ফোইয়াস ধ্রুবক

গাণিতিক বিশ্লেষণে ফোইয়াস ধ্রুবক হলো একটি বাস্তব সংখ্যা, যা সিপ্রিয়ান ফোইয়াসের নামানুসারে রাখা হয়েছে।

$x_{n+1}$ অনুক্রমের বিবর্তন $=\alpha$ ফোইয়াস ধ্রুবকের কাছাকাছি $x_{1}$ এর বিভিন্ন মানের জন্য $(1+1/x_{n})^{n}$। $x_{1}$ এর জন্য বিবর্তন $=\alpha$ (যা সবুজ রঙে দেখানো হয়েছে)। অন্যান্য প্রাথমিক মানগুলো 1 এবং $\infty$ সঞ্চয় বিন্দু দুটির দিকে নিয়ে যায়। এখানে লগারিদমিক স্কেল ব্যবহার করা হয়েছে।

একে নিম্নলিখিত উপায়ে সংজ্ঞায়িত করা হয়: প্রতিটি বাস্তব সংখ্যার জন্য x₁ > 0, এখানে পুনরাবৃত্তিমূলক সম্পর্ক দ্বারা সংজ্ঞায়িত একটি ক্রম রয়েছে।

$x_{n+1}=\left(1+{\frac {1}{x_{n}}}\right)^{n}$

n = 1, 2, 3, ... এর জন্য ফোইয়াস ধ্রুবক হলো অনন্য পছন্দ α, যদি x₁ = α হয় তাহলে ক্রমটি অসীমে চলে যায়। x₁ এর অন্যান্য সকল মানের জন্য ক্রমটিও ভিন্ন, তবে এর দুটি সঞ্চয় বিন্দু রয়েছে: ১ এবং অসীম। সংখ্যাগতভাবে এটি

$\alpha =1.187452351126501\ldots$ .

এই ধ্রুবকটির জন্য কোন বিশ্লেষণাত্মক গঠন জানা নেই।

যখন x₁ = α হয়, তখন অনুক্রমের বৃদ্ধির হার (x_n) নিচের সীমাটির দ্বারা দেওয়া হয়

$\lim _{n\to \infty }x_{n}{\frac {\log n}{n}}=1,$

যেখানে "লগ" প্রাকৃতিক লগারিদমকে বোঝায়।

ফোইয়াস ধ্রুবকের স্বতন্ত্রতার প্রমাণে ব্যবহৃত একই পদ্ধতিগুলো অন্যান্য অনুরূপ পুনরাবৃত্তিমূলক ক্রমগুলোতেও প্রয়োগ করা যেতে পারে।

আরও দেখুন

• গাণিতিক ধ্রুবক