সারাংশ

বিবরণPrime number theorem ratio convergence.svg	English: A plot showing how two estimates described by the prime number theorem, ${\displaystyle {\frac {x}{\ln x}}}$ and ${\displaystyle \int _{2}^{x}{\frac {1}{\ln t}}\mathrm {d} t=Li(x)=li(x)-li(2)}$ converge asymptotically towards ${\displaystyle \pi (x)}$, the number of primes less than x. The x axis is ${\displaystyle x}$ and is logarithmic (labelled in evenly spaced powers of 10), going up to 1024, the largest ${\displaystyle x}$ for which ${\displaystyle \pi (x)}$ is currently known. The former estimate converges extremely slowly, while the latter has visually converged on this plot by 108. Source used to generate this chart is shown below.
তারিখ	২১ মার্চ ২০১৩
উৎস	নিজের কাজ
লেখক	Dcoetzee
SVG genesis InfoField	এই এসভিজির উৎস কোড বৈধ।   এই লেখচিত্রটি Mathematica দিয়ে তৈরি করা হয়েছে।    This chart uses embedded text that can be easily translated using a text editor.

লাইসেন্স প্রদান

আমি, এই কাজের স্বত্বাধিকারী, এতদ্দ্বারা আমি এই কাজকে নিম্ন বর্ণিত লাইসেন্সের আওতায় প্রকাশ করলাম:

এই ফাইলটি ক্রিয়েটিভ কমন্স সিসি০ ১.০ সার্বজনীন পাবলিক ডোমেইন উৎসর্গীকরণের আওতায় রয়েছে।

যেই ব্যক্তিটি এই কাজটির সাথে সংশ্লিষ্ট তিনি এই কাজটি পাবলিক ডোমেইনে মুক্ত করার মাধ্যমে তাঁর সকল স্বত্ত্ব বিশ্বের সকল কপিরাইট আইনের আওতায় ত্যাগ করেছেন। যার মধ্যে নেইবারিং অধিকার, ও আইনের মাধ্যমে এক্সটেন্টও অন্তর্গত। আপনি এই কাজটি কোন অনুমতি চাওয়া ছাড়াই মুক্তভাবে অনুলিপি, পরিবর্তন, বিতরণ করতে পারেন, এবং এমন কি কোনো বাণিজ্যিক কাজেও ব্যবহার করতে পারেন। http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/deed.enCC0Creative Commons Zero, Public Domain Dedicationfalsefalse

Source

All source released under CC0 waiver.

Mathematica source to generate graph (which was then saved as SVG from Mathematica):

(* Sample both functions at 600 logarithmically spaced points between \
1 and 2^40 *)
base = N[E^(24 Log[10]/600)];
ratios = Table[{Round[base^x], 
    N[PrimePi[Round[base^x]]/(base^x/(x*Log[base]))]}, {x, 1, 
    Floor[40/Log[2, base]]}];
ratiosli = 
  Table[{Round[base^x], 
    N[PrimePi[
       Round[base^x]]/(LogIntegral[base^x] - LogIntegral[2])]}, {x, 
    Ceiling[Log[base, 2]], Floor[40/Log[2, base]]}];
(* Supplement with larger known PrimePi values that are too large for \
Mathematica to compute *)
LargePiPrime = {{10^13, 346065536839}, {10^14, 3204941750802}, {10^15,
     29844570422669}, {10^16, 279238341033925}, {10^17, 
    2623557157654233}, {10^18, 24739954287740860}, {10^19, 
    234057667276344607}, {10^20, 2220819602560918840}, {10^21, 
    21127269486018731928}, {10^22, 201467286689315906290}, {10^23, 
    1925320391606803968923}, {10^24, 18435599767349200867866}};
ratios2 = 
  Join[ratios, 
   Map[{#[[1]], N[#[[2]]]/(#[[1]]/(Log[#[[1]]]))} &, LargePiPrime]];
ratiosli2 = 
  Join[ratiosli, 
   Map[{#[[1]], N[#[[2]]]/(LogIntegral[#[[1]]] - LogIntegral[2])} &, 
    LargePiPrime]];
(* Plot with log x axis, together with the horizontal line y=1 *)
Show[LogLinearPlot[1, {x, 1, 10^24}, PlotRange -> {0.8, 1.25}], 
 ListLogLinearPlot[{ratios2, ratiosli2}, Joined -> True], 
 LabelStyle -> FontSize -> 14]

LaTeX source for labels:

$$ \left.{\pi(x)}\middle/{\frac{x}{\ln x}}\right. $$
$$ \left.{\pi(x)}\middle/{\int_2^x \frac{1}{\ln t} \mathrm{d}t}\right. $$

These were converted to SVG with [1] and then the graph was embedded into the resulting document in Inkscape. Axis fonts were also converted to Liberation Serif in Inkscape.