গণিতের ভিত্তি: সংশোধিত সংস্করণের মধ্যে পার্থক্য

'''গণিতের ভিত্তি''' ([[ইংরেজি]]: Foundations of mathematics) বলতে গণিতের সেই শাখাকে বোঝায় যেখানে প্রাথমিক গাণিতিক ধারণাসমূহকে (যেমন - সংখ্যা, পরিমাণ, আকৃতি, সেট, ইত্যাদি) কিছু মৌলিক ধারণার স্তরক্রমে (hierarchy of fundamental concepts) বিন্যস্ত করা হয়, কী ভাবে স্বতঃসিদ্ধ নির্মাণ ও গাণিতিক প্রমাণ সম্পাদন করতে হয়, তার নিয়মগুলো খুঁজে বের করা হয়, এবং এগুলো যে বিধিগত ব্যবস্থার (formal system) অন্তর্গত, তার বৈশিষ্ট্য ও সীমা নিয়ে আলোচনা করা হয়। বর্তমান গণিতের কিছু শাখা, যেমন - [[গাণিতিক যুক্তিবিজ্ঞান]], [[স্বতঃসিদ্ধমূলক সেট তত্ত্ব]], [[প্রমাণ তত্ত্ব]], [[মডেল তত্ত্ব]], [[পুনরাবৃত্তি তত্ত্ব]] (recursion theory) ইত্যাদিকে একত্রে "গণিতের ভিত্তি" নামে ডাকা হয়।

যদি রাসেল ও হোয়াইটহেডের এই কাজ সম্পূর্ণ সফল হত, তাহলে এটি গণিতে কূটাভাসের আবির্ভাব সম্পূর্ণ বন্ধ করে দিতে সক্ষম হত। কিন্তু লেখকদ্বয় গণিত নির্মাণ করতে গিয়ে এমন একটি স্বতঃসিদ্ধের আশ্রয় নিতে বাধ্য হলেন যেটি সন্তোষজনক ছিল না (unsatifactory)। তাঁরা প্রকার বা টাইপের সংজ্ঞা দিতে গিয়ে বললেন কোন সেট তার উপাদানগুলো যে টাইপের অন্তর্গত, তার চেয়ে উচ্চতর টাইপের অন্তর্ভুক্ত। এর ফলে কিছু কূটাভাস দূর হলেও অন্য ধরনের সমস্যা দেখা দিল। যেমন মূলদ সংখ্যার তত্ত্ব থেকে বাস্তব সংখ্যার তত্ত্ব তৈরি করতে গিয়ে দেখা গেল বাস্তব সংখ্যার তত্ত্ব অত্যন্ত জটিল হয়ে পড়ে। এই জটিলতা নিরসন করতে গিয়ে রাসেল axiom of reducibility প্রস্তাব করলেন, কিন্তু তিনি নিজেই এই স্বতঃসিদ্ধটি নিয়ে সন্তুষ্ট ছিলেন না। এছাড়া রাসেলের প্রস্তাবিত axiom of infinity এবং axiom of choice-ও সমস্যাসঙ্কুল প্রতিভাত হয়। যাই হোক, এই বইয়ে উল্লিখিত যুক্তিবিজ্ঞান ও এই বইয়ের ওপর ভিত্তি করে করে র‌্যামসের উদ্ভাবিত টাইপ তত্ত্ব এখনও গণিতের একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয়।