উইকিপিডিয়া

ফের্মার শেষ উপপাদ্য

গাণিতিক উপপাদ্য
(ফার্মার শেষ তত্ত্ব থেকে পুনর্নির্দেশিত)

ফার্মার শেষ উপপাদ্য

সম্পাদনা

সংখ্যাতত্ত্বে, ফার্মার শেষ উপপাদ্য (কখনও কখনও "ফার্মার অনুমান"ও বলা হয়) অনুসারে, an + bn = cn সমীকরণে তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা a, b, এবং c সম্ভব নয় যখন n>2 ।

 
১৬৭০ সালের Diophantus-এর Arithmetica গ্রন্থের সংস্করণে ফার্মার টীকা অন্তর্ভুক্ত রয়েছে, যা তাঁর "শেষ উপপাদ্য" (Observatio Domini Petri de Fermat) নামে পরিচিত। এটি তাঁর পুত্রের মাধ্যমে মরণোত্তর প্রকাশিত হয়।

ফার্মার শেষ উপপাদ্যের প্রস্তাবটি সর্ব প্রথম ১৬৩৭ সালের দিকে পিয়ের দ্য ফার্মা অ্যারিথমেটিকা নামক গ্রন্থের এক প্রান্তে উপপাদ্য হিসেবে উল্লেখ করেছিলেন। তিনি যোগ করেন যে, তার নিকট একটি সহজ প্রমাণ রয়েছে তবে বইয়ের প্রান্তটি তা লিখে রাখার জন্য যথেষ্ট নয়। ফার্মা অন্যান্য অনেক গাণিতিক প্রস্তাবও উপস্থাপন করেছিলেন, যেগুলোর প্রমাণ তিনি দেননি; পরবর্তীতে এগুলো প্রমাণিত হয়েছে এবং ফার্মার নামে পরিচিতি লাভ করেছে (যেমন, ফার্মার দুই বর্গের যোগের উপপাদ্য)। তবে, ফার্মার শেষ উপপাদ্য দীর্ঘদিন প্রমাণিত না হওয়ায় সন্দেহ জাগে যে, ফার্মার কাছে সত্যিই এটির সঠিক প্রমাণ ছিল কি না। এই কারণে প্রস্তাবনাটি উপপাদ্য হিসেবে না থেকে "অনুমান" (Conjecture) নামে পরিচিত হয়।

৩৫৮ বছর ধরে গণিতবিদদের প্রচেষ্টার পর, প্রথম সফল প্রমাণটি ১৯৯৪ সালে অ্যান্ড্রু ওয়াইলস প্রকাশ করেন এবং এটি আনুষ্ঠানিকভাবে ১৯৯৫ সালে প্রকাশিত হয়। ২০১৬ সালে আবেল পুরস্কারের জন্য ওয়াইলসের প্রশংসাপত্রে একে "একটি চমকপ্রদ অগ্রগতি"[১] হিসেবে বর্ণনা করা হয়। এই প্রমাণটি তানিয়ামা-শিমুরা অনুমান (পরে যা "মডুলারিটি উপপাদ্য" নামে পরিচিত) প্রমাণ করার পথও খুলে দেয় এবং অনেক অন্যান্য সমস্যার সমাধানে নতুন পদ্ধতি ও শক্তিশালী মডুলারিটি লিফটিং কৌশল উদ্ভাবনের সুযোগ তৈরি করে।

এই সমস্যাটি ১৯শ ও ২০শ শতাব্দীতে বীজগাণিতিক সংখ্যা তত্ত্বের উন্নয়নে গুরুত্বপূর্ণ প্রভাব ফেলে। এটি গণিতের ইতিহাসে অন্যতম গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্যগুলোর একটি এবং প্রমাণিত হওয়ার আগে এটি গিনেস বুক অব ওয়ার্ল্ড রেকর্ডস-এ "সবচেয়ে কঠিন গাণিতিক সমস্যা" হিসেবে তালিকাভুক্ত ছিল, কারণ এই উপপাদ্যটি প্রমাণ করার প্রচেষ্টায় গণিতবিদরা সর্বাধিক ব্যর্থ প্রমাণ পেশ করেছেন।[২]

পর্যালোচনা

সম্পাদনা

পিথাগোরাস এবং ডায়োফ্যান্টাস

সম্পাদনা

পিথাগোরীয় ত্রয়ী

সম্পাদনা

প্রাচীনকালে জানা ছিল যে একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের অনুপাত ৩:৪:৫ হলে তার একটি কোণ সমকোণ হবে। এই জ্ঞানটি নির্মাণ কাজে এবং পরবর্তীকালে প্রাথমিক জ্যামিতিতে প্রয়োগ করা হতো। এটি একটি সাধারণ নিয়মের উদাহরণ ছিল: কোনো ত্রিভুজে যদি দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য বর্গ করে যোগ করা হয় (৩২ + ৪২ = ৯ + ১৬ = ২৫), এবং তা তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্যের বর্গের সমান হয় (৫২ = ২৫), তাহলে সেই ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে।

এই নিয়মটি বর্তমানে পিথাগোরাসের উপপাদ্য নামে পরিচিত এবং যে সংখ্যার তিনটি সেট এই শর্ত পূরণ করে, তাকে পিথাগোরীয় ত্রয়ী বলা হয়। এই ধারণাটিকেই প্রাচীন গ্রিক গণিতবিদ পিথাগোরাসের নামে নামকরণ করা হয়েছে। উদাহরণ হিসেবে (৩, ৪, ৫) এবং (৫, ১২, ১৩) হলো পিথাগোরীয় ত্রয়ী।

এ ধরনের অসীম সংখ্যক ত্রয়ী রয়েছে।[৩] এমন ত্রয়ী তৈরির পদ্ধতি বিভিন্ন সংস্কৃতিতে অধ্যয়ন করা হয়েছে। প্রাথমিকভাবে এটি ব্যাবিলনীয়দের মাধ্যমে উদ্ভাবিত হয়েছিল[৪] এবং পরবর্তীতে প্রাচীন গ্রিক, চীনা গণিত এবং ভারতীয় গণিতবিদরা এটিকে আরও প্রসারিত করেন।

গাণিতিকভাবে, পিথাগোরীয় ত্রয়ী হলো তিনটি পূর্ণসংখ্যার একটি সেট (a, b, c), যা এই সমীকরণটি সিদ্ধ করে: a2 + b2 = c2।


ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ

সম্পাদনা

সমীকরণ xn + yn = zn, যা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা সমাধান নিয়ে কাজ করে, একটি ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ এর উদাহরণ।[৫] এটি ৩য় শতাব্দীর অ্যালেকজান্দ্রিয়ার গণিতবিদ ডায়োফ্যান্টাসের নামে নামকরণ করা হয়েছে, যিনি এই ধরনের সমীকরণ অধ্যয়ন করেছিলেন এবং কিছু নির্দিষ্ট ধরনের ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণের সমাধানের পদ্ধতি উদ্ভাবন করেছিলেন।

একটি সাধারণ ডায়োফ্যান্টাইন সমস্যার উদাহরণ হলো এমন দুটি পূর্ণসংখ্যা x এবং y খুঁজে বের করা, যাতে তাদের যোগফল এবং তাদের বর্গগুলোর যোগফল যথাক্রমে নির্দিষ্ট দুটি সংখ্যা A এবং B-এর সমান হয়: 

 
 

ডায়োফ্যান্টাসের প্রধান কাজ ছিল অ্যারিথমেটিকা, যার একটি অংশই মাত্র টিকে আছে।[৬] ফার্মার "শেষ উপপাদ্য"র অনুমানটি অ্যারিথমেটিকা-এর একটি নতুন সংস্করণ পড়ার সময় অনুপ্রাণিত হয়েছিল,[৭] যা ১৬২১ সালে ক্লড ব্যাশে দ্বারা ল্যাটিন ভাষায় অনুবাদ ও প্রকাশিত হয়।


ফার্মার অনুমান

সম্পাদনা
 
১৬২১ সালের অ্যারিথমেটিকা-এর সংস্করণের Problem II.8। ডানপাশের প্রান্তটি মূলত ফার্মার তথাকথিত 'শেষ উপপাদ্য'র প্রমাণ লিপিবদ্ধ করার ক্ষেত্রে অপর্যাপ্ত স্থান।


অ্যারিথমেটিকা-এর Problem II.8-এ এমন একটি প্রশ্ন উপস্থাপিত হয়েছিল, যেখানে একটি বর্গসংখ্যাকে দুটি বর্গসংখ্যার যোগফলে বিভক্ত করতে বলা হয়। অর্থাৎ, প্রদত্ত একটি মূলদ সংখ্যা k-এর জন্য, এমন দুটি মূলদ সংখ্যা u এবং v খুঁজে বের করতে হবে যাতে k2 = u2 + v2 হয়। ডায়োফ্যান্টাস দেখিয়েছেন কীভাবে এই যোগফল সমস্যাটি সমাধান করতে হয় k = 4 এর জন্য। এই ক্ষেত্রে সমাধান ছিল u = ১৬/৫ এবং v = ১২/৫।[৮]

১৬৩৭ সালের দিকে ফার্মা অ্যারিথমেটিকা-এর একটি অনুলিপিতে ডায়োফ্যান্টাসের যোগফল সমস্যা-এর পাশে মন্তব্য করেছিলেন:[৯][১০][১১]


Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos & generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

একটি ঘন ঘাতকে দুটি ঘন ঘাতে, একটি চতুর্ঘাতকে দুটি চতুর্ঘাতে, বা সাধারণভাবে, দ্বিতীয় ঘাতের চেয়ে উচ্চতর কোনো ঘাতকে দুটি সমজাতীয় ঘাতে বিভক্ত করা সম্ভব নয়। আমি একটি সত্যিই বিস্ময়কর প্রমাণ আবিষ্কার করেছি, যা এই মার্জিন-প্রান্তে লিপিবদ্ধ করার জন্য পর্যাপ্ত নয়।[১২][১৩]

১৬৬৫ সালে ফার্মার মৃত্যুর পর তাঁর পুত্র ক্লেমেন্ট-স্যামুয়েল ফার্মা ১৬৭০ সালে Arithmetica-এর একটি নতুন সংস্করণ প্রকাশ করেন, যেখানে ফার্মার প্রান্তলিপি অন্তর্ভুক্ত করা হয়। যদিও এটি তখন একটি প্রমাণিত উপপাদ্য ছিল না, এটি "ফার্মার শেষ উপপাদ্য" নামে পরিচিতি লাভ করে কারণ এটি ফার্মার প্রদত্ত সর্বশেষ উপপাদ্য যা দীর্ঘদিন প্রমাণিত হয়নি।[৯][১৪][১৫]

এখনও পর্যন্ত জানা যায়নি যে, ফার্মা (Pierre de Fermat) তার উল্লেখিত উপপাদ্যের জন্য সকল সূচক (n) এর ক্ষেত্রে একটি সঠিক প্রমাণ খুঁজে পেয়েছিলেন কি না। তবে এটি অত্যন্ত অসম্ভাব্য বলে মনে করা হয়। শুধুমাত্র একটি প্রমাণই পাওয়া যায় যা তিনি নিজের হাতে লিখেছিলেন, সেটি হল n = 4 এর ক্ষেত্রে প্রমাণ। এই প্রমাণটি "নির্দিষ্ট সূচকদের জন্য প্রমাণ" অংশে বর্ণিত রয়েছে।

ফার্মা তার গাণিতিক সহকর্মীদের, যেমন মারিন মেরসেন (Marin Mersenne), ব্লেজ পাস্কাল (Blaise Pascal), এবং জন ওয়ালিস (John Wallis), n = 4 এবং n = 3 এর ক্ষেত্রে প্রমাণের চ্যালেঞ্জ দিয়েছিলেন। তবে তিনি কখনই সাধারণ ক্ষেত্রে (general case) কোনো চ্যালেঞ্জ দেননি।[১৬]

ফার্মার জীবনের শেষ ৩০ বছরে তিনি কখনোই সাধারণ ক্ষেত্রে তার "অসাধারণ প্রমাণ" নিয়ে আর কিছু লেখেননি বা এটি প্রকাশ করেননি। ভ্যান ডের পোর্টেন (van der Poorten)[১৭] মনে করেন, প্রমাণাদির অনুপস্থিতি এক্ষেত্রে তেমন গুরুত্বপূর্ণ নয়। তবে কোনো চ্যালেঞ্জ না দেওয়ার অর্থ হতে পারে যে ফার্মা নিজেই বুঝতে পেরেছিলেন তার কাছে প্রমাণ ছিল না। তিনি আন্দ্রে ওয়েইল (André Weil)[১৮] এর বক্তব্য উদ্ধৃত করেছেন, যেখানে ওয়েইল বলেছিলেন, ফার্মা সম্ভবত নিজেকে একটি অপূর্ণ ধারণার দ্বারা কিছু সময়ের জন্য বিভ্রান্ত করেছিলেন।

ফার্মার প্রমাণের জন্য যে কৌশল ব্যবহৃত হতে পারত, তা আমাদের কাছে অজানা। অ্যান্ড্রু ওয়াইলস (Andrew Wiles) এবং রিচার্ড টেইলর-এর (Richard Taylor) প্রমাণ ২০শ শতাব্দীর উন্নত গাণিতিক কৌশলগুলোর উপর নির্ভরশীল।[১৯] কিন্তু ফার্মার সময়ে যে গণিতের জ্ঞান ছিল, তা বিবেচনা করলে তার প্রমাণ অবশ্যই তুলনামূলকভাবে মৌলিক (elementary) হতে হতো।

হার্ভি ফ্রাইডম্যানের (Harvey Friedman) "গ্র্যান্ড কনজেকচার" অনুযায়ী, যেকোনো প্রমাণযোগ্য উপপাদ্য (যেমন ফার্মার উপপাদ্য) শুধুমাত্র "মৌলিক ফাংশন গাণিতিক" (elementary function arithmetic) ব্যবহার করে প্রমাণ করা সম্ভব। তবে এই প্রমাণ কেবলমাত্র একটি "প্রযুক্তিগত" অর্থে মৌলিক হতে পারে, যা লক্ষ লক্ষ ধাপের সমন্বয়ে গঠিত হতে পারে। এ ধরনের দীর্ঘ একটি প্রমাণ কখনোই ফার্মার প্রমাণ হতে পারত না।

n = 4 এর ক্ষেত্রে বিকল্প প্রমাণসমূহ পরবর্তীতে যাদের হাতে প্রভুত আধুনিকায়ন ঘটে[২০] তাঁরা হলেন বার্নার্ড ফ্রেনিকল ডি বেসি (1676),[২১] লিওনার্ড অয়লার (1738),[২২] কাউসলার (1802), পিটার বারলো (1811),[২৩] আন্দ্রে মারি লেগেন্দ্রে (1830), স্কোপিস (1825),[২৪] অলরি টেরকেম (1846),[২৫] জোসেফ লুই ফ্রঁসোয়া বার্ট্রান্ড (1851),[২৬] ভিক্টর লেবেগ (1853, 1859, 1862),[২৭] থিওফিল পেপিন (1883),[২৮] ট্যাফেলম্যাচার (1893),[২৯] ডেভিড হিলবার্ট (1897),[৩০] বেনজ (1901),[৩১] গ্যাম্বিওলি (1901), লিওপোল্ড ক্রোনেকার (1901),[৩২] ব্যাং (1905),[৩৩] সোমার (1907),[৩৪] বোটারি (1908),[৩৫] কারেল রিখলিক (1910), নুটঝর্ন (1912),[৩৬]রবার্ট ড্যানিয়েল কারমাইকেল (1913), [৩৭]হ্যানকক (1931),[৩৮] গিওর্গে ভ্রানসিয়ানু (1966), [৩৯]গ্র্যান্ট এবং পেরেলা (1999), [৪০]বারবারা (2007), [৪১]ডোলান (2011). [৪২]

প্রমাণ

সম্পাদনা

ওয়াইলস-এর সাধারণ প্রমাণ

সম্পাদনা
 
অ্যান্ড্রু ওয়াইলস

১৯৮৬ সালে রিবের এপসাইলন অনুমান প্রমাণ ফ্রে কর্তৃক প্রস্তাবিত দুটি লক্ষ্যকের প্রথমটি অর্জন করেছিল।

রিবের এই সাফল্যের পর, ইংরেজ গণিতবিদ অ্যান্ড্রু ওয়াইলস, যিনি ছোটবেলা থেকেই ফার্মার শেষ উপপাদ্য নিয়ে মুগ্ধ ছিলেন এবং Elliptic Curves নিয়ে কাজ করেছেন, মডুলারিটি উপপাদ্যের একটি বিশেষ ক্ষেত্র (তখন তানিয়ামা-শিমুরা অনুমান নামে পরিচিত) প্রমাণের জন্য নিজেকে উৎসর্গ করেন।[৪৩][৪৪]

ওয়াইলস প্রায় ছয় বছর ধরে তার কাজ গোপন রেখেছিলেন, তার গবেষণাকে ছোট ছোট অংশে ভাগ করে প্রকাশ করতেন এবং তার স্ত্রী ছাড়া কাউকে বিষয়টি জানাননি। তার প্রাথমিক কাজ ছিল গ্যালোয়া তত্ত্ব ব্যবহার করে প্রমাণ তৈরি করা। ১৯৯০-৯১ সালের মধ্যে তিনি ইওয়াসাওয়া তত্ত্ব-এর ব্যবহার করে কাজ করতে শুরু করেন, যা তাকে আরও নতুন পদ্ধতি খুঁজতে উৎসাহিত করে। এ সময় তিনি ভিক্টর কোলিভাগিন ও ম্যাথিয়াস ফ্লাচ-এর তৈরি ইউলার সিস্টেম আবিষ্কার করেন, যা তার প্রমাণের জন্য খুবই কার্যকর বলে মনে হয়।

১৯৯৩ সালের জানুয়ারিতে, ওয়াইলস তার সহকর্মী নিক ক্যাটজ-কে তার প্রমাণ পরীক্ষা করতে বলেন। ক্যাটজ ও অন্যান্য রিভিউয়ারদের পরীক্ষায় প্রমাণের পদ্ধতিটি সঠিক বলে মনে হয়েছিল।[৪৫][৪৬]

১৯৯৩ সালের জুন মাসে, ওয়াইলস আইজাক নিউটন ইনস্টিটিউট ফর ম্যাথমেটিক্যাল সায়েন্সেস-এ তিনটি বক্তৃতায় তার গবেষণা উপস্থাপন করেন। তিনি তানিয়ামা-শিমুরা অনুমান-এর একটি বিশেষ ক্ষেত্র প্রমাণ করেন, যা ফার্মার শেষ উপপাদ্য প্রমাণের পথে একটি বড় পদক্ষেপ ছিল। তবে, পিয়ার রিভিউয়ের সময় তার প্রমাণে একটি গুরুতর ত্রুটি ধরা পড়ে।[৪৭]

ওয়াইলস এই ত্রুটি সংশোধনের চেষ্টা করেন, প্রথমে একা এবং পরে তার ছাত্র রিচার্ড টেইলর-এর সঙ্গে, কিন্তু সফল হননি।[৪৮][৪৯]

১৯৯৪ সালের ১৯ সেপ্টেম্বর, প্রায় হাল ছেড়ে দিতে গিয়েছিলেন। কিন্তু, হঠাৎ তার মনে হলো যে কোলিভাগিন-ফ্লাচ পদ্ধতির যে সীমাবদ্ধতা ছিল, তা ইওয়াসাওয়া তত্ত্বকে আরও শক্তিশালী করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। তিনি এই পদ্ধতি ব্যবহার করে প্রমাণ করার প্রয়াস করেন এবং সফল হন।[৪৮]

আমি আমার ডেস্কে বসে কোলিভাগিন-ফ্লাচ পদ্ধতি পরীক্ষা করছিলাম। আমি মনে করিনি যে এটি কাজ করবে, তবে ভেবেছিলাম অন্তত বলতে পারব কেন এটি কাজ করছে না। হঠাৎ করে, একটি অবিশ্বাস্য উদ্ঘাটন আমার সামনে আসে। আমি বুঝতে পারলাম যে কোলিভাগিন-ফ্লাচ পদ্ধতি কাজ করছে না, তবে এটি ঠিক সেই জিনিস যা আমার তিন বছর আগে তৈরি করা আসল ইওয়াসাওয়া তত্ত্বকে কার্যকর করতে যথেষ্ট। কোলিভাগিন-ফ্লাচের ব্যর্থতার মধ্য থেকে যেন সমস্যার প্রকৃত সমাধান উঠে এলো। এটি এতটাই অবর্ণনীয়ভাবে সুন্দর ছিল, এতটাই সহজ এবং মার্জিত। আমি বুঝতে পারছিলাম না কীভাবে এটি আগে আমার নজর এড়িয়ে গিয়েছিল, এবং আমি বিস্ময়ে প্রায় বিশ মিনিট ধরে এটি দেখছিলাম। সেদিন আমি ডিপার্টমেন্টে এদিক-সেদিক ঘুরছিলাম এবং বারবার আমার ডেস্কে ফিরে যাচ্ছিলাম দেখতে যে এটি এখনও সেখানে আছে কি না। এটি সেখানে ছিল। আমি নিজেকে সামলাতে পারছিলাম না, আমি এতটাই উচ্ছ্বসিত ছিলাম। এটি আমার কর্মজীবনের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ মুহূর্ত ছিল। আমি ভবিষ্যতে যা-ই করি না কেন, তা কখনও এই মুহূর্তটির সমতুল্য হবে না।

— অ্যান্ড্রু ওয়াইলস, [৫০]


১৯৯৪ সালের ২৪ অক্টোবর, ওয়াইলস তার গবেষণাপত্র দুটি জমা দেন, যার একটি ছিল তার মূল প্রমাণ এবং অন্যটি রিচার্ড টেইলরের সঙ্গে সহ-লিখিত, যা প্রমাণের একটি গুরুত্বপূর্ণ অংশকে সমর্থন করেছিল। এই গবেষণাপত্র দুটি Annals of Mathematics-এর ১৯৯৫ সালের মে সংখ্যায় প্রকাশিত হয়। এই প্রমাণ ফার্মার শেষ উপপাদ্য সমাধানের ৩৫৮ বছর পরের এক যুগান্তকারী অগ্রগতি হিসেবে গণ্য হয়।



তথ্যসূত্র

সম্পাদনা
  1. ↑ "Abel prize 2016 – full citation"। ২০ মে ২০২০ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ১৬ মার্চ ২০১৬। 
  2. ↑ "Science and Technology"। The Guinness Book of World Records । Guinness Publishing Ltd.। ১৯৯৫। আইএসবিএন 9780965238304। 
  3. ↑ Stillwell J (২০০৩)। Elements of Number Theory। New York: Springer-Verlag। পৃষ্ঠা 110–112। আইএসবিএন 0-387-95587-9। সংগ্রহের তারিখ ২০১৬-০৩-১৭। 
  4. ↑ Aczel 1996, পৃ. 13–15
  5. ↑ Stark 1978, পৃ. 145–146
  6. ↑ Singh, pp. 50–51
  7. ↑ Stark 1978, পৃ. 145
  8. ↑ Friberg 2007, পৃ. 333–334
  9. ↑ ক খ Dickson 1919, পৃ. 731
  10. ↑ Singh, pp. 60–62
  11. ↑ Aczel 1996, পৃ. 9
  12. ↑ T. Heath, Diophantus of Alexandria Second Edition, Cambridge University Press, 1910, reprinted by Dover, NY, 1964, pp. 144–145
  13. ↑ Manin ও Panchishkin 2007, p. 341
  14. ↑ Singh, p. 67
  15. ↑ Aczel 1996, পৃ. 10
  16. ↑ Ribenboim, pp. 13, 24
  17. ↑ van der Poorten, Notes and Remarks 1.2, p. 5
  18. ↑ André Weil (১৯৮৪)। Number Theory: An approach through history. From Hammurapi to Legendre। Basel, Switzerland: Birkhäuser। পৃষ্ঠা 104। 
  19. ↑ BBC Documentary। টেমপ্লেট:Dead YouTube link
  20. ↑ Ribenboim, pp. 15–24
  21. ↑ Frénicle de Bessy, Traité des Triangles Rectangles en Nombres, vol. I, 1676, Paris. Reprinted in Mém. Acad. Roy. Sci., 5, 1666–1699 (1729)
  22. ↑ Euler L (১৭৩৮)। "Theorematum quorundam arithmeticorum demonstrationes"। Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae। 10: 125–146। . Reprinted Opera omnia, ser. I, "Commentationes Arithmeticae", vol. I, pp. 38–58, Leipzig:Teubner (1915)
  23. ↑ Barlow P (১৮১১)। An Elementary Investigation of Theory of Numbers। St. Paul's Church-Yard, London: J. Johnson। পৃষ্ঠা 144–145। 
  24. ↑ Schopis (১৮২৫)। Einige Sätze aus der unbestimmten Analytik। Gummbinnen: Programm। 
  25. ↑ Terquem O (১৮৪৬)। "Théorèmes sur les puissances des nombres"। Nouvelles Annales de Mathématiques। 5: 70–87। 
  26. ↑ Bertrand J (১৮৫১)। Traité Élémentaire d'Algèbre। Paris: Hachette। পৃষ্ঠা 217–230, 395। 
  27. ↑ Lebesgue VA (১৮৫৩)। "Résolution des équations biquadratiques z2 = x4 ± 2my4, z2 = 2mx4 − y4, 2mz2 = x4 ± y4"। Journal de Mathématiques Pures et Appliquées। 18: 73–86।  Lebesgue VA (১৮৫৯)। Exercices d'Analyse Numérique। Paris: Leiber et Faraguet। পৃষ্ঠা 83–84, 89।  Lebesgue VA (১৮৬২)। Introduction à la Théorie des Nombres। Paris: Mallet-Bachelier। পৃষ্ঠা 71–73। 
  28. ↑ Pepin T (১৮৮৩)। "Étude sur l'équation indéterminée ax4 + by4 = cz2"। Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Serie IX. Matematica e Applicazioni.। 36: 34–70। 
  29. ↑ A. Tafelmacher (১৮৯৩)। "Sobre la ecuación x4 + y4 = z4"। Anales de la Universidad de Chile। 84: 307–320। 
  30. ↑ Hilbert D (১৮৯৭)। "Die Theorie der algebraischen Zahlkörper"। Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung। 4: 175–546।  Reprinted in 1965 in Gesammelte Abhandlungen, vol. I by New York:Chelsea.
  31. ↑ Bendz TR (১৯০১)। Öfver diophantiska ekvationen xn + yn = zn (গবেষণাপত্র)। Uppsala: Almqvist & Wiksells Boktrycken। 
  32. ↑ Kronecker L (১৯০১)। Vorlesungen über Zahlentheorie, vol. I। Leipzig: Teubner। পৃষ্ঠা 35–38।  Reprinted by New York:Springer-Verlag in 1978.
  33. ↑ Bang A (১৯০৫)। "Nyt Bevis for at Ligningen x4 − y4 = z4, ikke kan have rationale Løsinger"। Nyt Tidsskrift for Matematik। 16B: 31–35। জেস্টোর 24528323। 
  34. ↑ Sommer J (১৯০৭)। Vorlesungen über Zahlentheorie। Leipzig: Teubner। 
  35. ↑ Bottari A (১৯০৮)। "Soluzione intere dell'equazione pitagorica e applicazione alla dimostrazione di alcune teoremi della teoria dei numeri"। Periodico di Matematiche। 23: 104–110। 
  36. ↑ Nutzhorn F (১৯১২)। "Den ubestemte Ligning x4 + y4= z4"। Nyt Tidsskrift for Matematik। 23B: 33–38। 
  37. ↑ Carmichael RD (১৯১৩)। "On the impossibility of certain Diophantine equations and systems of equations"। American Mathematical Monthly। Mathmatical Association of America। 20 (7): 213–221। জেস্টোর 2974106। ডিওআই:10.2307/2974106। 
  38. ↑ Hancock H (১৯৩১)। Foundations of the Theory of Algebraic Numbers, vol. I। New York: Macmillan। 
  39. ↑ Gheorghe Vrănceanu (১৯৬৬)। "Asupra teorema lui Fermat pentru n=4"। Gazeta Matematică Seria A। 71: 334–335।  Reprinted in 1977 in Opera matematica, vol. 4, pp.202–205, București: Editura Academiei Republicii Socialiste România.
  40. ↑ Grant, Mike, and Perella, Malcolm, "Descending to the irrational", Mathematical Gazette 83, July 1999, pp.263–267.
  41. ↑ Barbara, Roy, "Fermat's last theorem in the case n=4", Mathematical Gazette91, July2007,260–262.
  42. ↑ Dolan, Stan,"Fermat's method of descente infinie, Mathematical Gazette95, July2011,269–271.
  43. ↑ Singh, p. 205
  44. ↑ Aczel 1996, পৃ. 117–118
  45. ↑ Singh, pp. 239–243
  46. ↑ Aczel 1996, পৃ. 122–125
  47. ↑ Singh, pp. 257
  48. ↑ ক খ Singh, pp. 269–277
  49. ↑ A Year Later, Snag Persists In Math Proof 28 June 1994
  50. ↑ Singh p. 186–187 (text condensed)
'https://bn.wikipedia.org/w/index.php?title=ফের্মার_শেষ_উপপাদ্য&oldid=7797493' থেকে আনীত