বীজগাণিতিক সংখ্যাতত্ত্ব: সংশোধিত সংস্করণের মধ্যে পার্থক্য
বিষয়বস্তু বিয়োগ হয়েছে বিষয়বস্তু যোগ হয়েছে
ট্যাগ: মোবাইল সম্পাদনা মোবাইল ওয়েব সম্পাদনা |
ট্যাগ: মোবাইল সম্পাদনা মোবাইল ওয়েব সম্পাদনা |
||
৫৮ নং লাইন:
পূর্ণ সংখ্যার বলয়ের একটি গুরুত্বপূর্ণ ধর্ম হলো, এটি [[পাটীগণিতে মৌলিক উপপাদ্য]]কে সমর্থন করে, যা বলে যে, প্রতিটি ধনাত্মক [[পূর্ণ সংখ্যা]]রই এক বা একাধিক [[মৌলিক সংখ্যা]]র গুণিতক রয়েছে এবং এই গুণিতকগুলির ক্রম ঐ আলাদা আলাদা পূর্ণ সংখ্যার ক্ষেত্রে অনন্য হয়৷ এই বিবৃতি {{math|''O''}} পূর্ণ সংখ্যার বলয় ক্রমের {{math|''K''}} বীজগাণিতিক ক্ষেত্রের জন্য প্রযোজ্য হয় না৷
{{math|''O''}} ক্রমের একটি ''মৌলিক উপাদান'' {{math|''p''}} হলো এমন একটি সংখ্যা, যদি {{math|''p''}}কে দিয়ে একটি সংখ্যা {{math|''ab''}}কে ভাগ করা হয় তবে ঐ ভাগের ভাগফল হিসাবে {{math|''a''}} অথবা {{math|''b''}} অথবা যেকোনো একটির সাধারণ গুণনীয়ক পাওয়া যাবে৷ এই ধর্মটি পূর্ণ সংখ্যার আদ্যত্ব ধর্মের সাথে বিশেষ সম্পর্কযুক্ত কারণ যেকোনো ধনাত্মক সংখ্যার গুণনীয়ক হিসাবে যদি {{math|১}} বা ঐজাতীয় কোনো মৌলিক সংখ্যাকে ধরলে তবে যেকোনো ধনাত্মক সংখ্যার ক্ষেত্রে এই নিয়মটি প্রযোজ্য হবে৷ যদিও এটি অন্যান্য মৌলিক সংখ্যার ক্ষেত্রে ততটা কার্যকরী নয়৷ উদাহরণ স্বরূপ বলা যায় ঋণাত্মক সংখ্যা হওয়ার কারণে {{math|−২}} কখনোই মৌলিক সংখ্যা নয়, কিন্তু অবশ্যই এটি একটি মৌলিক উপাদান৷ যদি মৌলিক সংখ্যাগুলির ভগ্নাংশকরণ বা একাধিক গুণফলে ভাগ করাকে মান্যতা দেওয়া হয় তবে, পূর্ণ সংখ্যাগুলির ক্ষেত্রেও একাধিক ভিন্ন ধরণের ফল পাওয়া যাবে, যেমন
: <math>৬ = ২ \cdot ৩ = (-২) \cdot (-৩).</math>
সাধারণভাবে বলা যায়, যদি {{math|''u''}}কে একটি একক রাশি হিসাবে ধরা হয় বা {{math|''O''}}র একটি গুণক অন্যোন্যক হিসাবে প্রকাশ হয় এবং {{math|''p''}} যদি মৌলিক সংখ্যার সেট হয় তবে {{math|''up''}} গুণফলটিও অবশ্যই একটি মৌলিক সংখ্যা হিসাবে গণ্য হবে৷ এক্ষেত্রে {{math|''p''}} এবং {{math|''up''}} এর অঙ্কসংখ্যাগুলিকে পরষ্পরের সহযোগী সেট বলে ধরা হবে৷ পূর্ণ সংখ্যাগুলির মধ্যে {{math|''p''}} এবং {{math|−''p''}} ও সহযোগী সেট কিন্তু শর্তানুসারে সেটগুলির মধ্যে যে কোনো একটি সেটকে পুরোপুরি ধনাত্মক হতে হবে৷ পূর্ণ সংখ্যাগুলির ধনাত্মক হওয়ার সাথে সাথে সহযোগী সেটগুলির মধ্যে থাকা সহযোগী সংখ্যাগুলি একটি অনন্য উপাদান তৈরী করে৷ যখন ''K'' সেটটি মূলদ সংখ্যাকে নির্দেশ করে না করলে সেটে ধনাত্মকতার কোনো প্রশ্নই তৈরী হয় না৷ উদাহরণস্বরূপ [[গাউসীয় পূর্ণ সংখ্যা]] {{math|'''Z'''[''i'']}}-তে {{math|১ + ২''i''}} এবং {{math|−২ + ''i''}} অঙ্কসমষ্টি পরষ্পরের সহযোগী কারণ পূর্ববর্তী অঙ্কসংখ্যার সাথে {{math|''i''}} এর গুণফলের ফলস্বরূপ দ্বিতীয় সংখ্যাটি পাওয়া যায় কিন্তু দুটির মধ্যে উভয়ই শর্তসম্মত হওয়ার কারণে কোনটি কার সহযোগী অঙ্ক তা নির্ণয় করা সম্ভব নয়৷ সমীকরণের দ্বারা প্রকাশ করে পাওয়া যায়
:<math>৫ = (১ + ২i)(১ - ২i) = (২ + i)(২ - i),</math>
এই সমীকরণসূত্রটি প্রমাণ করে যে, {{math|'''Z'''[''i'']}}-এর গুণকগুলি ফ্যাক্টরের ঘাত নির্ভর এবং এর ওপর ভিত্তি করেই অনন্য৷ একারণেই অনন্য গুণকের শর্তক্ষেত্রই একমাত্র অনন্য গুণক নির্দেশ করে, অন্যান্য বৈশিষ্ট্যগুলি সবসময় মেলে না৷ অনন্য গুণকের সেটে গুণকসমন্বিত মৌলিক সংখ্যাগুলি কেবলমাত্র তাদের মান ও ঘাতের ওপর ভিত্তি করে অনন্য হয়৷
==তথ্যসূত্র==
| |||