ফ্রাক্টাল

(Fractal থেকে পুনর্নির্দেশিত)

গণিতে, ফ্র্যাক্টাল হ'ল ইউক্লিডিয়ান ক্ষেত্রের একটি উপসেট যার জন্য ফ্র্যাক্টাল মাত্রা কঠোরভাবে টপোলজিকাল মাত্রাকে ছাড়িয়ে যায়। ফ্র্যাক্টালগুলি বিভিন্ন স্তরে একই দেখা যায়, যেমন ম্যান্ডেলব্রট সেটের ক্রমাগত প্রশস্তকরণে চিত্রিত হয়েছে।[১][২][৩][৪] সাধারণভাবে, ফ্রাক্টাল হলো এমন এক আকার যা পুনরাবৃত্তির মাধ্যমে গঠিত বা স্বানুরূপ[৫], অর্থাৎ এটা এমন এক আকার যা যেকোন মাত্রায়ই পরিবর্ধিত করা হোক না কেন, সর্বদাই অনুরূপ দেখাবে। এজন্যে এদেরকে প্রায়ই "অসীমরকম জটিল" বলে অভিহিত করা হয়ে থাকে। যদি এই প্রতিলিপিটি প্রতিবার মাপে হুবহু একই রকম হয়, যেমন মেনজার স্পঞ্জ, এটিকে অ্যাফাইন স্ব-অনুরূপ বলা হয়।[৬] ফ্র্যাক্টাল জ্যামিতি টপোলজির একটি শাখা।

ফ্রাক্টাল এর একটি বিখ্যাত উদাহরণ, ম্যান্ডেলব্রট সেট, এর সীমারেখার চিত্র
ম্যান্ডেলব্রট সেট

সংজ্ঞা এবং বৈশিষ্ট্যসম্পাদনা

গণিতবিদেরা ফ্রাক্টালকে একরকম জ্যামিতিক বস্তু হিসাবে বিবেচনা করেন এবং নিম্নোক্তভাবে সংজ্ঞায়িত করে থাকেন:

  • এদের গঠন অতি সূক্ষ্ম এবং পরিচিত ইউক্লিডীয় জ্যামিতির ভাষায় এদেরকে সহজে ব্যাখ্যা করা যায় না।
  • এরা স্বানুরূপ (অন্তত আসন্ন বা পরিসংখ্যানিকভাবে তো বটেই)
  • এদের টপোগাণিতিক মাত্রা'র চেয়ে হাসডর্ফ মাত্রা-র সংখ্যা বেশি।[৭]
  • এদের রয়েছে খুব সরল পৌনঃপুনিক সংজ্ঞা।
  • এদের রয়েছে সহজাত চেহারা।

ফ্রাক্টালের এর সব বা অধিকাংশ বৈশিষ্ট্য থাকে।[২]

সব স্বানুরূপ বস্তু কিন্তু ফ্রাক্টাল নয় — যেমন: বাস্তব রেখা (একটি ইউক্লিডিয়ান সরল রেখা) গাণিতিকভাবে স্বানুরূপ এবং দেখতে সহজাত হলেও অন্যান্য অধিকাংশ বৈশিষ্ট্য না থাকায়, এটা ফ্রাক্টাল নয়।

ইতিহাসসম্পাদনা

ফ্র্যাক্টালের গণিত প্রথম প্রতিষ্ঠা পেতে শুরু করে সপ্তদশ শতাব্দীতে যখন দার্শনিক ও বিজ্ঞানী গটফ্রিড লাইবনিৎস পৌনঃপুনিক আত্ম-সাদৃশ্য নিয়ে চিন্তা-ভাবনা শুরু করেন। অবশ্য লাইবনিৎসের একটি ভুল হয়েছিল। তিনি ভেবেছিলেন কেবল সরল রেখাই আত্ম-সদৃশ হতে পারে যা সঠিক নয়।

এরপর এ বিষয়ে আর তেমন কোন অগ্রগতি হয়নি।

১৯৭৫ সালে বেনোয়া মানডেলব্রট ফ্রাক্টাল নামটি উদ্ভাবন করেন। শব্দটি ল্যাটিন ফ্রাক্টাস থেকে নেয়া হয়েছে, যার অর্থ "ভাঙ্গা" বা "চিড়-ধরা"।

প্রয়োগসম্পাদনা

প্রাকৃতিক ঘটনাসম্পাদনা

প্রকৃতিতে পাওয়া আনুমানিক ফ্র্যাক্টালগুলি প্রসারিত, তবে সসীম, স্কেল রেঞ্জগুলির উপর স্ব-সাদৃশ্য প্রদর্শন করে। উদাহরণস্বরূপ, ফ্র্যাক্টাল এবং পাতার মধ্যে সংযোগটি বর্তমানে গাছগুলিতে কতটা কার্বন রয়েছে তা নির্ধারণ করতে ব্যবহার করা হচ্ছে।[৮] ফ্র্যাকটাল বৈশিষ্ট্যগুলির জন্য পরিচিত ঘটনাগুলির মধ্যে রয়েছে:

প্রযুক্তিতে প্রয়োগসম্পাদনা

তথ্যসূত্রসম্পাদনা

  1. Mandelbrot, Benoit B. (১৯৮৩)। The Fractal Geometry of Nature (ইংরেজি ভাষায়)। Henry Holt and Company। আইএসবিএন 978-0-7167-1186-5 
  2. Falconer, K. J., 1952- (২০০৩)। Fractal geometry : mathematical foundations and applications (2nd ed সংস্করণ)। Chichester: Wiley। আইএসবিএন 0-470-87135-0ওসিএলসি 53970546 
  3. Briggs, John. (১৯৯২)। Fractals : the patterns of chaos : discovering a new aesthetic of art, science, and nature। London: Thames & Hudson। পৃষ্ঠা ১৪৮। আইএসবিএন 0-500-27693-5ওসিএলসি 27830734 
  4. Vicsek, Tamás. (১৯৯২)। Fractal growth phenomena (2nd ed সংস্করণ)। Singapore: World Scientific। আইএসবিএন 981-02-0668-2ওসিএলসি 25834255 
  5. Boeing, G. (২০১৬)। "Visual Analysis of Nonlinear Dynamical Systems: Chaos, Fractals, Self-Similarity and the Limits of Prediction"Systems4 (4): 37। ডিওআই:10.3390/systems4040037। সংগ্রহের তারিখ ২০১৬-১২-০২ 
  6. Gouyet, Jean-François. (১৯৯৬)। Physics and fractal structures। Paris: Masson। আইএসবিএন 0-387-94153-3ওসিএলসি 35005596 
  7. Albers, Donald J.; Alexanderson, Gerald L. (২০০৮)। "Benoît Mandelbrot: In his own words"। Mathematical people : profiles and interviews। Wellesley, MA: AK Peters। পৃষ্ঠা 214আইএসবিএন 978-1-56881-340-0 
  8. "Hunting the Hidden Dimensional". Nova. PBS. WPMB-Maryland. October 28, 2008.
  9. Sadegh, Sanaz (২০১৭)। "Plasma Membrane is Compartmentalized by a Self-Similar Cortical Actin Meshwork"Physical Review X7 (1): 011031। arXiv:1702.03997 ডিওআই:10.1103/PhysRevX.7.011031পিএমআইডি 28690919পিএমসি 5500227 বিবকোড:2017PhRvX...7a1031S 
  10. Hahn, Horst K.; Georg, Manfred; Peitgen, Heinz-Otto (২০০৫)। "Fractal aspects of three-dimensional vascular constructive optimization"। Losa, Gabriele A.; Nonnenmacher, Theo F.। Fractals in biology and medicine। Springer। পৃষ্ঠা 55–66। আইএসবিএন 978-3-7643-7172-2 
  11. Lovejoy, Shaun (১৯৮২)। "Area-perimeter relation for rain and cloud areas"। Science216 (4542): 185–187। এসটুসিআইডি 32255821ডিওআই:10.1126/science.216.4542.185পিএমআইডি 17736252বিবকোড:1982Sci...216..185L 
  12. Carbone, Alessandra; Gromov, Mikhael; Prusinkiewicz, Przemyslaw (২০০০)। Pattern formation in biology, vision and dynamics। World Scientific। পৃষ্ঠা 78। আইএসবিএন 978-981-02-3792-9 
  13. Vannucchi, Paola; Leoni, Lorenzo (২০০৭)। "Structural characterization of the Costa Rica décollement: Evidence for seismically-induced fluid pulsing"। Earth and Planetary Science Letters262 (3–4): 413। hdl:2158/257208 ডিওআই:10.1016/j.epsl.2007.07.056বিবকোড:2007E&PSL.262..413V 
  14. Sornette, Didier (২০০৪)। Critical phenomena in natural sciences: chaos, fractals, selforganization, and disorder: concepts and tools। Springer। পৃষ্ঠা 128–140। আইএসবিএন 978-3-540-40754-6 
  15. Sweet, D.; Ott, E.; Yorke, J. A. (১৯৯৯), "Complex topology in Chaotic scattering: A Laboratory Observation", Nature, 399 (6734): 315, এসটুসিআইডি 4361904, ডিওআই:10.1038/20573, বিবকোড:1999Natur.399..315S 
  16. Tan, Can Ozan; Cohen, Michael A.; Eckberg, Dwain L.; Taylor, J. Andrew (২০০৯)। "Fractal properties of human heart period variability: Physiological and methodological implications"The Journal of Physiology587 (15): 3929–41। ডিওআই:10.1113/jphysiol.2009.169219পিএমআইডি 19528254পিএমসি 2746620  
  17. D. Seekell, B. Cael, E. Lindmark, P. Byström (২০২১)। "The fractal scaling relationship for river inlets to lakes"Geophysical Research Letters48 (9): e2021GL093366। আইএসএসএন 0094-8276এসটুসিআইডি 235508504 Check |s2cid= value (সাহায্য)ডিওআই:10.1029/2021GL093366বিবকোড:2021GeoRL..4893366S 
  18. D. Seekell, M. L. Pace, L. J. Tranvik, C. Verpoorter (২০১৩)। "A fractal-based approach to lake size-distributions" (PDF)Geophysical Research Letters40 (3): 517–521। এসটুসিআইডি 14482711ডিওআই:10.1002/grl.50139বিবকোড:2013GeoRL..40..517S 
  19. B. B. Cael, D. A. Seekell (২০১৬)। "The size-distribution of Earth's lakes"Scientific Reports6: 29633। ডিওআই:10.1038/srep29633পিএমআইডি 27388607পিএমসি 4937396 বিবকোড:2016NatSR...629633C 
  20. Addison, Paul S. (১৯৯৭)। Fractals and chaos: an illustrated course। CRC Press। পৃষ্ঠা 44–46। আইএসবিএন 978-0-7503-0400-9। সংগ্রহের তারিখ ফেব্রুয়ারি ৫, ২০১১ 
  21. Enright, Matthew B.; Leitner, David M. (জানুয়ারি ২৭, ২০০৫)। "Mass fractal dimension and the compactness of proteins"Physical Review E71 (1): 011912। ডিওআই:10.1103/PhysRevE.71.011912পিএমআইডি 15697635বিবকোড:2005PhRvE..71a1912E 
  22. Takayasu, H. (১৯৯০)। Fractals in the physical sciences। Manchester: Manchester University Press। পৃষ্ঠা 36আইএসবিএন 978-0-7190-3434-3 
  23. Jun, Li; Ostoja-Starzewski, Martin (এপ্রিল ১, ২০১৫)। "Edges of Saturn's Rings are Fractal"SpringerPlus। 4,158: 158। ডিওআই:10.1186/s40064-015-0926-6পিএমআইডি 25883885পিএমসি 4392038  
  24. Meyer, Yves; Roques, Sylvie (১৯৯৩)। Progress in wavelet analysis and applications: proceedings of the International Conference "Wavelets and Applications", Toulouse, France – June 1992। Atlantica Séguier Frontières। পৃষ্ঠা 25। আইএসবিএন 978-2-86332-130-0। সংগ্রহের তারিখ ফেব্রুয়ারি ৫, ২০১১ 
  25. Ozhovan M. I., Dmitriev I. E., Batyukhnova O. G. Fractal structure of pores of clay soil. Atomic Energy, 74, 241–243 (1993).
  26. Sreenivasan, K. R.; Meneveau, C. (১৯৮৬)। "The Fractal Facets of Turbulence"Journal of Fluid Mechanics173: 357–386। এসটুসিআইডি 55578215ডিওআই:10.1017/S0022112086001209বিবকোড:1986JFM...173..357S 
  27. de Silva, C. M.; Philip, J.; Chauhan, K.; Meneveau, C.; Marusic, I. (২০১৩)। "Multiscale Geometry and Scaling of the Turbulent–Nonturbulent Interface in High Reynolds Number Boundary Layers"। Phys. Rev. Lett.111 (6039): 192–196। এসটুসিআইডি 22560587ডিওআই:10.1126/science.1203223পিএমআইডি 21737736বিবকোড:2011Sci...333..192A 
  28. Singh, Chamkor; Mazza, Marco (২০১৯), "Electrification in granular gases leads to constrained fractal growth", Scientific Reports, Nature Publishing Group, 9 (1): 9049, arXiv:1812.06073 , ডিওআই:10.1038/s41598-019-45447-x , পিএমআইডি 31227758, পিএমসি 6588598 , বিবকোড:2019NatSR...9.9049S 
  29. Falconer, Kenneth (২০১৩)। Fractals, A Very Short Introduction। Oxford University Press। 
  30. Hohlfeld, Robert G.; Cohen, Nathan (১৯৯৯)। "Self-similarity and the geometric requirements for frequency independence in Antennae"। Fractals7 (1): 79–84। ডিওআই:10.1142/S0218348X99000098 
  31. Reiner, Richard; Waltereit, Patrick; Benkhelifa, Fouad; Müller, Stefan; Walcher, Herbert; Wagner, Sandrine; Quay, Rüdiger; Schlechtweg, Michael; Ambacher, Oliver; Ambacher, O. (২০১২)। "Fractal structures for low-resistance large area AlGaN/GaN power transistors"Proceedings of ISPSD: 341। আইএসবিএন 978-1-4577-1596-9ডিওআই:10.1109/ISPSD.2012.6229091 
  32. Chen, Yanguang (২০১১)। "Modeling Fractal Structure of City-Size Distributions Using Correlation Functions"PLoS ONE6 (9): e24791। arXiv:1104.4682 ডিওআই:10.1371/journal.pone.0024791পিএমআইডি 21949753পিএমসি 3176775 বিবকোড:2011PLoSO...624791C 
  33. "Applications"। অক্টোবর ১২, ২০০৭ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ২০০৭-১০-২১ 
  34. Smith, Robert F.; Mohr, David N.; Torres, Vicente E.; Offord, Kenneth P.; Melton III, L. Joseph (১৯৮৯)। "Renal insufficiency in community patients with mild asymptomatic microhematuria"Mayo Clinic Proceedings64 (4): 409–414। ডিওআই:10.1016/s0025-6196(12)65730-9পিএমআইডি 2716356 
  35. Landini, Gabriel (২০১১)। "Fractals in microscopy"। Journal of Microscopy241 (1): 1–8। ডিওআই:10.1111/j.1365-2818.2010.03454.xপিএমআইডি 21118245 
  36. Cheng, Qiuming (১৯৯৭)। "Multifractal Modeling and Lacunarity Analysis"। Mathematical Geology29 (7): 919–932। ডিওআই:10.1023/A:1022355723781 
  37. Chen, Yanguang (২০১১)। "Modeling Fractal Structure of City-Size Distributions Using Correlation Functions"PLoS ONE6 (9): e24791। arXiv:1104.4682 ডিওআই:10.1371/journal.pone.0024791পিএমআইডি 21949753পিএমসি 3176775 বিবকোড:2011PLoSO...624791C 
  38. Burkle-Elizondo, Gerardo; Valdéz-Cepeda, Ricardo David (২০০৬)। "Fractal analysis of Mesoamerican pyramids"। Nonlinear dynamics, psychology, and life sciences10 (1): 105–122। পিএমআইডি 16393505 
  39. Brown, Clifford T.; Witschey, Walter R. T.; Liebovitch, Larry S. (২০০৫)। "The Broken Past: Fractals in Archaeology"। Journal of Archaeological Method and Theory12: 37। ডিওআই:10.1007/s10816-005-2396-6 
  40. Saeedi, Panteha; Sorensen, Soren A.। "An Algorithmic Approach to Generate After-disaster Test Fields for Search and Rescue Agents" (PDF)Proceedings of the World Congress on Engineering 2009: 93–98। আইএসবিএন 978-988-17-0125-1 
  41. Bunde, Armin; Havlin, Shlomo (২০০৯)। Meyers, Robert A., সম্পাদক। Encyclopedia of Complexity and Systems Science (ইংরেজি ভাষায়)। New York, NY: Springer New York। পৃষ্ঠা 3700–3720। আইএসবিএন 978-0-387-75888-6ডিওআই:10.1007/978-0-387-30440-3_218 

বহিঃসংযোগসম্পাদনা

উইন্ডোজ জেনারেটর প্রোগ্রামসসম্পাদনা