প্রমাণ :
(i) এর প্রমাণ খুবই সহজ ।
বসালেই সমীকরণ থেকে এর প্রমাণ করা যায়।
(ii) একে চলক প্রতিস্থাপন পদ্ধতির সাহায্য নিয়ে সহজেই প্রমাণ করা যায় |
(iii)আংশিক সমাকলন(Partial Integration)পদ্ধতি ব্যবহার করে
(iv)পূণর্সংখ্যা n এর জন্য,
(v) যেহেতু হল গামা বণ্টনের সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন(সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনের(probability density function) সংঙ্গানুযায়ী
"ব্যখ্যাঃ" সম্ভাব্যতাকে যদি P দিয়ে চিহ্নায়িত করা হয়, আমরা জানি 0 <= P <= 1 । র্যান্ডম ভ্যারিয়েবল(X) এর মান যদি বিচ্ছিন্ন না হয়ে অবিচ্ছন্ন হয় অর্থাৎ X এর কোন বিচ্ছিন্ন মান X = a না থেকে বরং X এর মান কোন একটা রেঞ্জ অর্থাৎ পরিসরের(a < X < b)মধ্যে থাকে তাহলে আমরা X এর মান a থেকে b এর মধ্যে থাকার সম্ভাবনা P(a < X < b) কে নিম্নের সমীকরণের সাহায্যে প্রকাশ করতে পারি
যেখানে হল অবিচ্ছিন্ন সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন(continuous probability density function) | আর হলে সম্ভাব্যতার মান যে ১(পূর্ণ সম্ভাবনা) হবে তা সহজেই বোঝা যায় । গামা বণ্টনের ক্ষেত্রে আমরা আগেই উল্লেখ করেছি | চলক প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে ধরে এর ইন্টেগ্রেশনের মানকে সহজেই গামা ফাংশন দিয়ে লেখা যায় ,
সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনের ইন্টেগ্রেশনের মান কেন ১ হচ্ছে তা এর থেকে সহজেই বোঝা যায় ।
গামা বণ্টনের গড় E[X]
গামা বণ্টনের পরিমিত ব্যবধান S[X]
|