কার্শফের সমীকরণসমূহ

গুস্তাভ কির্শফের নামে অন্যান্য সূত্রসমূহের জন্য কার্শফের সূত্রসমূহ দেখুন।

প্রবাহী গতিবিজ্ঞানে, গুস্টাফ কিরশফের নামে নামকরণ করা কার্শফের সমীকরণগুলো একটি আদর্শ তরলে একটি অনমনীয় দেহের গতি বর্ণনা করে।

$${\begin{aligned}{d \over {dt}}{{\partial T} \over {\partial {\vec {\omega }}}}&={{\partial T} \over {\partial {\vec {\omega }}}}\times {\vec {\omega }}+{{\partial T} \over {\partial {\vec {v}}}}\times {\vec {v}}+{\vec {Q}}_{h}+{\vec {Q}},\\[10pt]{d \over {dt}}{{\partial T} \over {\partial {\vec {v}}}}&={{\partial T} \over {\partial {\vec {v}}}}\times {\vec {\omega }}+{\vec {F}}_{h}+{\vec {F}},\\[10pt]T&={1 \over 2}\left({\vec {\omega }}^{T}{\tilde {I}}{\vec {\omega }}+mv^{2}\right)\\[10pt]{\vec {Q}}_{h}&=-\int p{\vec {x}}\times {\hat {n}}\,d\sigma ,\\[10pt]{\vec {F}}_{h}&=-\int p{\hat {n}}\,d\sigma \end{aligned}}$$

যেখানে ${\vec {\omega }}$ এবং ${\vec {v}}$ বিন্দুতে কৌণিক এবং রৈখিক বেগ ভেক্টর ${\vec {x}}$, যথাক্রমে; ${\tilde {I}}$ জড়তা টেনসরের মুহূর্ত, $m$ শরীরের ভর হয়; ${\hat {n}}$ বিন্দুতে শরীরের পৃষ্ঠের স্বাভাবিক একটি ইউনিট ${\vec {x}}$ ; $p$ এই সময়ে একটি চাপ; ${\vec {Q}}_{h}$ এবং ${\vec {F}}_{h}$ হাইড্রোডাইনামিক টর্ক এবং বল শরীরের উপর কাজ করে, যথাক্রমে; ${\vec {Q}}$ এবং ${\vec {F}}$ একইভাবে শরীরের উপর কাজ করে এমন অন্যান্য সমস্ত টর্ক এবং শক্তিকে বোঝায়। ইন্টিগ্রেশন শরীরের পৃষ্ঠের তরল-উন্মুক্ত অংশের উপর সঞ্চালিত হয়।

যদি শরীর সম্পূর্ণরূপে নিমজ্জিত হয় একটি অসীম বিশাল আয়তনের অঘূর্ণাত্মক, অসংকোচনীয়, অসান্দ্র তরল, যা অসীমে বিশ্রামে থাকে, তাহলে ভেক্টরগুলি ${\vec {Q}}_{h}$ এবং ${\vec {F}}_{h}$ সুস্পষ্ট একীকরণের মাধ্যমে পাওয়া যেতে পারে, এবং শরীরের গতিবিদ্যা কিরশফ - ক্লেবশ সমীকরণ দ্বারা বর্ণনা করা হয়েছে:

$${d \over {dt}}{{\partial L} \over {\partial {\vec {\omega }}}}={{\partial L} \over {\partial {\vec {\omega }}}}\times {\vec {\omega }}+{{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}}\times {\vec {v}},\quad {d \over {dt}}{{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}}={{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}}\times {\vec {\omega }},$$

$$L({\vec {\omega }},{\vec {v}})={1 \over 2}(A{\vec {\omega }},{\vec {\omega }})+(B{\vec {\omega }},{\vec {v}})+{1 \over 2}(C{\vec {v}},{\vec {v}})+({\vec {k}},{\vec {\omega }})+({\vec {l}},{\vec {v}}).$$

তাদের প্রথম সমাকলন

$$J_{0}=\left({{\partial L} \over {\partial {\vec {\omega }}}},{\vec {\omega }}\right)+\left({{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}},{\vec {v}}\right)-L,\quad J_{1}=\left({{\partial L} \over {\partial {\vec {\omega }}}},{{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}}\right),\quad J_{2}=\left({{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}},{{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}}\right).$$

আরও একীকরণ অবস্থান এবং বেগের জন্য সুস্পষ্ট অভিব্যক্তি তৈরি করে।

তথ্যসূত্র

• Kirchhoff G. R. Vorlesungen ueber Mathematische Physik, Mechanik. Lecture 19. Leipzig: Teubner. 1877.
• Lamb, H., Hydrodynamics. Sixth Edition Cambridge (UK): Cambridge University Press. 1932.