টেলর ধারা

গণিতে টেইলর ধারা হলো কোনো ফাংশনের অসীমত্বক সমষ্টির প্রকাশ, যা একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে এর বিভিন্ন মাত্রার অন্তরকসমূহের মান থেকে নির্ণয় করা হয়। এ ধারাটির নামকরণ করা হয়েছে ইংরেজ গণিতবিদ ব্রুক টেইলরের নামানুসারে। ধারাটি যদি শূন্য কেন্দ্র করে নির্ণীত হয়, তখন একে ম্যাকলরিনের ধারা বলা হয়। সাধারণত হিসাব করার সময় টেইলর সিরিজের সসীম পদের সমষ্টি নেয়া হয়। টেইলর ধারাকে টেইলর বহুপদীর সীমা বিবেচনা করা যেতে পারে।

টেইলর বহুপদীর ডিগ্রি বৃদ্ধি পাবার সাথে সাথে এটি ফাংশনের সঠিক মানের দিকে অগ্রসর হয়, এই ছবিতে $\sin x$ (কালোতে) এবং টেইলর ধারার আসন্ন মান, যখন ডিগ্রি1, 3, 5, 7, 9, 11 and 13.

সূচকীয় ফাংশন (নীল রংয়ে), এবং ০-এ টেইলরের ধারার প্রথম n+1 পদের যোগফল (লাল রং-এ)।

সংজ্ঞা

কোনো বাস্তব বা জটিল ফাংশন ƒ(x) যা কীনা একটি বাস্তব বা জটিল সংখ্যা a এর সংলগ্ন মানে অসীমভাবে অন্তরকলনযোগ্য, তার টেইলর ধারা হলো ঘাতের ধারা

$f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots$

এর চেয়ে সংবদ্ধ আকারে একে প্রকাশ করা যায় এভাবে

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}$

যেখানে n! নির্দেশ করে n এর ফ্যাক্টরিয়াল এবং ƒ ⁽ⁿ⁾(a) নির্দেশ করে ƒ -এর nতম অন্তরক, a বিন্দুতে পরিমাপকৃত। ƒ এর শূন্যতম অন্তরক হল ƒ নিজেই এবং (x − a)⁰ ও 0! উভয়েরই সজ্ঞায়িত মান 1.

বিশেষ ক্ষেত্রে যখন a = 0, এ ধারাটিকে ম্যাকলরিনের ধারা বলা হয়, যা পূর্বে একবার বলা হয়েছে।

তথ্যসূত্র

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (১৯৭০), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, Ninth printing উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)
• Thomas, George B. Jr.; Finney, Ross L. (১৯৯৬), Calculus and Analytic Geometry (9th ed.), Addison Wesley, আইএসবিএন ০-২০১-৫৩১৭৪-৭ উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)
• Greenberg, Michael (১৯৯৮), Advanced Engineering Mathematics (2nd ed.), Prentice Hall, আইএসবিএন ০-১৩-৩২১৪৩১-১ উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)

বহিঃসংযোগ

• এরিক ডব্লিউ. ওয়াইস্টাইন সম্পাদিত ম্যাথওয়ার্ল্ড থেকে "Taylor Series"।
• Madhava of Sangamagramma
• Taylor Series Representation Module by John H. Mathews
• "Discussion of the Parker-Sochacki Method ওয়েব্যাক মেশিনে আর্কাইভকৃত ২ ডিসেম্বর ২০০৫ তারিখে"
• Another Taylor visualisation - where you can choose the point of the approximation and the number of derivatives
• Taylor series revisited for numerical methods at Numerical Methods for the STEM Undergraduate