ব্যবকলনীয় বিয়াংকী অভেদকে সংক্ষেপে লেখলে(contraction) দাঁড়ায়,
![{\displaystyle R_{\alpha \beta [\gamma \delta ;\varepsilon ]}=\,0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9148435aefd0141d9020d31503eed18bd9adf899)
মেট্রিক টেনসরের কোভ্যারিয়েন্ট হিসেবে ধ্রুব থাকার ধর্মকে ব্যবহার করে, যেমনgαβ;γ = 0,
![{\displaystyle R^{\gamma }{}_{\beta \gamma \delta ;\varepsilon }+\,R^{\gamma }{}_{\beta \varepsilon \gamma ;\delta }+\,R^{\gamma }{}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }=\,0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91a61c4ca5bb0a308078fb3ded344805f43dd11a)
রীম্যান টেনসরের এই বিপরীত প্রতিসাম্যতা উপরের রাশিমালার দ্বিতীয় পদকে এভাবে লেখার অনুমোদন দেয়ঃ
![{\displaystyle R^{\gamma }{}_{\beta \gamma \delta ;\varepsilon }\,-R^{\gamma }{}_{\beta \gamma \varepsilon ;\delta }\,+R^{\gamma }{}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }\,=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ed81cd2134facfbedc918242fc9dba9a7926db3)
যা নিচের রাশিমালার সমতূল্য
![{\displaystyle R_{\beta \delta ;\varepsilon }\,-R_{\beta \varepsilon ;\delta }\,+R^{\gamma }{}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }\,=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d2fd41c6b5eeb2aa623715dfca9e633e637be4a)
রিক্কি টেনসরের সংজ্ঞা ব্যবহার করে
অতঃপর, মেট্রিকটিকে আবার সংক্ষেপণ করে,
![{\displaystyle g^{\beta \delta }(R_{\beta \delta ;\varepsilon }\,-R_{\beta \varepsilon ;\delta }\,+R^{\gamma }{}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma })\,=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf04ba962bd02bdaabfa05ebf46764620b96ffb8)
এটা পেতে,
![{\displaystyle R^{\delta }{}_{\delta ;\varepsilon }\,-R^{\delta }{}_{\varepsilon ;\delta }\,+R^{\gamma \delta }{}_{\delta \varepsilon ;\gamma }\,=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ad25b9220205c198c8d56f50d7af6b51e8f4e3a)
রিক্কি কার্ভেচার টেনসর এবং স্কেলার কার্ভেচার তখন দেখায়,
![{\displaystyle R_{;\varepsilon }\,-2R^{\gamma }{}_{\varepsilon ;\gamma }\,=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbadcfd4da4fbf62cc0138750cf965150759f8cd)
যাকে লেখা যেতে পারে
![{\displaystyle (R^{\gamma }{}_{\varepsilon }\,-{\frac {1}{2}}g^{\gamma }{}_{\varepsilon }R)_{;\gamma }\,=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adbaef6ac39c09920b1e3dd1c00014d0fed37697)
gεδ এর চূড়ান্ত কন্ট্র্যাকশন করলে আমরা পাই,
![{\displaystyle (R^{\gamma \delta }\,-{\frac {1}{2}}g^{\gamma \delta }R)_{;\gamma }\,=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df2020dabb03a737e9f784d67707add1b4cf2f4f)
যা, সূচকগুলো সামান্য পুনর্লিখনের পর, ব্র্যাকেটের ভেতরের পদের প্রতিসাম্যতা এবং আইনস্টাইন টেনসরের সংজ্ঞানুসারে, আমাদের দেয়,
![{\displaystyle G^{\alpha \beta }{}_{;\beta }\,=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0834ca432c87222f466e81c5c7c4241fff7e49de)
ইএফই ব্যবহার করলে, তাৎক্ষণিকভাবে আমরা পাই,
![{\displaystyle \nabla _{\beta }T^{\alpha \beta }\,=T^{\alpha \beta }{}_{;\beta }\,=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7fc71faa85be91b47e27cfa8d8d91c735e92053)
|