সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্য

"যেকোনো অক্ষের সাপেক্ষে কোনো বস্তুর জড়তার ভ্রামক হবে ঐ অক্ষের সমান্তরাল ও বস্তুর ভরকেন্দ্রের মধ্য দিয়ে গমনকারী অক্ষের সাপেক্ষে জড়তার ভ্রামক এবং ঐ বস্তুর ভর ও দুই অক্ষের মধ্যবর্তী লম্ব দুরত্বের বর্গের গুনফলের সমষ্টির সমান।" উক্ত বিবৃতিটি সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্যকে সংজ্ঞায়িত করে। এই উপপাদ্য, যা হুইজেনস-স্টেইনার উপপাদ্য হিসাবেও পরিচিত, বা শুধু স্টেইনারের উপপাদ্য, যা ক্রিশ্চিয়ান হুইজেনস এবং স্টেইনারের নামানুসারে নামকরণ করা হয়েছে, কোনো অক্ষের দৃঢ় বস্তুর জড়তার ভ্রামক বা ক্ষেত্র ভ্রামক নির্ণয় করতে ব্যবহার করা হয় এবং ভরকেন্দ্রের মাধ্যমে এবং অক্ষগুলোর মধ্যে লম্ব দূরত্বের মধ্য দিয়ে সমান্তরাল অক্ষ সম্পর্কে বস্তুর জড়তার ভ্রামক নির্ণয় করতে ব্যবহার করা হয়।

জড়তার ভর ভ্রামক

ধরা যাক, $m$ ভরের একটি বস্তু তার ভরকেন্দ্রের মধ্য দিয়ে $z$ অক্ষ বরাবর ঘুরছে। অক্ষ বরাবর বস্তুটির জড়তার ভ্রামক $I_{cm}$। সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্যটিতে বলা হয়েছে যে, যদি বস্তুটিকে নতুন অক্ষ $z'$ বরাবর ঘুরানো হয়, যা প্রথম অক্ষের সাথে সমান্তরাল এবং এটি থেকে $d$ দূরত্বে স্থানচ্যুত হয়, তবে নতুন অক্ষের সাথে জড়তার ভ্রামক $I$, নিম্নের সমীকরণ দ্বারা $I_{cm}$ এর সাথে সম্পর্কিত,

$I=I_{\mathrm {cm} }+md^{2}.$

স্পষ্টতই, $d$ হচ্ছে $z$ এবং $z'$ অক্ষের মধ্যে লম্ব দূরত্ব।

কোনো সমান্তরাল অক্ষের সাপেক্ষে ভরকেন্দ্রের মাধ্যমে কোনো অক্ষের সাপেক্ষে একটি বস্তুর জড়তার ভর ভ্রামক নির্নয় করা সম্ভব ।

সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্যটি বিভিন্ন আকারের জড়তার ভ্রামকগুলো নির্ণয় করতে, স্ট্রেচ রুল এবং লম্ব অক্ষ উপপাদ্যের সাথে প্রয়োগ করা যেতে পারে।

মূল

ধরা যাক, কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় অক্ষগুলোর মধ্যে লম্ব দূরত্ব $x$-অক্ষের সাথে অবস্থিত এবং ভরকেন্দ্রের উৎস এর কেন্দ্রে অবস্থিত। $z$-অক্ষের সাথে সম্পর্কিত জড়তার ভ্রামক,

$I_{\mathrm {cm} }=\int (x^{2}+y^{2})\,dm.$

$z'$-অক্ষের সাথে সম্পর্কিত জড়তার ভ্রামক, যা ভরকেন্দ্র থেকে $x$-অক্ষ বরাবর লম্ব দূরত্ব $D$,

$I=\int \left[(x+D)^{2}+y^{2}\right]\,dm.$

বন্ধনী ফলন প্রসারিত করে,

$I=\int (x^{2}+y^{2})\,dm+D^{2}\int dm+2D\int x\,dm.$

প্রথম পদটি $I_{cm}$ এবং দ্বিতীয় পদটি হল $mD^{2}$। চূড়ান্ত পদে যোগজ হল ভর কেন্দ্রের $x$-স্থানাংকের গুণক, ভর কেন্দ্রটি উৎসে অবস্থিত হওয়ার কারণে এর মান শূন্য। সুতরাং, সমীকরণটি হবেঃ

জড়তার ক্ষেত্র ভ্রামকের সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্য

$I=I_{\mathrm {cm} }+mD^{2}.$

টেনসর সাধারণীকরণ

সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্যকে জড়তা টেন্সরের সাহায্যে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে। ধরা যাক, $I_{ij}$ ভরকেন্দ্রে নির্ণীত করা একটি বস্তুর জড়তা টেনসর। তাহলে, জড়তা টেনসর $J_{ij}$ একটি নতুন বিন্দুর সাপেক্ষে হিসাব করলে,

$J_{ij}=I_{ij}+m\left(|\mathbf {R} |^{2}\delta _{ij}-R_{i}R_{j}\right),$

যেখানে $\mathbf {R} =R_{1}\mathbf {\hat {x}} +R_{2}\mathbf {\hat {y}} +R_{3}\mathbf {\hat {z}} \!$ ভরকেন্দ্র থেকে নতুন বিন্দুতে স্থানচ্যূত ভেক্টর, এবং $\delta _{ij}$ হল ক্রোনেকার ডেলটা।

কৌণিক উপাদানগুলোর জন্য (যখন $i=j$), স্থানচ্যুতির ঘুর্ণন অক্ষের সাথে লম্ব সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্যের উপরের সরলীকৃত সমীকরণ প্রকাশ করে।

সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্যের সাধারণ সংস্করণ, স্থানাঙ্ক-মুক্ত চলক আকারে প্রকাশ করা যেতে পারে

$\mathbf {J} =\mathbf {I} +m\left[\left(\mathbf {R} \cdot \mathbf {R} \right)\mathbf {E} _{3}-\mathbf {R} \otimes \mathbf {R} \right],$

যেখানে, E₃ হল 3 × 3 অভেদক ম্যাট্রিক্স এবং $\otimes$ বাহ্যিক ফলাফল।

সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্যের সাধারণীকরণ কোনো জড়তা টেনসরকে অরথোগোনাল অক্ষগুলো প্রদান করে যা উল্লেখিত সেট x, y এবং z এর সমান্তরাল এবং যা উল্লেখিত জড়তা টেনসর এর সাথে যুক্ত, তা ভরকেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যাক বা না যাক।

দ্বিতীয় ক্ষেত্র ভ্রামক

সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্যটি একটি সমতল ক্ষেত্র D এর জন্য দ্বিতীয় ক্ষেত্র ভ্রামক(জড়তার ক্ষেত্র ভ্রামক) এর ক্ষেত্রেও প্রযোজ্যঃ

$I_{z}=I_{x}+Ar^{2},$

যেখানে $I_{z}$ সমান্তরাল অক্ষের সাপেক্ষে D এর জড়তার ক্ষেত্র ভ্রামক, $I_{x}$ ভরকেন্দ্রের সাপেক্ষে D এর জড়তার ক্ষেত্র ভ্রামক, A হচ্ছে সমতল ক্ষেত্র D এর ক্ষেত্রফল। $r$ হচ্ছে নতুন অক্ষ $z$ থেকে সমতল ক্ষেত্রের ভরকেন্দ্র পর্যন্ত দুরত্ব। D এর ভরকেন্দ্র একই আকারের সমান ঘনত্বের একটি ভৌত প্লেটের ভরকেন্দ্রের সাথে মিলিত হয়।

প্ল্যানার গতিশীলতার জন্য জড়তার পোলার ভ্রামক

একটি বিন্দুর চারপাশে কোনো বস্তুর জড়তার পোলার ভ্রামক তার কেন্দ্রস্থলের আশেপাশের জড়তার পোলার ভ্রামক থেকে নির্ধারণ করা যায়।

একটি দৃঢ় বস্তুর ভর বৈশিষ্ট্য যা একটি সমতল ক্ষেত্রে সমান্তরালে স্থানান্তরিত হতে বাধ্য হয়, উক্ত সমতলে তা সংজ্ঞায়িত করা হয় তার ভরকেন্দ্র R = (x, y) এবং এর অক্ষের চারপাশে এর জড়তা I_R এর পোলার ভ্রামকের(যা সমতলের সাথে লম্ব) মাধ্যমে। সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্য একটি ঐচ্ছিক বিন্দু S এর জড়তার ভ্রামক I_S এবং ভরকেন্দ্র R এর জড়তার ভ্রামক I_R এর মধ্যে একটি সুবিধাজনক সম্পর্ক স্থাপন করে।

মনে রাখা দরকার যে, ভরকেন্দ্রে,

$\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\,dV=0,$

যেখানে, r বস্তুর আয়তন V এর উপর একীভূত। প্ল্যানার গতির মধ্যে থাকা কোনো বস্তুর জড়তার পোলার ভ্রামকটি কোনো মানবিন্দু S এর তুলনায় গণনা করা যেতে পারে,

$I_{S}=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {S} )\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {S} )\,dV,$

যেখানে S ধ্রুবক এবং r বস্তুর আয়তন V এর উপর একীভূত হয়।

জড়তা I_R এর ভ্রামকের শর্তে জড়তা I_S এর ভ্রামক পেতে হলে, ভেক্টর S থেকে d, ভরকেন্দ্র R-এ প্রবর্তন করতে হবে,

${\begin{aligned}I_{S}&=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {R} +\mathbf {d} )\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {R} +\mathbf {d} )\,dV\\&=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {R} )dV+2\mathbf {d} \cdot \left(\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\,dV\right)+\left(\int _{V}\rho (\mathbf {r} )\,dV\right)\mathbf {d} \cdot \mathbf {d} .\end{aligned}}$

প্রথম পদ হল জড়তা I_R এর ভ্রামক, দ্বিতীয় পদটি ভরকেন্দ্রের সংজ্ঞা অনুসারে শূন্য এবং শেষ পদটি হল ভেক্টর d এর বর্গক্ষেত্রের দৈর্ঘ্যের মোট ভর। তাই,

$I_{S}=I_{R}+Md^{2},$

যা সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্য হিসাবে পরিচিত।

ম্যাট্রিক্সের জড়তা ভ্রামক

কোনো কণার একটি দৃঢ় ব্যবস্থার জড়তা ম্যাট্রিক্স, মানবিন্দুর নির্বাচনের উপর নির্ভর করে। ভরকেন্দ্র R এর সাথে এবং অন্য একটি বিন্দু S এর সাথে জড়তা ম্যাট্রিক্সের একটি কার্যকর সম্পর্ক রয়েছে। এই সম্পর্কটিকে সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্য বলা হয়।

একটি মানবিন্দু S এর তুলনায় পরিমাপকৃত কণার দৃঢ় ব্যবস্থার জন্য প্রাপ্ত জড়তা ম্যাট্রিক্স [I_s] বিবেচনা করা যাক,

$[I_{S}]=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-S][r_{i}-S],$

যেখানে, P_i কণার অবস্থান নির্ধারণ করে r_i (i = 1, ..., n)। মনে রাখা দরকার যে, [r_i − S] হল বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স যা ক্রস প্রোডাক্ট সম্পাদন করে,

$[r_{i}-S]\mathbf {y} =(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {S} )\times \mathbf {y} ,$

একটি স্বাধীন ভেক্টর y এর জন্য।

ধরা যাক, R দৃঢ় ব্যবস্থার ভর কেন্দ্র। তাহলে,

$\mathbf {R} =(\mathbf {R} -\mathbf {S} )+\mathbf {S} =\mathbf {d} +\mathbf {S} ,$

যেখানে d হল ভেক্টর যা মানবিন্দু S থেকে ভরকেন্দ্র R-এ অবস্থিত। এই সমীকরণ দিয়ে জড়তা ম্যাট্রিক্স নির্ণয়,

$[I_{S}]=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R+d][r_{i}-R+d].$

সমীকরণটি প্রসারিত করা হলে,

$[I_{S}]=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R][r_{i}-R]\right)+\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R]\right)[d]+[d]\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R]\right)+\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)[d][d].$

প্রথম পদটি হল ভরকেন্দ্রের সাথে সম্পর্কিত জড়তা ম্যাট্রিক্স [I_R]। দ্বিতীয় এবং তৃতীয় পদ ভরকেন্দ্র R এর সংজ্ঞা অনুসারে শূন্য,

$\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )=0.$

এবং শেষ পদটি হল ব্যবস্থার মোট ভর যা d থেকে তৈরি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স [d] এর বর্গের গুনফল।

যার ফলাফল হচ্ছে সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্য,

$[I_{S}]=[I_{R}]-M[d]^{2},$

যেখানে d হল মানবিন্দু S থেকে ভরকেন্দ্র R পর্যন্ত ভেক্টর।

বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্সের অভেদক

বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স এবং টেনসর সূত্র ব্যবহার করে সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্যের সূত্রের তুলনা করার জন্য, নিম্নলিখিত অভেদকগুলো কার্যকর।

ধরা যাক, [R] হল অবস্থান ভেক্টর R = (x, y, z) এর সাথে যুক্ত বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স, তাহলে জড়তা ম্যাট্রিক্সের ফলাফল হবে,

$-[R][R]=-{\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix}}^{2}={\begin{bmatrix}y^{2}+z^{2}&-xy&-xz\\-yx&x^{2}+z^{2}&-yz\\-zx&-zy&x^{2}+y^{2}\end{bmatrix}}.$

এই ফলাফলটি বাহ্যিক ফলাফল [R R^T] দ্বারা গঠিত ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে,

$-[R]^{2}=|\mathbf {R} |^{2}[E_{3}]-[\mathbf {R} \mathbf {R} ^{T}]={\begin{bmatrix}x^{2}+y^{2}+z^{2}&0&0\\0&x^{2}+y^{2}+z^{2}&0\\0&0&x^{2}+y^{2}+z^{2}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}x^{2}&xy&xz\\yx&y^{2}&yz\\zx&zy&z^{2}\end{bmatrix}},$

যেখানে, [E₃] হল 3 × 3 অভেদক ম্যাট্রিক্স।

এছাড়াও,

$|\mathbf {R} |^{2}=\mathbf {R} \cdot \mathbf {R} =\operatorname {tr} [\mathbf {R} \mathbf {R} ^{T}],$

যেখানে tr বাহ্যিক ফলাফল ম্যাট্রিক্সের কৌণিক উপাদানগুলোর যোগফলকে নির্দেশ করে, এটি ম্যাট্রিক্সের ট্রেস হিসাবেও পরিচিত।