন বাম হাত একটি সম্পূর্ণ বর্গক্ষেত্র হয়ে।
:<math>x^2+\frac{b}{a}x+\left( \frac{b}{2a} \right)^2 =-\frac{c}{a}+\left( \frac{b}{2a} \right)^2,</math>
যা তৈরি করে:
:<math>\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}.</math>
তদনুসারে, ডানদিকের অংশগুলিকে পুনঃব্যবহারের পরে একটি সাধারণ বিভাজক আছে এবং আমরা প্রাপ্ত হই:
:<math>\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}.</math>
বর্গক্ষেত্র এইভাবে সম্পন্ন করা হয়েছে। উভয় পক্ষের [[বর্গমূল]] গ্রহণ করে নিম্নলিখিত সমীকরণ উত্পন্ন হয়:
:<math>x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}.</math>
পৃথকরূপে {{গণিত | '' X '}} দ্বিঘাত সূত্র দেয়:
:<math>x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}.</math>
[[প্লাস-মাইনাস চিহ্ন | প্লাস-মাইজ চিহ্ন "±"]] ইঙ্গিত দেয় যে উভয়ই
:<math> x=\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a}\quad\text{and}\quad x=\frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}</math>
are solutions of the quadratic equation.<ref>{{Citation|last=Sterling|first=Mary Jane|title=Algebra I For Dummies|year=2010|publisher=Wiley Publishing|isbn=978-0-470-55964-2|url=https://books.google.com/books?id=2toggaqJMzEC&pg=PA219&dq=quadratic+formula#v=onepage&q=quadratic%20formula&f=false|page=219}}</ref> There are many alternatives of this derivation with minor differences, mostly concerning the manipulation of {{math|''a''}}.
Some sources, particularly older ones, use alternative parameterizations of the quadratic equation such as {{math|1=''ax''<sup>2</sup> − 2''bx'' + ''c'' = 0}}<ref name="kahan">{{Citation |first=Willian |last=Kahan |title=On the Cost of Floating-Point Computation Without Extra-Precise Arithmetic |url=http://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/Qdrtcs.pdf |date=November 20, 2004 |accessdate=2012-12-25}}</ref> or {{math|1=''ax''<sup>2</sup> + 2''bx'' + ''c'' = 0}},<ref>{{Citation |url=http://www.proofwiki.org/wiki/Quadratic_Formula |title=Quadratic Formula |journal=Proof Wiki |accessdate=2016-10-08}}</ref> where {{math|''b''}} has a magnitude one half of the more common one. These result in slightly different forms for the solution, but are otherwise equivalent.
A lesser known quadratic formula, as used in [[Muller's method]], and which can be found from [[Vieta's formulas]], provides the same roots via the equation:
:<math>x=\frac{-2c}{b\mp\sqrt{b^2-4ac}}.</math>
==তথ্যসূত্র==
{{সূত্র তালিকা}}
| |||