ফাংশনটির লেখচিত্র, কালো কালিতে, এবং একটি স্পর্শক রেখা লাল কালিতে আঁকা। স্পর্শক রেখাটির ঢাল ফাংশন্টির চিহ্নিত বিন্দুতে অন্তরজের সমান। কোন ফাংশনের অন্তরজ এর স্বাধীন চলকের সূক্ষ্মাতিসূক্ষ্ম পরিবরতনের জন্য ফাংশনের (অধীন চলকের) পরিবরতন নির্ণয় করে। অন্তরজ ক্যালকুলাসের মৌলিক হাতিয়ার। উদাহরনস্বরূপ, কোন বস্তুর বেগ সময়ের সাপেক্ষে এর অবস্থান পরিবরতনের অন্তরজ । এটি নির্দেশ করে বস্তুটি সময়ের সাথে কিভাবে অবস্থান পরিবরতন করছে।
একটিমাত্র চলকের জন্য কোন ফাংশনের কোন একটি বিন্দুতে যখন অন্তরজের মান থাকে তখন তা ফানশনের সেই বিন্দুতে স্পর্শকের ঢালের মানের সমান। যখন এটা ঘটে, কোন একটি বিন্দুতে কেবলমাত্র একটি স্পর্শক রেখা পাওয়া যায় এবং তা গৃহীত মান / অই বিন্দুর খুব কাছাকাছি ফাংশনটির সর্বোচ্চ রৈখিক অনুমান। তাই, অন্তরজকে বর্ণনা করা হয় তাৎক্ষনিক পরিবরতনের হার। অন্যভাবে, অধীন চলকের তাৎক্ষনিক পরিবর্তন ও স্বাধীন চলকের পরিবরতনের অনুপাত
অন্তরজকে বাস্তব চলকের ফাংশন রূপে প্রকাশ করা যেতে পারে। সাধারনভাবে, অন্তরজকে প্রকাশ করা যেতে পারে আসল ফাংশনের রৈখিক রূপান্তর হিসেবে যা আসল লেখচিত্রটির সর্বোচ্চ রৈখিক অনুমান। জ্যাকবিয়ান ম্যাট্রিক্স হল এমন ম্যাট্রিক্স যা স্বাধীন ও নির্ভরশীল চলকের পছন্দমত দেওয়া ভিত্তিতে এই রৈখিক রূপান্তর প্রকাশ করে। স্বাধীন চলকের সাপেক্ষে এটা আংশিক অন্তরজ হিসাব করতে পারে। বিভিন্ন চলকের বাস্তব-মানের-ফাংশনের জন্য জ্যাকবিয়ান ম্যাট্রিক্স গ্র্যাডিয়েন্ট ভেক্টর হ্রাস করে।
অন্তরজ নির্ণেয়ের প্রক্রিয়াকে অন্তরীকরণ বলে। অনেকে একে ব্যাবকলনও বলে থাকে। এর বিপরীত প্রকিয়াকে বলে প্রতিঅন্তরজ। ক্যাকুলাসের মৌলিক তত্ত্ব বলে যে প্রতিঅন্তরজ ও সমাকলন একই কথা। অন্তরীকরণ অ সমাকলন এক চলকীয় ক্যালকুলাসে দুটি মৌলিক প্রক্রিয়া গঠন করে। .[১]
অন্তরীকরণ ও অন্তরজ
সম্পাদনা
অন্তরীকরণ হল একটি অন্তরজ নির্ণেয়ের প্রক্রিয়া। কোন ফাংশন f(x) এর চলক x এর জন্য এর অন্তরজ চলকের পরিবর্তনের সাপেক্ষে ফাংশনের পরিবর্তনের হার পরমাপ করে। এটাকে বলে x এর সাপেক্ষে f(x) এর অন্তরজ। যদি x ও y = f(x) বাস্তব সংখ্যা হয় তবে x বনাম f(x) এর লেখচিত্র আঁকলে এর প্রতিটি বিন্দুতে অন্তরজের মান এর অই বিন্দুতে স্পর্শকের ঢালের মানের সমান।
ধ্রুব ফাংশন বাদ দিয়ে সবচেয়ে সহজ ক্ষেত্র হল যখ y একটি রৈখিক ফাংশন। এতার মানে হল y বনাম x এর লেখচিত্র একটি সরলরেখা। এই শর্তে, y = f(x) = m x + b, m ও b বাস্তব সংখ্যা এবং ঢাল m হল
যেখানে Δ (ডেল্টা) প্রতিকটি "পরিবর্তন" প্রকাশ করে। এই সূত্রটি সত্য কারন
সুতরাং, যেহেতু
y
+
Δ
y
=
y
+
m
Δ
x
,
{\displaystyle y+\Delta y=y+m\,\Delta x,}
এটা অনুসরণ করে
Δ
y
=
m
Δ
x
.
{\displaystyle \Delta y=m\,\Delta x.}
এটি সরলরেখাটির একদম সঠিক ঢাল বের করে দেয়। যদি ফাংশনটি সরলরৈখিক (এটার লেখচিত্র সরলরেখা নয়), যাহাই হউক না কেন, সেক্ষেত্রে y এর পরিবর্তন ও x এর পরিবর্তন এর অনুপাত পরিবরতনশীল হবে। অন্তরীকরণ হল এমন প্রক্রিয়া যা দিয়ে x এর দেওয়া যেকোন মানের জন্য পরিবর্তনের হারের একদম সঠিক মান পাওয়া যায়।
১ থেকে ৩ নং চিত্রের সচিত্র ধারনাটি Δx এর অতিক্ষুদ্র মানের জন্য পরিবর্তনদ্বয়ের অনুপাতের সীমান্ত মান, Δy / Δx বা পরিবর্তনের হার হিসাব করার জন্য প্রতিফলত হয়।
অন্তরজের জন্য দুটি স্বতন্ত্র প্রতীক সাধারণত ব্যাবহার করা হয়, একটি লিবনিজের কাছ থেকে পাওয়া ও অপরটি জোসেফ লুইস ল্যাগ্রাঞ্জ থেকে।
লিবনিজের প্রতীকে, x এর সূক্ষাতিসূক্ষ্ম পরিবরতন কে dx দ্বারা এবং x এর সাপেক্ষে y এর অন্তরজকে লেখা হয়
d
y
d
x
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,\!}
m
=
Δ
f
(
a
)
Δ
a
=
f
(
a
+
h
)
−
f
(
a
)
(
a
+
h
)
−
(
a
)
=
f
(
a
+
h
)
−
f
(
a
)
h
.
{\displaystyle m={\frac {\Delta f(a)}{\Delta a}}={\frac {f(a+h)-f(a)}{(a+h)-(a)}}={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}
f
′
(
a
)
=
lim
h
→
0
f
(
a
+
h
)
−
f
(
a
)
h
.
{\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}
lim
h
→
0
f
(
a
+
h
)
−
f
(
a
)
−
f
′
(
a
)
⋅
h
h
=
0
,
{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)-f'(a)\cdot h}{h}}=0,}
f
(
a
+
h
)
≈
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
h
{\displaystyle f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h}
Q
(
h
)
=
f
(
a
+
h
)
−
f
(
a
)
h
.
{\displaystyle Q(h)={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}
Definition over the hyperreals
সম্পাদনা
f
′
(
3
)
=
lim
h
→
0
f
(
3
+
h
)
−
f
(
3
)
h
=
lim
h
→
0
(
3
+
h
)
2
−
3
2
h
=
lim
h
→
0
9
+
6
h
+
h
2
−
9
h
=
lim
h
→
0
6
h
+
h
2
h
=
lim
h
→
0
(
6
+
h
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}f'(3)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(3+h)-f(3)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(3+h)^{2}-3^{2}}{h}}\\[10pt]&=\lim _{h\to 0}{\frac {9+6h+h^{2}-9}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {6h+h^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}{(6+h)}.\end{aligned}}}
lim
h
→
0
(
6
+
h
)
=
6
+
0
=
6.
{\displaystyle \lim _{h\to 0}{(6+h)}=6+0=6.}
অবিচ্ছিন্নতা ও বিচ্ছিন্নতা
সম্পাদনা
চিহ্নিত বিন্দুতে ফাংশনটির কোন অন্তরজ নেই, যেহেতু সেখনে তা অবিচ্ছিন্ন নয় (প্রকৃতপক্ষে, এটি বিচ্ছিন্নভাবে শুরু হয়েছে) পরমমান ফাংশনটি অবিচ্ছিন্ন কিন্তু x=0 বিন্দুতে অন্তরীকরণযোগ্য নয় কেননা বামদিক ও ডানদিক থেকে স্পর্শকের ডান একই মানে পৌঁছায় না। ফাংশন হিসেবে অন্তরীকরণ
সম্পাদনা
1
↦
2
,
2
↦
4
,
3
↦
6.
{\displaystyle {\begin{aligned}1&{}\mapsto 2,\\2&{}\mapsto 4,\\3&{}\mapsto 6.\end{aligned}}}
D
(
x
↦
1
)
=
(
x
↦
0
)
,
D
(
x
↦
x
)
=
(
x
↦
1
)
,
D
(
x
↦
x
2
)
=
(
x
↦
2
⋅
x
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}D(x\mapsto 1)&=(x\mapsto 0),\\D(x\mapsto x)&=(x\mapsto 1),\\D(x\mapsto x^{2})&=(x\mapsto 2\cdot x).\end{aligned}}}
f
(
x
)
=
{
+
x
2
,
if
x
≥
0
−
x
2
,
if
x
≤
0.
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}+x^{2},&{\text{if }}x\geq 0\\-x^{2},&{\text{if }}x\leq 0.\end{cases}}}
f
′
(
x
)
=
{
+
2
x
,
if
x
≥
0
−
2
x
,
if
x
≤
0.
{\displaystyle f'(x)={\begin{cases}+2x,&{\text{if }}x\geq 0\\-2x,&{\text{if }}x\leq 0.\end{cases}}}
f
(
x
+
h
)
≈
f
(
x
)
+
f
′
(
x
)
h
+
1
2
f
″
(
x
)
h
2
{\displaystyle f(x+h)\approx f(x)+f'(x)h+{\tfrac {1}{2}}f''(x)h^{2}}
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
−
f
′
(
x
)
h
−
1
2
f
″
(
x
)
h
2
h
2
=
0.
{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)-f'(x)h-{\frac {1}{2}}f''(x)h^{2}}{h^{2}}}=0.}
প্রতীক (বিস্তারিত)
সম্পাদনা
d
y
d
x
,
d
f
d
x
(
x
)
,
o
r
d
d
x
f
(
x
)
,
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}},\quad {\frac {df}{dx}}(x),\;\;\mathrm {or} \;\;{\frac {d}{dx}}f(x),}
d
n
y
d
x
n
,
d
n
f
d
x
n
(
x
)
,
o
r
d
n
d
x
n
f
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}},\quad {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}(x),\;\;\mathrm {or} \;\;{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)}
d
2
y
d
x
2
=
d
d
x
(
d
y
d
x
)
.
{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right).}
d
y
d
x
|
x
=
a
=
d
y
d
x
(
a
)
.
{\displaystyle \left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}={\frac {dy}{dx}}(a).}
d
y
d
x
=
d
y
d
u
⋅
d
u
d
x
.
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.}
(
f
′
)
′
=
f
″
{\displaystyle (f')'=f''\,}
(
f
″
)
′
=
f
‴
.
{\displaystyle (f'')'=f'''.}
f
i
v
{\displaystyle f^{\mathrm {iv} }\,\!}
f
(
4
)
.
{\displaystyle f^{(4)}.}
অন্তরীকরনের জন্য নিউটনের প্রতীক কে ডট প্রতীকও বলা হয়, কোন ফাংশনের নামের উপর ডট স্থাপন করার মাধ্যমে অন্তরজ প্রকাশিত হয়। যদি y = f(t) হয়, তাহলে
y
˙
{\displaystyle {\dot {y}}}
y
¨
{\displaystyle {\ddot {y}}}
যথাক্রমে t এর সাপেক্ষে প্রথম ও দ্বিতীয় অন্তরজ নির্দেশ করে।
x
2
+
y
2
=
1
(
x
+
x
˙
)
2
+
(
y
+
y
˙
)
2
=
1
x
2
+
2
x
x
˙
+
x
˙
2
+
y
2
+
2
y
y
˙
+
y
˙
2
=
1
x
2
+
2
x
x
˙
+
y
2
+
2
y
y
˙
=
1
{\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+y^{2}=1\\(x+{\dot {x}})^{2}+(y+{\dot {y}})^{2}=1\\x^{2}+2x{\dot {x}}+{\dot {x}}^{2}+y^{2}+2y{\dot {y}}+{\dot {y}}^{2}=1\\x^{2}+2x{\dot {x}}+y^{2}+2y{\dot {y}}=1\end{aligned}}}
Using the fact that
x
2
+
y
2
=
1
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}
2
x
x
˙
+
2
y
y
˙
=
0
{\displaystyle 2x{\dot {x}}+2y{\dot {y}}=0}
y
˙
x
˙
=
−
2
x
2
y
{\displaystyle {\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}=-{\frac {2x}{2y}}}
y
˙
x
˙
=
−
x
y
{\displaystyle {\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}=-{\frac {x}{y}}}
D
x
y
{\displaystyle D_{x}y\,}
D
x
f
(
x
)
{\displaystyle D_{x}f(x)\,}
নির্ণেয়ের নিয়ম
সম্পাদনা
মৌলিক ফাংশনের জন্য নিয়ম
সম্পাদনা
বেশিরভাগ ফাংশনের অন্তরজ নির্ণেয়ের জন্য কিছু সাধারন ফাংশনের অন্তরজ দরকার পরে। এই অসম্পূর্ণ তালিকায় এক চলকের সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত কিছু ফাংশনের অন্তরজ দেওয়া হল।
f
(
x
)
=
x
r
,
{\displaystyle f(x)=x^{r},}
যেখানে r যেকোন বাস্তব সংখ্যা, তাহলে
f
′
(
x
)
=
r
x
r
−
1
,
{\displaystyle f'(x)=rx^{r-1},}
যেকানে এই ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত। উদাহরণস্বরূপ, যদি
f
(
x
)
=
x
1
/
4
{\displaystyle f(x)=x^{1/4}}
f
′
(
x
)
=
(
1
/
4
)
x
−
3
/
4
,
{\displaystyle f'(x)=(1/4)x^{-3/4},}
এবং অন্তরজ ফাংশন কেবলমাত্র x এর ধনাত্মক মানের জন্য সংজ্ঞায়িত। x=0 এর জন্য নয় যখন r=0. এই নিয়ম এটাই বোঝায় যে x ≠ 0 এর জন্য f′(x) এর মান 0, যা সবসময় ধ্রুব নিয়ম (নীচে বিবৃত)
সূচকীয় ও লগারীদমিক ফাংশনঃ
d
d
x
e
x
=
e
x
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.}
d
d
x
a
x
=
ln
(
a
)
a
x
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}a^{x}=\ln(a)a^{x}.}
d
d
x
ln
(
x
)
=
1
x
,
x
>
0.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}},\qquad x>0.}
d
d
x
log
a
(
x
)
=
1
x
ln
(
a
)
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{a}(x)={\frac {1}{x\ln(a)}}.}
d
d
x
sin
(
x
)
=
cos
(
x
)
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x).}
d
d
x
cos
(
x
)
=
−
sin
(
x
)
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x).}
d
d
x
tan
(
x
)
=
sec
2
(
x
)
=
1
cos
2
(
x
)
=
1
+
tan
2
(
x
)
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan(x)=\sec ^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x).}
বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনঃ
d
d
x
arcsin
(
x
)
=
1
1
−
x
2
,
−
1
<
x
<
1.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},-1<x<1.}
d
d
x
arccos
(
x
)
=
−
1
1
−
x
2
,
−
1
<
x
<
1.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},-1<x<1.}
d
d
x
arctan
(
x
)
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}
সম্পাদনা
f
′
=
0.
{\displaystyle f'=0.\,}
যেকোন ফাংশন f ও g এবং \alpha and \beta কোন বাস্তব সংখ্যা হলে,
(
α
f
+
β
g
)
′
=
α
f
′
+
β
g
′
{\displaystyle (\alpha f+\beta g)'=\alpha f'+\beta g'\,}
যেকোন ফাংশন f ও g এর জন্য
(
f
g
)
′
=
f
′
g
+
f
g
′
{\displaystyle (fg)'=f'g+fg'\,}
. বিশেষ ক্ষেত্রে এই সূত্র
(
α
f
)
′
=
α
f
′
{\displaystyle (\alpha f)'=\alpha f'}
আসলে অন্তর্ভুক্ত করে যখন
α
{\displaystyle \alpha }
একটি ধ্রুবক, কেননা ধুবক সূত্র অনুসারে
α
′
f
=
0
⋅
f
=
0
{\displaystyle \alpha 'f=0\cdot f=0}
.
(
f
g
)
′
=
f
′
g
−
f
g
′
g
2
{\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}}
চেইন সূত্রঃ যদি,
f
(
x
)
=
h
(
g
(
x
)
)
{\displaystyle f(x)=h(g(x))}
f
′
(
x
)
=
h
′
(
g
(
x
)
)
⋅
g
′
(
x
)
.
{\displaystyle f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x).\,}
নির্ণেয়ের উদাহরণ
সম্পাদনা
f
(
x
)
=
x
4
+
sin
(
x
2
)
−
ln
(
x
)
e
x
+
7
{\displaystyle f(x)=x^{4}+\sin(x^{2})-\ln(x)e^{x}+7\,}
এর অন্তরজ
f
′
(
x
)
=
4
x
(
4
−
1
)
+
d
(
x
2
)
d
x
cos
(
x
2
)
−
d
(
ln
x
)
d
x
e
x
−
ln
x
d
(
e
x
)
d
x
+
0
=
4
x
3
+
2
x
cos
(
x
2
)
−
1
x
e
x
−
ln
(
x
)
e
x
.
{\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=4x^{(4-1)}+{\frac {d\left(x^{2}\right)}{dx}}\cos(x^{2})-{\frac {d\left(\ln {x}\right)}{dx}}e^{x}-\ln {x}{\frac {d\left(e^{x}\right)}{dx}}+0\\&=4x^{3}+2x\cos(x^{2})-{\frac {1}{x}}e^{x}-\ln(x)e^{x}.\end{aligned}}}
y
′
(
t
)
=
(
y
1
′
(
t
)
,
…
,
y
n
′
(
t
)
)
.
{\displaystyle \mathbf {y} '(t)=(y'_{1}(t),\ldots ,y'_{n}(t)).}
y
′
(
t
)
=
lim
h
→
0
y
(
t
+
h
)
−
y
(
t
)
h
,
{\displaystyle \mathbf {y} '(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {y} (t+h)-\mathbf {y} (t)}{h}},}
y
1
′
(
t
)
e
1
+
⋯
+
y
n
′
(
t
)
e
n
{\displaystyle y'_{1}(t)\mathbf {e} _{1}+\cdots +y'_{n}(t)\mathbf {e} _{n}}
f
(
x
,
y
)
=
x
2
+
x
y
+
y
2
.
{\displaystyle f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}.\,}
f
(
x
,
y
)
=
f
x
(
y
)
=
x
2
+
x
y
+
y
2
.
{\displaystyle f(x,y)=f_{x}(y)=x^{2}+xy+y^{2}.\,}
x
↦
f
x
,
{\displaystyle x\mapsto f_{x},\,}
f
x
(
y
)
=
x
2
+
x
y
+
y
2
.
{\displaystyle f_{x}(y)=x^{2}+xy+y^{2}.\,}
f
a
(
y
)
=
a
2
+
a
y
+
y
2
.
{\displaystyle f_{a}(y)=a^{2}+ay+y^{2}.\,}
f
a
′
(
y
)
=
a
+
2
y
.
{\displaystyle f_{a}'(y)=a+2y.\,}
∂
f
∂
y
(
x
,
y
)
=
x
+
2
y
.
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=x+2y.}
∂
f
∂
x
i
(
a
1
,
…
,
a
n
)
=
lim
h
→
0
f
(
a
1
,
…
,
a
i
+
h
,
…
,
a
n
)
−
f
(
a
1
,
…
,
a
i
,
…
,
a
n
)
h
.
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i}+h,\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{n})}{h}}.}
f
a
1
,
…
,
a
i
−
1
,
a
i
+
1
,
…
,
a
n
(
x
i
)
=
f
(
a
1
,
…
,
a
i
−
1
,
x
i
,
a
i
+
1
,
…
,
a
n
)
,
{\displaystyle f_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}(x_{i})=f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n}),}
d
f
a
1
,
…
,
a
i
−
1
,
a
i
+
1
,
…
,
a
n
d
x
i
(
a
i
)
=
∂
f
∂
x
i
(
a
1
,
…
,
a
n
)
.
{\displaystyle {\frac {df_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}}{dx_{i}}}(a_{i})={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n}).}
∇
f
(
a
)
=
(
∂
f
∂
x
1
(
a
)
,
…
,
∂
f
∂
x
n
(
a
)
)
.
{\displaystyle \nabla f(a)=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a),\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\right).}
নির্দেশমূলক অন্তরজ
সম্পাদনা
v
=
(
v
1
,
…
,
v
n
)
.
{\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n}).}
D
v
f
(
x
)
=
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
v
)
−
f
(
x
)
h
.
{\displaystyle D_{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.}
f
(
x
+
(
k
/
λ
)
(
λ
u
)
)
−
f
(
x
)
k
/
λ
=
λ
⋅
f
(
x
+
k
u
)
−
f
(
x
)
k
.
{\displaystyle {\frac {f(\mathbf {x} +(k/\lambda )(\lambda \mathbf {u} ))-f(\mathbf {x} )}{k/\lambda }}=\lambda \cdot {\frac {f(\mathbf {x} +k\mathbf {u} )-f(\mathbf {x} )}{k}}.}
D
v
f
(
x
)
=
∑
j
=
1
n
v
j
∂
f
∂
x
j
.
{\displaystyle D_{\mathbf {v} }{f}({\boldsymbol {x}})=\sum _{j=1}^{n}v_{j}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}.}
f
(
a
+
v
)
≈
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
v
.
{\displaystyle f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )\approx f(\mathbf {a} )+f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} .}
f
(
a
+
v
)
−
f
(
a
)
≈
f
′
(
a
)
v
.
{\displaystyle f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )-f(\mathbf {a} )\approx f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} .}
f
(
a
+
v
+
w
)
−
f
(
a
+
v
)
−
f
(
a
+
w
)
+
f
(
a
)
≈
f
′
(
a
+
v
)
w
−
f
′
(
a
)
w
.
{\displaystyle f(\mathbf {a} +\mathbf {v} +\mathbf {w} )-f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )-f(\mathbf {a} +\mathbf {w} )+f(\mathbf {a} )\approx f'(\mathbf {a} +\mathbf {v} )\mathbf {w} -f'(\mathbf {a} )\mathbf {w} .}
0
≈
f
(
a
+
v
+
w
)
−
f
(
a
+
v
)
−
f
(
a
+
w
)
+
f
(
a
)
=
(
f
(
a
+
v
+
w
)
−
f
(
a
)
)
−
(
f
(
a
+
v
)
−
f
(
a
)
)
−
(
f
(
a
+
w
)
−
f
(
a
)
)
≈
f
′
(
a
)
(
v
+
w
)
−
f
′
(
a
)
v
−
f
′
(
a
)
w
.
{\displaystyle {\begin{aligned}0&\approx f(\mathbf {a} +\mathbf {v} +\mathbf {w} )-f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )-f(\mathbf {a} +\mathbf {w} )+f(\mathbf {a} )\\&=(f(\mathbf {a} +\mathbf {v} +\mathbf {w} )-f(\mathbf {a} ))-(f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )-f(\mathbf {a} ))-(f(\mathbf {a} +\mathbf {w} )-f(\mathbf {a} ))\\&\approx f'(\mathbf {a} )(\mathbf {v} +\mathbf {w} )-f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} -f'(\mathbf {a} )\mathbf {w} .\end{aligned}}}
lim
h
→
0
f
(
a
+
h
)
−
f
(
a
)
−
f
′
(
a
)
h
h
=
0.
{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)-f'(a)h}{h}}=0.}
lim
h
→
0
|
f
(
a
+
h
)
−
f
(
a
)
−
f
′
(
a
)
h
|
|
h
|
=
0
{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {|f(a+h)-f(a)-f'(a)h|}{|h|}}=0}
lim
h
→
0
‖
f
(
a
+
h
)
−
f
(
a
)
−
f
′
(
a
)
h
‖
‖
h
‖
=
0.
{\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to 0}{\frac {\lVert f(\mathbf {a} +\mathbf {h} )-f(\mathbf {a} )-f'(\mathbf {a} )\mathbf {h} \rVert }{\lVert \mathbf {h} \rVert }}=0.}
f
′
(
a
)
=
Jac
a
=
(
∂
f
i
∂
x
j
)
i
j
.
{\displaystyle f'(\mathbf {a} )=\operatorname {Jac} _{\mathbf {a} }=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right)_{ij}.}
f
(
a
+
h
)
≈
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
h
.
{\displaystyle f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h.}
D
k
f
:
R
n
→
L
k
(
R
n
×
⋯
×
R
n
,
R
m
)
{\displaystyle D^{k}f:\mathbb {R} ^{n}\to L^{k}(\mathbb {R} ^{n}\times \cdots \times \mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{m})}
f
(
x
)
≈
f
(
a
)
+
(
D
f
)
(
x
)
+
(
D
2
f
)
(
Δ
(
x
−
a
)
)
+
⋯
=
f
(
a
)
+
(
D
f
)
(
x
−
a
)
+
(
D
2
f
)
(
x
−
a
,
x
−
a
)
+
⋯
=
f
(
a
)
+
∑
i
(
D
f
)
i
(
x
−
a
)
i
+
∑
j
,
k
(
D
2
f
)
j
k
(
x
−
a
)
j
(
x
−
a
)
k
+
⋯
{\displaystyle {\begin{aligned}f(\mathbf {x} )&\approx f(\mathbf {a} )+(Df)(\mathbf {x} )+(D^{2}f)(\Delta (\mathbf {x-a} ))+\cdots \\&=f(\mathbf {a} )+(Df)(\mathbf {x-a} )+(D^{2}f)(\mathbf {x-a} ,\mathbf {x-a} )+\cdots \\&=f(\mathbf {a} )+\sum _{i}(Df)_{i}(\mathbf {x-a} )^{i}+\sum _{j,k}(D^{2}f)_{jk}(\mathbf {x-a} )^{j}(\mathbf {x-a} )^{k}+\cdots \end{aligned}}}
অন্তরজের ব্যবহার
Automatic differentiation
Differentiability class
অন্তরীকরনের নিয়ম
Differintegral
Fractal derivative
Generalizations of the derivative
Hasse derivative
History of calculus
যোগজ
Infinitesimal
Linearization
গানিতিক বিশ্লেষণ
Multiplicative inverse
Numerical differentiation
Radon–Nikodym theorem
প্রতিসম অন্তরজ
Schwarzian derivative
↑ Differential calculus, as discussed in this article, is a very well established mathematical discipline for which there are many sources.
![{\displaystyle {\begin{aligned}f'(3)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(3+h)-f(3)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(3+h)^{2}-3^{2}}{h}}\\[10pt]&=\lim _{h\to 0}{\frac {9+6h+h^{2}-9}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {6h+h^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}{(6+h)}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c937146572a5443c648de2852705afc883b35599)
