হিলবার্ট জগৎ: সংশোধিত সংস্করণের মধ্যে পার্থক্য

[[আধুনিক গণিত|আধুনিক গণিতের]] একটা গুরুত্বপূর্ণ অন্তর্দৃষ্টি হচ্ছে ইউক্লিডীয় জ্যামিতির বিভিন্ন ধারণা অন্য অনেক [[গাণিতিক সমস্যা|সমস্যা]] সমাধানের কাজে ব্যবহার করা যায়। যেসব সমস্যা অনেকসময় এমনকি কোন ধরণের জ্যামিতি থেকেও উৎসারিত নয়, সেগুলিও। হিলবার্ট জগতের মৌলিক উপাদান হচ্ছে [[ভেক্টর|ভেক্টরের]] [[গাণিতিক বিমূর্তায়ন|বিমূর্ত ধারণা]]; যতক্ষণ এসব ভেক্টরে হিলবার্ট জগতের স্বীকার্যসমূহ মেনে চলে ততক্ষণ তাদের প্রকৃতি এখানে গুরুত্বপূর্ণ। যেমন হয়ত কোন এক ধরনের হিলবার্ট জগতের ভেক্টরসমূহ আসলে অনেকগুলি ফাংশনের একটা [[ধারা (গণিত)|ধারা]]। এখানে (হিলবার্ট জগতে) এসব বিমূর্ত ভেক্টরকে পরস্পর যোগ করা যায়। কোন একটা স্কেলার দিয়ে গুনগুণ করা যায়। অথবা পরস্পরের সাথে [[ডট গুণন]] করা যায়। অর্থাৎ এই [[স্কেলার গুননগুণন]], [[ডট গুননগুণন]] এবং [[যোগ]] অপারেশন তিনটি তাদের জন্য সংজ্ঞায়িত। হিলবার্ট জগতের এইসব বীজগাণিতিক অপারেশনের কিছু পরিচিত বৈশিষ্ট্য হচ্ছে এরা [[বিনিময় বিধি|বিনিমেয়]] এবং [[বন্টন বিধি|বন্টনযোগ্য]]। এছাড়াও [[সম্পূর্ণতা|সম্পূর্ণতার]] কারিগরি প্রয়োজনীয়োতা নিশ্চিত করে যে এই জগতে নির্দিষ্ট [[সীমা (গণিত)|সীমার]] অস্তিত্ব আছে। এই শেষ প্রয়োজনীয়তাটি [[সসীম মাত্রিক]] [[অন্তঃগুণজ জগতের]] জন্য এমনিতেই সবসময় সত্য হয়। কিন্তু অন্যান্য আরো অনেক [[গাণিতিক সাধারনীকরণ|সাধারণ]] ক্ষেত্রে (যেমন [[অসীম মাত্রিক]] , [[ফাংশনাল জগৎ]], ইত্যাদিতে) এটিকে একটা অতিরিক্ত স্বীকার্য হিসাবে ধরে নেওয়া হয়।