বায়েসের উপপাদ্য

সম্ভাবনা তত্ত্ব এবং পরিসংখ্যানে, থমাস বায়েসের নামানুসারে বায়েসের উপপাদ্য (অথবা বায়েসের সূত্র বা বায়েসের নিয়ম ), কোনো একটি ঘটনার সাথে সম্পর্কিত হতে পারে এরকম জানা ঘটনার অধীনে ঐ ঘটনার সম্ভাবনা বর্ণনা করে। উদাহরণস্বরূপ, যদি বয়সের সাথে সাথে স্বাস্থ্য সমস্যা হওয়ার ঝুঁকি বাড়তে পারে বলে জানা যায়, তবে বায়েসের উপপাদ্য একজন জানা বয়সের ব্যক্তির স্বাস্থ্য ঝুঁকিকে তার বয়স অনুযায়ী শর্তাধীন করে আরও সঠিকভাবে মূল্যায়ন করার অনুমতি দেয়, এই ধারণা করে না যে ব্যক্তির ঘটনাটি সমগ্র জনসংখ্যার মধ্যে সাধারণ ঘটনা।

বায়েসের উপপাদ্যের অনেকগুলো প্রয়োগের মধ্যে একটি হলো বায়েসীয় অনুমান, যা পরিসংখ্যানগত অনুমানের একটি বিশেষ পদ্ধতি। এটি প্রয়োগ করার ক্ষেত্রে লক্ষণীয় যে, এই উপপাদ্যের সাথে জড়িত ঘটনা ঘটার সম্ভাবনার বিভিন্ন ব্যাখ্যা থাকতে পারে। বায়েসীয় সম্ভাবনা ব্যাখ্যার পাশাপাশি উপপাদ্যটি প্রকাশ করে যে কীভাবে বিশ্বাসের একটি মাত্রা সম্ভাবনা হিসেবে প্রকাশ করা যায়। তাছাড়া সম্পর্কিত প্রমাণের প্রাপ্যতার জন্য যুক্তিযুক্তভাবে শর্তসমূহ পরিবর্তন করা উচিত। বায়েসিয়ান পরিসংখ্যানের জন্য বায়েসিয়ান ইনফারেন্স অত্যাবশ্যকীয় তথা মৌলিক নিয়ম। এটিকে "সম্ভাবনা তত্ত্বে জ্যামিতিতে পিথাগোরাসের উপপাদ্য-এর সমতুল্য" বলে মনে করা হয়।

বায়েসের সূত্রের ওপর ভিত্তি করে একটি নির্দিষ্ট জনসংখ্যায় একটি রোগের প্রাদুর্ভাব এবং একটি সংক্রামক রোগ পরীক্ষার ত্রুটির হার উভয়ই বিবেচনায় নিতে হবে যাতে একটি ইতিবাচক পরীক্ষার ফলাফলের অর্থ সঠিকভাবে মূল্যায়ন করা যায় এবং যাতে করে বেস-রেট ফ্যালাসি এড়ানো যায়।

উপপাদ্যের বিবৃতি

বায়েসের উপপাদ্যটি গাণিতিকভাবে নিম্নলিখিত সমীকরণ হিসাবে বর্ণনা করা হয়:

{\displaystyle P(A\vertB)={\frac{P(B\vertA)P(A)}{P(B)}}}

বায়েসের উপপাদ্যের গাণিতিক রূপ

যেখানে $A$ এবং $B$ হলো ঘটনা এবং $P(B)\neq 0$ .

• $P(A\vert B)$ একটি শর্তাধীন সম্ভাবনা : একটি ঘটনার সম্ভাবনা $A$ হবে এই শর্তে যদি $B$ সত্য হয়।
• $P(B\vert A)$ -ও একটি শর্তাধীন সম্ভাবনা: একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা $B$ হবে এই শর্তে যদি $A$ সত্য হয়।
• $P(A)$ এবং $P(B)$ হলো কোনো শর্ত ছাড়াই $A$ এবং $B$ ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা ; যেটি পূর্ব সম্ভাবনা এবং প্রান্তিক সম্ভাবনা হিসাবে পরিচিত।

প্রমাণ

কোনো ঘটনার জন্য

বায়েসের উপপাদ্যটি শর্তাধীন সম্ভাবনার সংজ্ঞা থেকে উদ্ভূত হতে পারে:

$P(A\vert B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}},{\text{ if }}P(B)\neq 0,$

যেখানে $P(A\cap B)$ হলো A এবং B উভয়েরই সত্য হওয়ার সম্ভাবনা। একইভাবে,

$P(B\vert A)={\frac {P(A\cap B)}{P(A)}},{\text{ if }}P(A)\neq 0.$

$P(A\cap B)$ এর জন্য সমাধান করে এবং $P(A\vert B)$ রাশিতে প্রতিস্থাপন করে বায়েসের উপপাদ্য পাওয়া যায়:

$P(A\vert B)={\frac {P(B\vert A)P(A)}{P(B)}},{\text{ if }}P(B)\neq 0.$

নিরবচ্ছিন্ন দৈব চলকের জন্য

দুটি অবিচ্ছিন্ন দৈব চলক X এবং Y-এর জন্য, বায়েসের উপপাদ্যটি শর্তাধীন ঘনত্বের সংজ্ঞা থেকে প্রাপ্ত হতে পারে:

$f_{X\vert Y=y}(x)={\frac {f_{X,Y}(x,y)}{f_{Y}(y)}}$

$f_{Y\vert X=x}(y)={\frac {f_{X,Y}(x,y)}{f_{X}(x)}}$

অতএব,

$f_{X\vert Y=y}(x)={\frac {f_{Y\vert X=x}(y)f_{X}(x)}{f_{Y}(y)}}.$