সীমার তালিকা

সীমা (ইংরেজি: Limit) সম্বন্ধীয় কয়েকটি উপপাদ্য ও সাধারণত প্রচলিত কয়েকটি সীমা। এখানে a ও b হ'ল ধ্রুবক ও x হ'ল চলরাশি

সীমা সর্বজনীন সম্পত্তি

কয়েকটি উপপাদ্য

যদি $\lim _{x\to c}f(x)=L_{1}$ ও $\lim _{x\to c}g(x)=L_{2}$ হয়, তবে

$\lim _{x\to c}\,[f(x)\pm g(x)]=L_{1}\pm L_{2}$

$\lim _{x\to c}\,[f(x)g(x)]=L_{1}\times L_{2}$

$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}\qquad$ যখন $L_{2}\neq 0$

$\lim _{x\to c}\,f(x)^{n}=L_{1}^{n}\qquad$ যখন n একটি ধনাত্মক সংখ্যা।

$\lim _{x\to c}\,f(x)^{1 \over n}=L_{1}^{1 \over n}\qquad$ যখন n একটি ধনাত্মক সংখ্যা ও যদি n যুগ্ম সংখ্যা, $L_{1}>0$

$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}\qquad$ যখন $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0$ বা $\lim _{x\to c}|g(x)|=+\infty$ (L'Hôpital's rule)

$\lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}=f'(x)$

$\lim _{h\to 0}\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)^{\frac {1}{h}}=\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)$

$\lim _{h\to 0}{\left({f(x(1+h)) \over {f(x)}}\right)^{1 \over {h}}}=\exp \left({\frac {xf'(x)}{f(x)}}\right)$

কয়েকটি বিশেষ সীমা

$\lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {k}{x}}\right)^{mx}=e^{mk}$

$\lim _{x\to +\infty }\left(1-{\frac {1}{x}}\right)^{x}={\frac {1}{e}}$

$\lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {k}{x}}\right)^{x}=e^{k}$

$\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}=e$

$\lim _{n\to \infty }\,2^{n}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\text{...}}+{\sqrt {2}}}}}}}} _{n}=\pi$

কয়েকটি সরল ফলাফলের সীমা

$\lim _{x\to c}a=a$

$\lim _{x\to c}x=c$

$\lim _{x\to c}ax+b=ac+b$

$\lim _{x\to c}x^{r}=c^{r}\qquad$ যখন r একটি ধনাত্মক সংখ্যা

$\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x^{r}}}=+\infty$

$\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x^{r}}}={\begin{cases}-\infty ,&{\text{if }}r{\text{ is odd}}\\+\infty ,&{\text{if }}r{\text{ is even}}\end{cases}}$

ঘাতাংকীয় ও সূচকীয় ফলাফলের সীমা

যদি $a>1\,$ হয়, তবে

$\lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=-\infty$

$\lim _{x\to \infty }\log _{a}x=\infty$

$\lim _{x\to -\infty }a^{x}=0$

যদি $a<1\,$ হয়, তবে

$\lim _{x\to -\infty }a^{x}=\infty$

ত্রিকোণমিতীয় ফলাফলের সীমা

$\lim _{x\to a}\sin x=\sin a$

$\lim _{x\to a}\cos x=\cos a$

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$

$\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0$

$\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}$

$\lim _{x\to n^{\pm }}\tan \left(\pi x+{\frac {\pi }{2}}\right)=\mp \infty \qquad$ যেকোনো অখণ্ড সংখ্যা n র জন্য।

অসীমের দিকে

$\lim _{x\to \infty }N/x=0$ যেকোনো বাস্তব সংখ্যা N র জন্য।

$\lim _{x\to \infty }x/N={\begin{cases}\infty ,&N>0\\{\text{does not exist}},&N=0\\-\infty ,&N<0\end{cases}}$

$\lim _{x\to \infty }x^{N}={\begin{cases}\infty ,&N>0\\1,&N=0\\0,&N<0\end{cases}}$

$\lim _{x\to \infty }N^{x}={\begin{cases}\infty ,&N>1\\1,&N=1\\0,&0<N<1\end{cases}}$

$\lim _{x\to \infty }N^{-x}=\lim _{x\to \infty }1/N^{x}=0$ যিকোনো $N>1$ র কারণে।

$\lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{N}}={\begin{cases}1,&N>0\\0,&N=0\\{\text{does not exist}},&N<0\end{cases}}$

$\lim _{x\to \infty }{\sqrt[{N}]{x}}=\infty$ যেকোনো $N>0$ র কারণে।

$\lim _{x\to \infty }\log x=\infty$

$\lim _{x\to 0^{+}}\log x=-\infty$