চতুর্মাত্রিক ক্ষেত্র

একটি চতুর্মাত্রিক ক্ষেত্র অথবা ফোর ডি হচ্ছে একটি গাণিতিক ধারা যা ত্রিমাত্রিক ক্ষেত্র ধারণা থেকে এসেছে। ত্রিমাত্রিক ক্ষেত্র হচ্ছে তিনটি সংখ্যার মাধ্যমে সবচেয়ে সহজভাবে কোনো ক্ষেত্র উপস্থাপন, যাকে মাত্রাও বলা হয়। যেমন কোনো আয়তাকার ঘনবস্তুর মাত্রা ৩টি। যথাঃ দৈর্ঘ্য (x-অক্ষ), প্রস্থ (y-অক্ষ) ও উচ্চতা (z-অক্ষ)। আর চতুর্মাত্রা হচ্ছে যখন এই তিনটি মাত্রার সাথে সময় যুক্ত হবে। অর্থাৎ দৈর্ঘ্য, প্রস্থ, উচ্চতা এবং সময়।

একটি কিউবের চতুর্মাত্রিক নমুনা

চতুর্মাত্রিক ক্ষেত্র ব্যবহার করার ধারণা আসে সর্বপ্রথম জোসেফ লুইস ল্যাগ্রেং এর কাছ থেকে ষোড়শ শতাব্দীর মাঝামাঝি সময়কালে এবং চতুর্মাত্রিক ক্ষেত্র ধারণা পরিপূর্নতা লাভ করে ১৮৫৪ সালে বার্নার্ড রিম্যান এর মাধ্যমে। এরপর ১৮৮০ সালে চার্লস হাওয়ার্ড হিন্টন হোয়াট ইজ দ্যা ফোর্থ ডিমেনশন? রচনার মাধ্যমে চতুর্মাত্রিক ক্ষেত্র বিষয়কে আরো পরিজ্ঞান দান করেন,যা বিভিন্ন ঘনবস্তুর ক্ষেত্রে এবং রেখা বিষয়ে চতুর্মাত্রিক ধারণা প্রকাশ করেন। হিন্টন মেথডের সবচেয়ে সহজ কাঠামো হচ্ছে দুটি গতানুগতিক ঘনবস্তু অঙ্কন যা "অজানা" দূরত্বে নিজেদের থেকে পৃথক হয়েছে। এরপর এদের সদৃশ ছেদচিহ্ন দিয়ে রেখা অঙ্কন। এটি পাশের চিত্রে দেখা যাবে, যখনই এটি বড় কিউবের মধ্যে একটি ছোট কিউব দেখায়। উক্ত ৮টি রেখা যা কিউবদ্বয়ের ছেদবিন্দুকে যুক্ত করে "অজানা"র(চতুর্মাত্রিক ক্ষেত্র) দিকনির্দেশনা উপস্থাপন করে।

বহুমাত্রিক ক্ষেত্রসমূহ বর্তমানে আধুনিক গণিত এবং আধুনিক পদার্থবিজ্ঞানের রীত্যনুসারে প্রকাশের ভিত্তি হয়ে উঠেছে। এই বিষয়ের মধ্যে বৃহত্তর অংশগুলো স্থান ছাড়া এরা বিদ্যমান থাকে না। আইন্সটাইনের স্থান-কাল ধারণা একটি চতুর্মাত্রিক ক্ষেত্র ব্যবহার করে, যদিও এতে মিনকভস্কি কাঠামো রয়েছে যা ইউক্লিডিয়ান চতুর্মাত্রিক ক্ষেত্র থেকে কিছুটা জটিল।

যখন ঘনমাত্রাসংক্রান্ত অবস্থান একটি অর্ডার্ড লিস্ট হিসেবে দেওয়া হয় (যেমনঃx,y,z,t) তাদের ভেক্টর বা এন-টাপল বলে। এটি তখনই হয় যখন অবস্থানসমূহ একসাথে যুক্ত হয় এবং আরো জটিল আকৃতির হয় যা চতুর্মাত্রার অনেক জ্যামিতিক জটিলতা আর উচ্চতর স্থান নির্গত হয়। পাশের এনিমেশনে এটারই একটি উদাহরণ দেওয়া হল।

ইতিহাস

ল্যাগ্রেং তার মেকানিক এনালাইটিক (১৭৫৫ সালে সম্পূর্ণ হয় এবং প্রকাশিত হয় ১৭৮৮ সালে) গ্রন্থে লিখেন যে, মেকানিক্স চতুর্মাত্রিক ক্ষেত্রের মাধ্যমে বিবেচনা করা যাবে।

১৮২৭ সালে মবিয়াস এই সিদ্ধান্তে আসেন যে, একটি চতুর্মাত্রিক ক্ষেত্রে একটি ত্রিমাত্রিক ক্ষেত্রকে এর দর্পন প্রতিবিম্বের মাধ্যমে আবর্তিত করা যায়। আর ১৮৫৩ সালের দিকে লুডউইগ শাফলি অনেক ধরনের বহু মাত্রার পলিটোপ আবিষ্কার করেন, যদিও তার মৃত্যুর পরেও তার এ কাজ প্রকাশিত হয়নি। উচ্চতর মাত্রাসমুহ খুব শীঘ্রই ফার্ম ফুটিং এ রাখা হয়েছিল যা বার্নার্ড তার থিসিস Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen এ ১৮৫৪ সালে ব্যাখ্যা দেন, যেখানে তিনি একটি "বিন্দু"-কে যেকোনো স্থানাঙ্কের পর্যায়ক্রম (x₁,....,x_n) বিবেচনা করেছেন।

চতুর্মাত্রার একটি পাটিগাণিতিক তত্ত্ব যা কোয়াটারনিয়ন্স নামে পরিচিত তা উইলিয়াম রোয়ান হেমিল্টন ১৮৪৩ সালে সংজ্ঞায়িত করেন।

হিন্টন এর ধারণা একটি কল্পনাকে অনুপ্রানিত করে।

ভেক্টরসমূহ

গানিতিকভাবে চতুর্মাত্রিক ক্ষেত্র হচ্ছে দুরত্বসংক্রান্ত চারটি মাত্রা। এটি হচ্ছে একটি ক্ষেত্র যা একটি বিন্দু প্রকাশ করতে চারটি প্যারামিটারের প্রয়োজন হয়। উদাহরস্বরূপ, একটি সাধারণ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যদি a হয়,তবে

$\mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\end{pmatrix}}$

এটি (e₁, e₂, e₃, e₄), এভাবেও লেখা যেতে পারে,

$\mathbf {e} _{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}};\mathbf {e} _{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}};\mathbf {e} _{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}};\mathbf {e} _{4}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}},$

তাহলে,উক্ত সাধারণ ভেক্টর a হচ্ছে,

$\mathbf {a} =a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}+a_{4}\mathbf {e} _{4}.$

এখন,

ইউক্লিডিয়ান ত্রিমাত্রিক ক্ষেত্রের ডট গুনন প্রক্রিয়া চতুর্থ মাত্রাকে নিম্নোক্তভাবে আয়ত্ত করে,

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+a_{4}b_{4}.$

এটি কোনো ভেক্টরের দৈর্ঘ্য পরিমাপ করতেও ব্যবহৃত হয়,

$\left|\mathbf {a} \right|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}}},$

এবং দুটি অশূন্য ভেক্টরের কোনের মান নির্নয়েও ব্যবহৃত হয়,

$\theta =\arccos {\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|}}.$

মিনকভস্কি স্থান-কাল ও একইভাবে নির্দেশ করে,

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}.$

চতুর্মাত্রিক জ্যামিতি

আরেকটি মাত্রা যুক্ত হওয়ার কারণে চতুর্মাত্রিক ক্ষেত্রের জ্যামিতিক কাঠামো ত্রিমাত্রিক ক্ষেত্র থেকে আর কিছুটা জটিল প্রকৃতির ।

চতুর্মাত্রিক ক্ষেত্রের মতো অনেক বহুতলক কাঠামো রয়েছে যা দ্বীমাত্রিক বহুভুজ দ্বারা গঠিত, চতুর্মাত্রায় ৪-পলিটোপ রয়েছে যা তৈরি হয়েছে বহুতলক দিয়ে। ত্রিমাত্রিক ক্ষেত্রে,

পাঁচ ধরনের সাধারণ বহুতলক রয়েছে যা প্ল্যাটনিক সলিড নামে পরিচিত। অন্যদিকে চতুর্মাত্রিক ক্ষেত্রে, প্ল্যাটনিক সলিড এর অনুরুপ উদাহরণ হচ্ছে ৬ কনভেক্স সাধারণ ৪-পলিটোপ।

চতুর্মাত্রিক ক্ষেত্রে সাধারণ পলিটোপ

A4, [3,3,3]	B4, [4,3,3]		F4, [3,4,3]	H4, [5,3,3]
5-cell{3,3,3}	tesseract{4,3,3}	16-cell{3,3,4}	24-cell{3,4,3}	120-cell{5,3,3}	600-cell{3,3,5}

ত্রিমাত্রিক ক্ষেত্রে একটি বৃত্তকে z-অক্ষ বরাবর বর্ধিত করলে একটি সিলিন্ডার পাওয়া যাবে, চতুর্মাত্রিক ক্ষেত্রে অনেক সিলিন্ডার সদৃশ বস্তু রয়েছে। একটি গোলক কে বর্ধিত করলে একটি গোলকীয় সিলিন্ডার পাওয়া যাবে, আর একটি সিলিন্ডার কে বর্ধিত করলে একটি বেলনাকার প্রিজম পাওয়া যাবে। দুটি গোলকের কার্তেসীয় ফলাফল হতে পারে একটি দ্বিসিলিন্ডার

একটি ক্লিফরড টোরাস

ত্রিমাত্রিক ক্ষেত্রে কোনো বক্ররেখা গিট তৈরি করতে পারে কিন্তু কোনো পৃষ্ঠ দ্বারা তা সম্ভভ নয়। কিন্তু চতুর্মাত্রিক ক্ষেত্রে বক্ররেখা দ্বারা তৈরি গিট সহজেই অন্য মাত্রার দিকে স্থানচ্যুত করে খোলা যাবে। কিন্তু দ্বিমাত্রিক পৃষ্ঠ চতুর্মাত্রিক ক্ষেত্রে নন-সেলফ-ইন্টারসেক্টিং গিট তৈরি করতে পারে। কারণ এই পৃষ্ঠগুলো দ্বিমাত্রিক যারা অনেক জটিল গিট তৈরি করতে সক্ষম যা স্ট্রিং পারে না।

অবগতি

ভার্চুয়াল রিয়েলিটি ব্যবহার করে গবেষণায় দেখা গেছে যে মানুষ ত্রি-মাত্রিক বিশ্বে বাস করার পরেও বিশেষ অনুশীলন ছাড়াই দৈর্ঘ্য (এক মাত্রিক) এবং কোণের ভিত্তিতে চার-মাত্রিক জায়গাতে এমবেড করা রেখাংশগুলি সম্পর্কে স্থানিক বিচার করতে পারে তাদের মধ্যে (দ্বিমাত্রিক)। গবেষকরা উল্লেখ করেছেন যে "আমাদের গবেষণায় অংশগ্রহণকারীদের এই কাজগুলিতে ন্যূনতম অনুশীলন ছিল এবং 4 ডি ভার্চুয়াল পরিবেশে বোধগম্য অভিজ্ঞতার সাথে আরও টেকসই, নিশ্চিত এবং সমৃদ্ধ 4D উপস্থাপনা পাওয়া সম্ভব কিনা" এটি একটি উন্মুক্ত প্রশ্ন রয়ে গেছে। অন্য একটি গবেষণায়, 2D, 3 ডি এবং 4 ডি ম্যাজগুলিতে নিজেকে আলোকিত করার দক্ষতা পরীক্ষা করা হয়েছে। প্রতিটি গোলকধাঁধা এলোমেলো দৈর্ঘ্যের চারটি পথ সেগমেন্ট নিয়ে গঠিত এবং অরথোগোনাল এলোমেলো বাঁকগুলির সাথে সংযুক্ত ছিল, তবে শাখা বা লুপগুলি ছাড়াই। গ্রাফিকাল ইন্টারফেসটি জন ম্যাকআইনটোসের বিনামূল্যে 4 ডি ম্যাজ গেমের উপর ভিত্তি করে তৈরি হয়েছিল অংশগ্রহণকারী ব্যক্তিদের পথ ধরে চলাচল করতে হবে এবং অবশেষে রৈখিক দিকটি প্রারম্ভিক অবস্থানে ফিরে যেতে হবে mate গবেষকরা দেখতে পান যে অংশগ্রহনকারীদের মধ্যে 4D কিছু অনুশীলনের পরে মানসিকভাবে তাদের পথকে সংহত করতে সক্ষম হয়েছিল (নিম্ন-মাত্রিক ক্ষেত্রেগুলি তুলনা করার জন্য এবং অংশগ্রহণকারীদের পদ্ধতিটি শিখার জন্য) ছিল।

ঘনমাত্রাসংক্রান্ত সাদৃশ্যতা

চার-মাত্রিক জায়গার প্রকৃতি বোঝার জন্য, ডাইমেনশনাল উপমা নামে একটি ডিভাইস সাধারণত নিযুক্ত করা হয়। ডাইমেনশনাল সাদৃশ্যটি কীভাবে (n − 1) মাত্রা n মাত্রার সাথে সম্পর্কিত এবং তারপরে অনুমিত করা হয় যে এন মাত্রাগুলি (n + 1) মাত্রাগুলির সাথে কীভাবে সম্পর্কযুক্ত

ডাইমেনশনাল উপমাটি ফ্ল্যাটল্যান্ড বইটিতে অ্যাডউইন অ্যাবট অ্যাবট ব্যবহার করেছিলেন, যা একটি কাগজের টুকরো পৃষ্ঠের মতো দ্বি-মাত্রিক বিশ্বে একটি স্কোয়ারের গল্প বর্ণনা করে। এই বর্গক্ষেত্রের দৃষ্টিকোণ থেকে, একটি ত্রি-মাত্রিক সত্তার কাছে আপাতদৃষ্টিতে শ্বরের মতো শক্তি রয়েছে, যেমন বস্তুগুলি এটি না ভেঙে নিরাপদ থেকে সরিয়ে নেওয়ার ক্ষমতা (তৃতীয় মাত্রা পেরিয়ে তাদের সরিয়ে দিয়ে), যা দ্বি-থেকে সমস্ত কিছু দেখার জন্য - মাত্রিক দৃষ্টিভঙ্গি দেয়ালের পিছনে আবদ্ধ এবং তৃতীয় মাত্রায় কয়েক ইঞ্চি দূরে দাঁড়িয়ে পুরোপুরি অদৃশ্য থাকার জন্য।

মাত্রিক উপমা প্রয়োগ করে, কেউ অনুমান করতে পারে যে একটি ত্রিমাত্রিক দৃষ্টিকোণ থেকে একটি চতুর্মাত্রিক সত্তা একই ধরনের কার্যকর হতে সক্ষম হবে। রুডি রাকার তার স্পেসল্যান্ডের উপন্যাসে এটি চিত্রিত করেছেন, যেখানে নায়ক চরিত্রের চারপাশের প্রাণীর মুখোমুখি হন।