সম-বিন্যাস (অবিচ্ছিন্ন)

অবিচ্ছিন্ন সম-বিন্যাস (continuous uniform distribution) সম্ভাবনার এমন একটি অবিচ্ছিন্ন বিন্যাস, যার যেকোনো একই দৈর্ঘ্যের ব্যবধির (interval) সম্ভাবনা সমান। সমভাবে বিন্যস্ত কোনো দৈব চলক যদি কেবল a হতে b এর মাঝে মান নেয়, যেখানে a < b, তবে সম-বিন্যাসের সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন (probability density function) হবে:

সম

সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন (প্রান্তে সর্ব্বোচ্চমান ধরা হয়েছে)
ক্রমযোজিত বিন্যাস ফাংশন
পরামিতি	$a,b\in (-\infty ,\infty )$
ব্যবধি	$a\leq x\leq b$
পিডিএফ	${\begin{matrix}{\frac {1}{b-a}}&{\mbox{for }}a<x<b\\\\0&\mathrm {for} \ x<a\ \mathrm {or} \ x>b\end{matrix}}$
সিডিএফ	${\begin{matrix}0&{\mbox{for }}x<a\\{\frac {x-a}{b-a}}&~~~~~{\mbox{for }}a\leq x<b\\1&{\mbox{for }}x\geq b\end{matrix}}$
গড়	${\frac {a+b}{2}}$
মধ্যমা	${\frac {a+b}{2}}$
প্রচুরক	any value in $[a,b]$
ভেদাঙ্ক	${\frac {(b-a)^{2}}{12}}$
বঙ্কিমতা	$0$
বর্ধিত সূচালতা	$-{\frac {6}{5}}$
এনট্রপি	$\ln(b-a)$
এমজিএফ	${\frac {e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}}$
বৈশিষ্ট্য ফাংশন	${\frac {e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}}$

$f(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{b-a}}&\ \ \ {\mbox{for }}a<x<b,\\\\0&\mathrm {for} \ x<a\ \mathrm {or} \ x>b,\\\\\mathrm {see} \ \mathrm {below} &\ \ \ {\mbox{for }}x=a{\mbox{ or }}x=b.\end{matrix}}\right.$

ঘনত্ব অপেক্ষকের মান a ও b তে একেকক্ষেত্রে একেক রকম ধরা হয়, কখনো শূন্য, কখনো 1/(b − a), কোনো কোনো ক্ষেত্রে 1/(2(b − a))। এই দুই প্রান্তিক মানের কারণে f(x) dx বা x f(x) dx এর সমাকলন মানে কোনো পরিবর্তন হয় না বিধায় f(a) ও f(b) সাধারণত অগুরুত্বপূর্ণ।

ক্রমযোজিত বিন্যাস ফাংশন (Cumulative Distribution Function)

সম-বিন্যাসের ক্রমযোজিত বিন্যাস ফাংশন হল:

$F(x)=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{for }}x<a\\{\frac {x-a}{b-a}}&\ \ \ {\mbox{for }}a\leq x<b\\1&{\mbox{for }}x\geq b\end{matrix}}\right.$

'সমতা'

সম-বিন্যাসের 'সমতা'-র নিহিতার্থ হল - সমভাবে বিন্যস্ত কোনো দৈব চলকের যেকোনো একই দৈর্ঘ্যের ব্যবধিতে পড়ার সম্ভাবনা সমান। যদি $X\sim \;{\mbox{U}}(a,b)$ হয় এবং $d\,\!$ যদি $\left[a,b\right]$ এর একটি ধ্রুব অনুব্যবধি (subinterval) হয়, যেখানে $d\geq 0$, তাহলে $X\,\!$-এর যেকোনো $d\,\!$ দৈর্ঘ্যের ব্যবধিতে পড়ার সম্ভাবনা -

${\begin{matrix}P\left(X\in \left[x,x+d\right]\right)&=&\int _{x}^{x+d}1/(b-a)\,dy\\&=&((x+d)-x)/(b-a)\\&=&d/(b-a)\end{matrix}}$

হবে, যা ধ্রুব। অতএব - যেকোনো একই দৈর্ঘ্যের ব্যবধিতে পড়ার সম্ভাবনা সমান।

পরিমিত সম-বিন্যাস

সম-বিন্যাসের a = 0 ও b = 1 হলে তাকে পরিমিত সম-বিন্যাস বলে। পরিমিত সম-বিন্যাসের একটি বৈশিষ্ট্য হল, যদি U₁ পরিমিত সম-বিন্যস্ত একটি দৈব চলক হয়, অর্থাৎ -

$U_{1}\sim \;\mathrm {UNIFORM} (0,1)$

তাহলে 1-U₁ ও সমভাবে বিন্যস্ত হবে, অর্থাৎ -

$1-U_{1}\sim \;\mathrm {UNIFORM} (0,1)$

অন্যান্য বিন্যাসের সাথে সম্পর্ক

• $Y\sim \;\mathrm {Exponential} (\lambda )$ একটি সূচকীয় বিন্যাস হবে যদি $Y=-{\frac {1}{\lambda }}\ln(X)$ হয় এবং $X\sim \;\mathrm {Uniform} (0,1)$ হয়।