সেট তত্ত্ব

সেট তত্ত্ব গাণিতিক যুক্তিবিজ্ঞানের একটি শাখা যাতে বস্তুসমূহের সমাবেশ বা সংগ্রহ এবং এদের বৈশিষ্ট্য সম্পর্কিত বিষয়ে আলোচনা করা হয়। বাস্তব বা চিন্তাজগতের সু-সংজ্ঞায়িত বস্তুসমূহের সমাবেশ বা সংগ্রহকে ইংরেজিতে "সেট" (Set) বলে। যেমন: বাংলা, ইংরেজি ও গণিত বিষয়ে তিনটি পাঠ্য বইয়ের সেট, প্রথম দশটি বিজোড় সংখ্যার সেট, পূর্ণ সংখ্যার সেট, বাস্তব সংখ্যার সেট ইত্যাদি। প্রায় সব গাণিতিক ধারণার সংজ্ঞাতে সেট তত্ত্বের ভাষা ব্যবহার করা যেতে পারে।

একটি ভেন চিত্রে $A,B$ দুটি সেটের ছেদ সেট $A\cap B$।

জার্মান গণিতবিদ জর্জ ক্যান্টর (১৮৪৫-১৯১৮) সেট সম্পর্কে প্রথম ব্যাখ্যাপ্রদান করেন। তিনি অসীম সেটের ধারণা প্রদান করে গণিতশাস্ত্রে আলোড়ন সৃষ্টি করেন এবং তার সেটের ধারণা সেট তত্ত্ব (Set Theory) নামে পরিচিত।

ইতিহাস

জার্মান গণিতবিদ গেয়র্গ কান্টরকে (১৮৪৫-১৯১৮) আধুনিক সেটতত্ত্বের অধিকাংশ বিষয়ের জনক বলা হয়। ১৮৭৪ থেকে ১৮৯৭ সালের মধ্যবর্তী সময়ে সেটতত্ত্ব সম্পর্কে তাঁর গুরুত্বপূর্ণ গবেষণাপত্রগুলি প্রকাশিত হয়। ত্রিকোণমিতিক ধারা a , sin x + a , sin 2x + d , sin 3x + এর অধ্যয়নকালে তিনি সেটতত্ত্বের সংস্পর্শে আসেন। ১৮৭৪ সালে তিনি একটি গবেষণাপত্রে প্রকাশ করেন যে বাস্তব সংখ্যাগুলাের সেটের সাথে অখণ্ড সংখ্যার এক-এক সম্পর্ক স্থাপন করা যায় না। ১৮৭৯ সালের পর বিমূর্ত সেটের ধর্মাবলির উপর কয়েকটি গবেষণাপত্র প্রকাশ করেন।

কান্টরের গবেষণামূলক কাজগুলাে অপর একজন জার্মান গণিতবিদ রিচার্ড ডেডেকিন্ড (১৮৩১-১৯১৬) কর্তৃক উচ্চ প্রশংসিত হয়। কিন্তু ক্রোনেকার (১৮১০-১৮৯৩) অসীম সেটকে সসীম অনুরূপ বিবেচনা করায় তাঁর সমালােচনা করেন। অপর জার্মান গণিতজ্ঞ গটলব ফ্রেগে শতাব্দীর শেষে সেটতত্ত্বকে তর্কশাস্ত্রের নীতির মাধ্যমে উপস্থাপন করেন। ঐ সময় পর্যন্ত সম্পূর্ণ সেটতত্ত্ব সব সেটগুলােতে সেটের অস্তিত্ব কল্পনার উপর ভিত্তি করে দাঁড়িয়েছিল। বিখ্যাত ইংরেজ দার্শনিক বার্ট্রান্ড রাসেল ১৯০২ সালে দেখান যে সব সেটগুলােতে সেটের অস্তিত্ব কল্পনাবিরুদ্ধ, যা থেকে রাসেলের বিখ্যাত কূটাভাসে উদ্ভব হয়।

রাসেলের কূটাভাস শুধু সেটতত্ত্বের উপর নয়। পরবর্তীকালে বহু গণিতজ্ঞ এবং তর্কশাস্ত্রবিদ অনেক কূটাভাস তৈরি করেছেন। এমন কূটাভাসগুলির ফলস্বরূপ ১৯০৮ সালে আর্নস্ট জার্মেলো সেটতত্ত্বের প্রথম স্বতঃসিদ্ধকরণ প্রকাশ করেন। ১৯২২ সালে অপর একটি প্রস্তাবনা করেন আব্রাহাম ফ্রেঙ্কেল। ১৯২৫ সালে জন ভন নিউম্যান নিয়মিতকরণের স্বতঃসিদ্ধ স্পষ্টরূপে ব্যক্ত করেন। পরবর্তীতে ১৯৩৭ সালে পল বার্নের্স আরাে এক সেট সন্তোষজনক স্বতঃসিদ্ধকরণ প্রকাশ করেন। ১৯৪০ সালে এই স্বতঃসিদ্ধগুলাের পরিবর্তিত রূপ ক্যুর্ট গ্যোডেল তার একক গবেষণাকর্মে প্রদান করেন। এটি ভন নিউম্যান বার্নেস (Von Neumann Bernays; VNB ) বা গ্যোডেল-বার্নেস (Godel - Bernays; GB) সেট তত্ত্ব হিসেবে খ্যাত।

এসব প্রতিবন্ধকতা সত্ত্বেও গণিতে আজও কান্টরের সেটতত্ত্বের প্রয়ােগ আছে। প্রকৃতপক্ষে এখন গণিতের অধিকাংশ ধারণা এবং ফলাফলগুলাে সেটতত্ত্বগত ভাষাতে প্রকাশ করা হয়।

মৌলিক ধারণা এবং প্রতীক ​

সেট তত্ত্ব একটি বস্তু o এবং একটি সেট A এর মধ্যে একটি মৌলিক বাইনারি সম্পর্ক দিয়ে শুরু হয়। যদি o A এর সদস্য (বা উপাদান) হয়, তাহলে স্বরলিপি o ∈ A ব্যবহৃত হয়। একটি সেটকে কমা দ্বারা পৃথক করা উপাদানগুলির তালিকার দ্বারা বা তার উপাদানগুলির বৈশিষ্ট্যযুক্ত বৈশিষ্ট্য দ্বারা, ধনুর্বন্ধনীর মধ্যে বর্ণনা করা হয় { }। যেহেতু সেটগুলি বস্তু, সদস্যতার সম্পর্ক সেটগুলিকেও সম্পর্কিত করতে পারে।

দুটি সেটের মধ্যে একটি উদ্ভূত বাইনারি সম্পর্ক হল উপসেট সম্পর্ক, যাকে সেট অন্তর্ভুক্তিও বলা হয়। যদি সেটের সকল সদস্য A সেটেরও সদস্য হয় B, তাহলে A হল একটি B -এর সাবসেট, A ⊆ B বোঝায়। উদাহরণস্বরূপ, {1, 2} হল {1, 2, 3} এর একটি উপসেট, এবং তাই {2} কিন্তু {1, 4} নয়। এই সংজ্ঞা দ্বারা উহ্য হিসাবে, একটি সেট নিজেই একটি উপসেট। যে ক্ষেত্রে এই সম্ভাবনাটি অনুপযুক্ত বা প্রত্যাখ্যান করার অর্থ হবে, সঠিক উপসেট শব্দটি সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। A কে B এর সঠিক উপসেট বলা হয় যদি এবং শুধুমাত্র A যদি B এর উপসেট হয় তবে A B এর সমান নয়। এছাড়াও, 1, 2, এবং 3 হল {1, 2, 3} সেটের সদস্য (উপাদান), কিন্তু এটির উপসেট নয়; এবং পরিবর্তে, উপসেটগুলি, যেমন {1}, সেটের সদস্য নয় {1, 2, 3}৷