প্রধান মেনু খুলুন

ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য

সহজ ভাষায় ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্যটি হলো, ডিফারেন্সিয়েশন এবং ইন্টিগ্রেশন প্রক্রিয়া দুইটি একে অপরের বিপরীত। এটি এমনই এক উপপাদ্য যা কোন ফাংশনের অন্তরীকরণের ধারণা ও সমাকলনের ধারণার মধ্যে যোগসূত্র স্থাপন করে।

উপপাদ্যটির প্রথম অংশকে কখনো কখনো ক্যালকুলাসের প্রথম মৌলিক উপপাদ্য বলা হয়[১]

ইতিহাসসম্পাদনা

জ্যামিতি অর্থসম্পাদনা

উপপাদ্যসম্পাদনা

কোন ফাংশন   এর ডিফারেন্সিয়েশন যদি আরেকটি ফাংশন   হয়, তবে,

 

আবার, কোন ফাংশন   এর জন্য

 

উদাহরণসম্পাদনা

ধরা যাক, নিচের রাশিটির গণনা করতে হবে:

 

এখানে,   এবং আমরা   কে অ্যান্টি-ডেরিভেটিভ বা প্রতি-অন্তরজ হিসেবে ব্যবহার করতে পারি। সুতরাং:

 

অথবা, আরও সাধারণভাবে, ধরা যাক,

 

কে গণনা করতে হবে। এখানে,   and   কে প্রতি-অন্তরজ হিসেবে ব্যবহার করা যায়। সুতরাং:

 

অথবা, সমতুল্যভাবে,

 

তত্ত্বীয় উদাহরণ হিসেবে, আমরা উপপাদ্যটি প্রয়োগ করে প্রমাণ করতে পারি,

 

যেখানে,

 

ফলাফল নির্ভর করবে

  এর উপর।

বহুচলকবিশিষ্ট ফাংশনের জন্যসম্পাদনা

বহুচলকের জন্যও উপপাদ্যটি প্রযোজ্য, তবে এক্ষেত্রে উপপাদ্যটির অনেকগুলো রূপ রয়েছে।

গাউসের সূত্রসম্পাদনা

এক্ষেত্রে ডিফারেন্সিয়েশন অপারেটরটি হলো  , আর প্রযোজ্য ইন্টিগ্রেশন হলো আয়তন ইন্টিগ্রেশন।

 

স্টোক্‌সের সূত্রসম্পাদনা

এক্ষেত্রে ডিফারেন্সিয়েশন অপারেটরটি হলো  , আর প্রযোজ্য ইন্টিগ্রেশন হলো ক্ষেত্র ইন্টিগ্রেশন।

 

ডিফারেন্সিয়াল ফর্মের সূত্রসম্পাদনা

এক্ষেত্রে ডিফারেন্সিয়েশন অপারেটরটি এক্সটিরিওর ডেরিভেটিভ

 

গাউসের সূত্রটি আসলে এই সূত্রটিই, দ্বিতীয় মাত্রার ফর্মের ক্ষেত্রে, আর স্টোক্‌সের সূত্রটি প্রথম মাত্রার, তবে ভেক্টর ক্যালকুলাসের ভাষায়।

তথ্যসূত্রসম্পাদনা

  • Apostol, Tom M. (১৯৬৭), Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra (2nd সংস্করণ), New York: John Wiley & Sons, আইএসবিএন 978-0-471-00005-1 .
  • Bartle, Robert (২০০১), A Modern Theory of Integration, AMS, আইএসবিএন 0-8218-0845-1 .
  • Leithold, L. (১৯৯৬), The calculus of a single variable (6th সংস্করণ), New York: HarperCollins College Publishers .
  • Rudin, Walter (১৯৮৭), Real and Complex Analysis (third সংস্করণ), New York: McGraw-Hill Book Co., আইএসবিএন 0-07-054234-1 
  1. Spivak, Michael (১৯৮০), Calculus (2nd সংস্করণ), Houston, Texas: Publish or Perish Inc.