ফেকেটে সমস্যা

গণিতে, ফেকেটে সমস্যা হল, একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা N এবং একটি বাস্তব s ≥ 0 বিন্দু দেওয়া হলে, ২-গোলকের উপর x₁,...,x_N বিন্দুগুলিকে এমনভাবে নির্ধারণ করা, যাতে s-শক্তি (যা নিম্নলিখিতভাবে সংজ্ঞায়িত):

\sum _{1\leq i<j\leq N}\|x_{i}-x_{j}\|^{-s}

s > 0 এর জন্য এবং

\sum _{1\leq i<j\leq N}\log \|x_{i}-x_{j}\|^{-1}

s জন্য = 0, সর্বনিম্ন হয়। s > 0-এর ক্ষেত্রে এই ধরনের বিন্দুগুলোকে s-ফেকেটে বিন্দু বলা হয় এবং, এবং s = 0-এর ক্ষেত্রে তাদের বলা হয় লগারিদমিক ফেকেটে বিন্দু (দেখুন সাফ & কুইজলারস (১৯৯৭) )। এই সমস্যাটি আরও বিস্তৃতভাবে d- মাত্রার গোলক বা রিম্যানীয় বহুপৃষ্ঠ-এর ক্ষেত্রেও বিবেচনা করা যায় (এ ক্ষেত্রে || x _i − x _j || x _i এবং x _j এর মধ্যবর্তী রিম্যানীয় দূরত্ব দিয়ে প্রতিস্থাপন করা হয়)।

এই সমস্যার সূচনা মাইকেল ফেকেটে (১৯২৩) একটি গবেষণাপত্রে উদ্ভূত হয়েছিল, যেখানে তিনি একমাত্রিক ক্ষেত্রে, s = 0-এর সমস্যাটি সমাধান করেন। এটি ইসাই শুর-এর করা একটি প্রশ্নের উত্তর ছিল।

ফেকেটে সমস্যার একটি অ্যালগরিদমিক সংস্করণ স্মেল (১৯৯৮)-এর সমস্যার তালিকায় ৭ নম্বরে অন্তর্ভুক্ত।

তথ্যসূত্র

Bendito, E.; Carmona, A.; Encinas, A. M.; Gesto, J. M.; Gómez, A.; Mouriño, C.; Sánchez, M. T. (২০০৯), "Computational cost of the Fekete problem. I. The forces method on the 2-sphere", Journal of Computational Physics, 228 (9), পৃষ্ঠা 3288–3306, আইএসএসএন 0021-9991, এমআর 2513833, ডিওআই:10.1016/j.jcp.2009.01.021, বিবকোড:2009JCoPh.228.3288B
Fekete, M. (১৯২৩), "Über die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten" , Mathematische Zeitschrift, 17 (1), পৃষ্ঠা 228–249, আইএসএসএন 0025-5874, এমআর 1544613, এসটুসিআইডি 186223729, ডিওআই:10.1007/BF01504345
Saff, E. B.; Kuijlaars, A. B. J. (১৯৯৭)। "Distributing many points on a sphere": 5–11। এমআর 1439152। ডিওআই:10.1007/BF03024331।
Smale, Stephen (১৯৯৮), "Mathematical problems for the next century", The Mathematical Intelligencer, 20 (2), পৃষ্ঠা 7–15, আইএসএসএন 0343-6993, এমআর 1631413, এসটুসিআইডি 1331144, ডিওআই:10.1007/BF03025291