কচ স্নোফ্লেক

কচ স্নোফ্লেক (বা কচ তারকা) একটি গাণিতিক রেখা এবং প্রথম দিকের একটি ফ্রাক্টাল। ১৯০৪ সালে একটি ফরাসি ভাষার জার্নালে (মূল ফরাসি শিরোনাম: "Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire") সুয়েডীয় গণিতবিদ হেল্গে ভন কচ এই রেখা আবিষ্কার করেন। স্বল্প পরিচিত কচ কার্ভ বা কচ রেখাও স্নোফ্লেকের মতই, তবে এটি শুরু হয় সমবাহু ত্রিভুজের পরিবর্তে একটি সরলরেখা দিয়ে।

কচ কার্ভ

কচ তারকার গঠন একটি সরলরেখা নিয়ে শুরু হয় এবং পর্যয়ক্রমে নিচের নিয়ম অনুযায়ী সরল রেখাকে প্রতিস্থাপিত করা হয়।

প্রতিটি সরল রেখাকে তিনটি সমান ভাগে ভাগ করা হবে।
মাঝের অংশটিতে একটি সমবাহু ত্রিভুজ আকা হবে এবং ত্রিভুজটির মাথা বাইরের দিকে থাকবে।
২য় ধাপে তৈরীকৃত ত্রিভুজের ভুমিস্থ সরলরেখা মুছে ফেলতে হবে।

এভাবে প্রতিস্থাপনের পর আকার দাড়াবে একটি ছয়কোনা তারকার মত।

কচ রেখার দৈর্ঘ্য অসীম কেননা প্রতি ধাপেই একটি রেখা থেকে চারটি নতুন রেখা তৈরি হয়। প্রতি ধাপে একটি রেখার দৈর্ঘ্য আগের ধাপের রেখার তিনভাগের একভাগ হয়। সুতরাং n ধাপের রেখার দৈর্ঘ্য হবে (4/3)ⁿ: এবং ফ্রাক্টাল মাত্রা হবে log 4/log 3 ≈ 1.26, যা রেখার মাত্রার (১) তুলনায় বড় কিন্তু পিয়ানোর ক্ষেত্র পুরক রেখার মাত্রার (২) থেকে কম।

কচ রেখা যদিও নিরবচ্ছিন্ন তবে কোথাও অন্তরকলনযোগ্য নয়।

কচ স্নোফ্লেকের দৈর্ঘ্য অসীম হলেও এর ক্ষেত্র সসীম। কচ স্নোফ্লেকের ক্ষেত্রফল হচ্ছে ${\frac {2{\sqrt {3}}s^{2}}{5}}$ , যেখানে s হচ্ছে মূল ত্রিভুজের একবাহুর দৈর্ঘ্য।^[১] এ থেকে দেখা যাচ্ছে কচ স্নোফ্লেক মূল ত্রিভুজ থেকে মাত্র ৮/৫ গুণ বড় ক্ষেত্রফল দখল করে থাকে।