গামা বণ্টন

পরিসংখ্যানবিদ্যাতে ব্যবহৃত বিভিন্ন সম্ভাব্যতা বণ্টনের মধ্যে গামা বণ্টন (Gamma Distribution) একটি গুরুত্বপূর্ণ বণ্টন। গামা বণ্টনের চিহ্ন হিসেবে সচরাচর $G_{A}(\alpha ,\beta )$কে ব্যবহার করা হয়। নানাবিধ প্রাকৃতিক প্রক্রিয়াতে গামা বণ্টন দেখা যায়। বিশেষ করে যেখানে পয়সন বণ্টন অনুসরণকারী ঘটনার মধ্যবর্তী সময়ের প্রসঙ্গ নিয়ে আলোচনা আসে।

এখানে ব্যবহৃত $\Theta$কে বলা হয় প্যারামিটার স্পেস (প্যারামিটারের মানের সেট)। গামা বণ্টন $\alpha ,\beta$দুটো প্যারামিটারের উপর নির্ভর করে | $\Gamma (\alpha )$কে বলা হয় গামা ফাংশন(gamma function) । গামা বণ্টনকে $\alpha =1,\beta =\lambda ^{-1}$ বসিয়ে সূচকীয় বণ্টন(expoential distribution) এ পরিণত করা যায় | | সেজন্য এভাবে লেখা যায় : $G_{A}(1,\lambda ^{-1})=E_{X}(\lambda )$

Illustration of the Gamma PDF for parameter values over k and x with θ set to 1, 2, 3, 4, 5 and 6. One can see each θ layer by itself here [১] as well as by k [২] and x. [৩].

গামা বণ্টন এর ডেন্সিটি ফাংশন
$f(x|\theta )={\frac {1}{\Gamma (\alpha )\beta ^{\alpha }}}x^{\alpha -1}exp(-{\frac {x}{\beta }})(0<x<\infty )$ $\Theta =\{\theta =(\alpha ,\beta ):0<\alpha ,\beta <\infty \}$

গামা ফাংশনের বৈশিষ্ট্য :

${\begin{aligned}(i)\ \Gamma (1)&=1\\(ii)\ \Gamma ({\frac {1}{2}})&={\sqrt {\pi }}\\(iii)\ \Gamma (s)&=(s-1)\Gamma (s-1)(s>1)\\(iv)\ \Gamma (n)&=(n-1)!(n:positiveinteger)\end{aligned}}$

প্রমাণ : (i) এর প্রমাণ খুবই সহজ । $s=1$ বসালেই $\int _{0}^{\infty }e^{-x}dx=1$ সমীকরণ থেকে $\Gamma (1)=1$ এর প্রমাণ করা যায়। (ii) একে চলক প্রতিস্থাপন পদ্ধতির সাহায্য নিয়ে সহজেই প্রমাণ করা যায় | ${\begin{aligned}let,\ y&=x^{1/2},\\then,\ dy&=1/2x^{-1/2}\\\Gamma (1/2)&=2\int _{0}^{\infty }e^{-y^{2}}dy\\&=2{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\\&={\sqrt {\pi }}\end{aligned}}$ (iii)আংশিক সমাকলন(Partial Integration)পদ্ধতি ব্যবহার করে ${\begin{aligned}\Gamma (s)&=\left[x^{s-1}e^{-x}\right]_{0}^{\infty }+(s-1)\int _{0}^{\infty }x^{s-1}e^{-x}dx\\&=0+(s-1)\Gamma (s-1)\\&=(s-1)\Gamma (s-1)\end{aligned}}$ (iv)পূণর্সংখ্যা n এর জন্য, ${\begin{aligned}\Gamma (n)&=(n-1)\Gamma (n-1)\\&=(n-1)\Gamma (n-2)\\&=...\\&=(n-1)\Gamma (1)\\&=(n-1)!\end{aligned}}$ (v) যেহেতু $f(x|\Theta )$হল গামা বণ্টনের সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন(সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনের(probability density function) সংঙ্গানুযায়ী ${\begin{aligned}\int _{\infty }^{\infty }f(x|\Theta )dx&=1\\=>\int _{\infty }^{\infty }{\frac {1}{\Gamma (\alpha )\beta ^{\alpha }}}x^{\alpha -1}exp(-{\frac {x}{\beta }})&=1(Here,0<x<\infty )\end{aligned}}$ "ব্যখ্যাঃ" সম্ভাব্যতাকে যদি P দিয়ে চিহ্নায়িত করা হয়, আমরা জানি 0 <= P <= 1 । র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবল(X) এর মান যদি বিচ্ছিন্ন না হয়ে অবিচ্ছন্ন হয় অর্থাৎ X এর কোন বিচ্ছিন্ন মান X = a না থেকে বরং X এর মান কোন একটা রেঞ্জ অর্থাৎ পরিসরের(a < X < b)মধ্যে থাকে তাহলে আমরা X এর মান a থেকে b এর মধ্যে থাকার সম্ভাবনা P(a < X < b) কে নিম্নের সমীকরণের সাহায্যে প্রকাশ করতে পারি $P(a<X<b)=\int _{0}^{\infty }f(x|\Theta )dx$ যেখানে $f(x|\Theta )$হল অবিচ্ছিন্ন সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন(continuous probability density function) | $a=-\infty$আর $b=\infty$হলে সম্ভাব্যতার মান যে ১(পূর্ণ সম্ভাবনা) হবে তা সহজেই বোঝা যায় । গামা বণ্টনের ক্ষেত্রে $0<X<\infty$ আমরা আগেই উল্লেখ করেছি | চলক প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে $y={\frac {x}{\beta }}$ ধরে$f(x|\Theta )$ এর ইন্টেগ্রেশনের মানকে সহজেই গামা ফাংশন দিয়ে লেখা যায় , ${\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }f(x|\Theta )dx&=\int _{0}^{\infty }f(x|(\alpha ,\beta ))dx\\&=\int _{0}^{\infty }x^{\alpha -1}e^{-x/\beta }dx\\&={\beta }^{\alpha }\int _{0}^{\infty }y^{\alpha -1}e^{-y}dy\\&=\Gamma (\alpha ){\beta }^{\alpha }\\\end{aligned}}$ সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনের ইন্টেগ্রেশনের মান কেন ১ হচ্ছে তা এর থেকে সহজেই বোঝা যায় । গামা বণ্টনের গড় E[X] ${\begin{aligned}E[X]&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{\infty }xx^{\alpha -1}e^{-x/\beta }dx\\&={\frac {\Gamma (\alpha +1){\beta }^{\alpha +1}}{\Gamma (\alpha ){\beta }^{\alpha }}}\\&=\alpha \beta \end{aligned}}$ গামা বণ্টনের পরিমিত ব্যবধান S[X] ${\begin{aligned}E[X^{2}]&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{\infty }x^{2}x^{\alpha -1}e^{-x/\beta }dx\\&={\frac {\Gamma (\alpha +2){\beta }^{\alpha +2}}{\Gamma (\alpha ){\beta }^{\alpha }}}\\&=(\alpha +1)\alpha {\beta }^{2}\\\therefore V[X]&=E[X^{2}]-E[X]\\&=(\alpha +1)\alpha {\beta }^{2}-\alpha \beta \\&=\alpha {\beta }^{2}\\\therefore S[X]&={\sqrt {V[X]}}\\&={\sqrt {\alpha {\beta }^{2}}}\end{aligned}}$