যৌগিক সংখ্যা

যৌগিক সংখ্যা হলো একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা যা দুটি ছোট ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার গুণফল দ্বারা গঠিত হতে পারে। একইসাথে, এটি একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা যেখানে কমপক্ষে ১ এবং সংখ্যাটি নিজে ছাড়া অন্য একটি বিভাজক থাকে ।^[১]^[২] প্রতিটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাই যৌগিক, মৌলিক বা ১ হয়, সুতরাং যৌগিক সংখ্যাগুলি হলো যা সংখ্যার মূল নয় এবং একক নয়।^[৩]^[৪]

Composite number Cuisenaire rods

Comparison of prime and composite numbers

উদাহরণস্বরূপ, পূর্ণসংখ্যা ১৪ একটি যৌগিক সংখ্যা কারণ এটি দুটি ছোট পূর্ণসংখ্যা ২ এর গুণফল। × ৭ একইভাবে, পূর্ণসংখ্যা ২ এবং ৩ যৌগিক সংখ্যা নয় কারণ তাদের প্রতিটিকে শুধুমাত্র একটি দ্বারা ভাগ করা যায়।

১৫০ পর্যন্ত যৌগিক সংখ্যা হল:

৪, ৬, ৮, ৯, ১০, ১২, ১৪, ১৫, ১৬, ১৮, ২০, ২১, ২২, ২৪, ২৫, ২৬, ২৭, ২৮, ৩০, ৩২, ৩৩, ৩৪, ৩৫, ৩৬, ৩৮, ৩৯, ৪০, ৪২, ৪৪, ৪৫, ৪৬, ৪৮, ৪৯, ৫০, ৫১, ৫২, ৫৪, ৫৫, ৫৬, ৫৭, ৫৮, ৬০, ৬২, ৬৩, ৬৪, ৬৫, ৬৬, ৬৮, ৬৯, ৭০, ৭২, ৭৪, ৭৫, ৭৬, ৭৭, ৭৮, ৮০, ৮১, ৮২, ৮৪, ৮৫, ৮৬, ৮৭, ৮৮, ৯০, ৯১, ৯২, ৯৩, ৯৪, ৯৫, ৯৬, ৯৮, ৯৯, ১০০, ১০২, ১০৪, ১০৫, ১০৬, ১০৮, ১১০, ১১১, ১১২, ১১৪, ১১৫, ১১৬, ১১৭, ১১৮, ১১৯, ১২০, ১২১, ১২২, ১২৩, ১২৪, ১২৫, ১২৬, ১২৮, ১২৯, ১৩০, ১৩২, ১৩৩, ১৩৪, ১৩৫, ১৩৬, ১৩৮, ১৪০, ১৪১, ১৪২, ১৪৩, ১৪৪, ১৪৫, ১৪৬, ১৪৭, ১৪৮, ১৫০. (sequence A002808 in the OEIS)

প্রতিটি যৌগিক সংখ্যা দুই বা ততোধিক (অগত্যা স্বতন্ত্র নয়) মৌলিক সংখ্যার গুণফল হিসাবে লেখা যেতে পারে। ^[৫] উদাহরণস্বরূপ, যৌগিক সংখ্যা ২৯৯ কে ১৩ × ২৩ হিসাবে লেখা যেতে পারে এবং ৩৬০ যৌগিক সংখ্যা ২ ^৩ × ৩ ^২ × ৫ হিসাবে লেখা যেতে পারে; তদ্ব্যতীত, এই উপস্থাপনাটি কারণের ক্রম পর্যন্ত অনন্য। এই সত্যটিকে পাটিগণিতের মৌলিক উপপাদ্য বলা হয়। ^[৬] ^[৭] ^[৮] ^[৯]

একটি যৌগিক ইনপুটের ফ্যাক্টরাইজেশন প্রকাশ না করেই একটি সংখ্যা মৌলিক বা যৌগিক কিনা তা নির্ধারণ করতে পারে এমন বেশ কয়েকটি পরিচিত প্রাথমিক পরীক্ষা রয়েছে।

প্রকারভেদসম্পাদনা

যৌগিক সংখ্যা শ্রেণীবদ্ধ করার একটি উপায় হল মৌলিক গুণনীয়ক সংখ্যা গণনা করা। দুটি মৌলিক গুণনীয়ক সহ একটি যৌগিক সংখ্যা হল একটি সেমিপ্রাইম বা ২-প্রায় প্রাইম (ফ্যাক্টরগুলি আলাদা হওয়ার দরকার নেই, তাই প্রাইমগুলির বর্গগুলি অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে)। তিনটি স্বতন্ত্র মৌলিক গুণনীয়ক সহ একটি যৌগিক সংখ্যা একটি স্ফেনিক সংখ্যা । কিছু অ্যাপ্লিকেশনে, বিজোড় সংখ্যক স্বতন্ত্র মৌলিক গুণনীয়ক সহ যৌগিক সংখ্যা এবং স্বতন্ত্র মৌলিক গুণনীয়কগুলির একটি জোড় সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য করা প্রয়োজন। পরেরটির জন্য

$\mu (n)=(-1)^{2x}=1$

(যেখানে μ হল Möbius ফাংশন এবং x হল মোট প্রাইম ফ্যাক্টরের অর্ধেক), যেখানে আগেরটির জন্য

$\mu (n)=(-1)^{2x+1}=-1.$

যাইহোক, মৌলিক সংখ্যার জন্য, ফাংশনটি −১ এবং প্রদান করে $\mu (1)=1$ . এক বা একাধিক পুনরাবৃত্ত মৌলিক গুণনীয়ক সহ n সংখ্যার জন্য,

$\mu (n)=0$

যদি একটি সংখ্যার সমস্ত মৌলিক গুণনীয়ক পুনরাবৃত্তি করা হয় তাকে একটি শক্তিশালী সংখ্যা বলা হয় (সমস্ত নিখুঁত শক্তি শক্তিশালী সংখ্যা)। যদি এর মৌলিক গুণনীয়কগুলির কোনটিই পুনরাবৃত্তি না হয়, তবে একে বর্গমুক্ত বলা হয়। (সমস্ত মৌলিক সংখ্যা এবং ১ বর্গমুক্ত। )

উদাহরণস্বরূপ, ৭২ = ২ ^৩ × ৩ ২, সমস্ত মৌলিক গুণনীয়ক পুনরাবৃত্তি হয়, তাই ৭২ একটি শক্তিশালী সংখ্যা। ৪২ = ২ × ৩ × ৭, মৌলিক গুণনীয়কগুলির একটিও পুনরাবৃত্তি হয় না, তাই ৪২ বর্গমুক্ত।

Euler diagram of abundant, primitive abundant, highly abundant, superabundant, colossally abundant, highly composite, superior highly composite, weird and perfect numbers under ১০০ in relation to deficient and composite numbers

যৌগিক সংখ্যা শ্রেণীবদ্ধ করার আরেকটি উপায় হল ভাজকের সংখ্যা গণনা করা। সমস্ত যৌগিক সংখ্যার কমপক্ষে তিনটি ভাজক থাকে। প্রাইমগুলির বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রে, সেই ভাজকগুলি হল $\{1,p,p^{2}\}$ . একটি সংখ্যা n যার যেকোনো x < n এর চেয়ে বেশি ভাজক রয়েছে একটি অত্যন্ত যৌগিক সংখ্যা (যদিও প্রথম দুটি সংখ্যা হল ১ এবং ২)।

যৌগিক সংখ্যাগুলিকে "আয়তক্ষেত্রাকার সংখ্যা"ও বলা হয়েছে, তবে সেই নামটি প্রনিক সংখ্যাগুলিকেও নির্দেশ করতে পারে, যে সংখ্যাগুলি পরপর দুটি পূর্ণসংখ্যার গুণফল।

যৌগিক সংখ্যাগুলিকে শ্রেণীবদ্ধ করার আরেকটি উপায় হল সমস্ত মৌলিক গুণনীয়কগুলি কিছু নির্দিষ্ট (প্রাইম) সংখ্যার নীচে বা সমস্ত উপরে কিনা তা নির্ধারণ করা। এই জাতীয় সংখ্যাগুলিকে যথাক্রমে মসৃণ সংখ্যা এবং মোটামুটি সংখ্যা বলা হয়।

আরো দেখুনসম্পাদনা

মন্তব্যসম্পাদনা

↑ A First Course In Abstract Algebra (2nd ed.)। Addison-Wesley। ১৯৭৬। আইএসবিএন 0-201-01984-1।
↑ Topics In Algebra। Blaisdell Publishing Company। ১৯৬৪। আইএসবিএন 978-1114541016।
↑ Elementary Introduction to Number Theory (2nd ed.)। D. C. Heath and Company। ১৯৭২।
↑ Introduction To Modern Algebra, Revised Edition। Boston: Allyn and Bacon। ১৯৬৮।
↑ Long (1972, p. 16)
↑ Fraleigh (1976, p. 270)
↑ Long (1972, p. 44)
↑ McCoy (1968, p. 85)
↑ Pettofrezzo & Byrkit (1970, p. 53)

তথ্যসূত্রসম্পাদনা

[1] A First Course In Abstract Algebra (2nd ed.)। Addison-Wesley। ১৯৭৬। আইএসবিএন 0-201-01984-1।

[2] Topics In Algebra। Blaisdell Publishing Company। ১৯৬৪। আইএসবিএন 978-1114541016।

[3] Elementary Introduction to Number Theory (2nd ed.)। D. C. Heath and Company। ১৯৭২।

[4] Introduction To Modern Algebra, Revised Edition। Boston: Allyn and Bacon। ১৯৬৮।

[5] Long (1972, p. 16)

[6] Fraleigh (1976, p. 270)

[7] Long (1972, p. 44)

[8] McCoy (1968, p. 85)

[9] Pettofrezzo & Byrkit (1970, p. 53)

[১]

[২]

[৩]

[৪]

[৫]

[৬]

[৭]

[৮]

[৯]