০.৯৯৯...

স্বাভাবিক সংখ্যা

০.৯৯৯... একটি পৌনঃপুনিক দশমিক সংখ্যা যা একটি বাস্তব সংখ্যাকে নির্দেশ করে। একে অন্যভাবেও লিখা যায়:অথবা। নির্দিষ্টভাবে এই সংখ্যাটিকে -এর সমান ধরা হয়। অর্থাৎ ০.৯৯৯... সংখ্যাটি সংখ্যাগত দিক দিয়ে ১ -কেই নির্দেশ করে। এই বিষয়কে কেন্দ্র করে গণিতের বিভিন্ন শাখায় অনেকগুলো প্রামাণিক উপপাদ্যের সৃষ্টি হয়েছে।

999 Perspective.svg

প্রমাণসম্পাদনা

বীজগাণিতিকসম্পাদনা

ধরা যাক x= 0.999..... তাহলে, 10x = 9.999.....

অতএব, (10x -x)= (9.999.... - 0.999....) বা, 9x = 9 অতঃপর নিশ্চিতভাবেই x= 1.

অর্থাৎ, 0.999... মানে প্রায় 1 নয়! একেবারে কাটায় কাটায় 1.

ভগ্নাংশ এবং দীর্ঘ বিভাজনসম্পাদনা

অসীম দশমিক যে সসীম দশমিকেরই একটিপরিবর্ধিত রূপ তার কারণ হল ভগ্নাংশে প্রকাশ। দীর্ঘ বিভাজন ব্যবহার করে এর মতো অতি সরল পূর্ণ সাংখ্যিক বিভজনকেও পুনরাবৃত্তিক ভগ্নাংশে পরিণত করা যায়, যাতে অঙ্কগুলো অসীম পর্যন্ত পুনরাবৃত্ত হয়। এই দশমিক ০.৯৯৯%=১ এর একটি দ্রুততর প্রমাণ প্রদান করে। ৩ কে ৩ দিয়ে গুণ করলে প্রতিটি অঙ্ক ৯ হয়, তাই ৩ x ০.৩৩৩% সমান ০.৯৯৯%। আবার ৩ × সমান ১, তাই ০.৯৯৯… = ১।[১] এ প্রমাণের আরেকটি রূপে ভগ্নাংশ = ০.১১১… কে ৯ দ্বারা গুণ করা হয়।

   

তথ্যসূত্রসম্পাদনা

  1. cf. with the binary version of the same argument in Silvanus P. Thompson, Calculus made easy, St. Martin's Press, New York, 1998. আইএসবিএন ০-৩১২-১৮৫৪৮-০.

বহিঃসংযোগসম্পাদনা