শূন্য দ্বারা ভাগ

কোন বাস্তব সংখ্যাকে শূন্য দ্বারা ভাগ করলে যে মান পাওয়া যায়

গাণিতিক ভাগ প্রক্রিয়ায় ভাজক বা হর হিসেবে শুন্যের ব্যবহারই শূন্য দ্বারা ভাগ। গাণিতিকভাবে এ ধরনের ভাগকে a/0 আকারে প্রকাশ করা হয় যেখানে a হল ভাজ্য (লব)। ধরা যাক, a ≠ 0। এখন এমন কোন সংখ্যা পাওয়া সম্ভব নয় যাকে 0 দ্বারা গুণ করলে a (অর্থাৎ অশূন্য সংখ্যা) পাওয়া যাবে। একারণে সাধারণ পাটিগণিতে উক্ত গাণিতিক প্রকাশটি অর্থহীন এবং তাই কোন সংখ্যাকে শূন্য দ্বারা বিভাজন অসংজ্ঞায়িত। এছাড়াও কোন সংখ্যাকে শূন্য দ্বারা গুণ করলে গুণফল শূন্য হওয়ায় 0/0 গাণিতিক প্রকাশটিও অসংজ্ঞায়িত হবে; এবং একে সীমা আকারে প্রকাশ করলে এটি হবে অনির্ধার্য গঠন। ঐতিহাসিকভাবে, প্রাচীন লেখালেখিসমূহের মধ্যে ১৭৩৪ সালে প্রকাশিত জর্জ বার্কলির দ্য অ্যানালিস্ট (গোস্টস অব ডিপার্টেট কোয়ান্টিটিস) গ্রন্থে ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র পরিমাপ নির্ণয় সম্পর্কিত এক আলোচনায় অর্থাৎ ক্যালকুলাসে গাণিতিকভাবে a/0 এর মান নির্ধারণে অসম্ভাবনার কথা উল্লেখ করা হয়।[১]

Graph showing the diagrammatic representation of limits approaching infinity
লেখচিত্রটি y = 1/x ফাংশনকে নির্দেশ করছে। যখন x ডান দিক থেকে 0 এর নিকটবর্তী হয় তখন y অসীম হয়। আবার যখন x বাম দিক থেকে 0 এর নিকটবর্তী হয় তখন y ঋণাত্মক অসীম হয়।

রেইম্যানীয় গোলক এবং প্রক্ষিপ্তভাবে সম্প্রসারিত বাস্তব রেখা র ন্যায় কিছু কিছু গাণিতিক ব্যাবস্থাপনার ( structure) ক্ষেত্রে a/0 সংজ্ঞায়িত। তা সত্ত্বেও, এধরনের গাণিতিক পরিকাঠামো পাটিগণিতের প্রতিটি সাধারণ সূত্রের (গাণিতিক ক্ষেত্রের স্বীকার্য) সাথে সন্তোষজনক নয়।

কম্পিউটিংয়ের ক্ষেত্রে শূন্য দ্বারা ভাগ করার চেষ্টার ফলে প্রোগ্রামে ভুল ঘটতে পারে। প্রোগ্রামিংয়ের পরিবেশ ও শূন্য দ্বারা বিভাজিত সংখ্যার ধরনের উপর নির্ভর করে IEEE_754 ফ্লোটিং পয়েন্ট স্টান্ডার্ডের আলোকে ধনাত্মক বা ঋণাত্মক অসীমতা তৈরি হতে পারে। এটি এক্সেপশনএরর মেসেজ তৈরি করে এবং প্রোগ্রামকে ধ্বংস (terminate) করা সহ বিশেষ এক প্রকার NaN মানের আবির্ভাব ঘটায় তথা অসীম সংখ্যক লুপ বা কোন ক্রাশের মাধ্যমে কম্পিউটারকে হ্যাং করে তোলে।

মৌলিক পাটিগণিতসম্পাদনা

মৌলিক পাটিগণিত স্তরের আলোকে ব্যাখ্যার ক্ষেত্রে ভাগ বলতে মূলত কোন বস্তু সামগ্রীর একটি সেটকে সমান সমান অংশে আলাদা বা বিভাজিত করাকেই বোঝানো হয়ে থাকে। উদাহরণস্বরূপ, দশটি আতার কথা বিবেচনা করা যাক যেগুলো পাঁচটি শিশুর মাঝে সমানভাবে বিতরণ করতে হবে। এতে প্রতিটি শিশু পাবে ১০/ = ২ টি আতা। একইভাবে এই দশটি আতা কেবলমাত্র একটি শিশুকে বণ্টন করে দেওয়া হলে শিশুটি পাবে ১০/ = ১০ টি আতা।

তাহলে, বরাবরের মত দশটি আতা শূন্য সংখ্যক শিশুর মধ্যে বণ্টন করা হলে প্রত্যেকে শিশু কয়টি আতা পাবে? অর্থাৎ শূন্য দ্বারা ভাগের ক্ষেত্রে ভাগফল কী হবে? সমস্যাটি জোড়ালো করার জন্য প্রশ্নটির নির্দিষ্ট কিছু শব্দকে পিনপয়েন্ট করে দেওয়া যেতে পারে। এই প্রশ্ন সংশ্লিষ্ট সমস্যাটি হল “কখন”। কোন ক্রমেই ১০ টি আতাকে “কেউ না” এর মাঝে বিতরণ করা সম্ভব নয়। অর্থাৎ যাদের মধ্যে বিতরণ করতে হবে তারাই যদি না থাকে তবে বিতরণ করা অবান্তর বা অসম্ভব ব্যাপার ছাড়া কিছুই নয়। একারণে অন্ততপক্ষে মৌলিক পাটিগণিতে ১০/ কে হয় অর্থহীন অন্যথায় অসংজ্ঞায়িত বলা হয়।

যদি, ৫ টি আতা এবং ২ টি শিশুর কথা বলা হয় তবে সমস্যাটি "সমানভাবে বণ্টিত" হবে। ৫টি বস্তুকে ২ টি অংশে পূর্ণসংখ্যায় বণ্টনের ক্ষেত্রে, হয় একটি অংশের বস্তু সংখ্যা অপর অংশের থেকে বেশি হবে, অথবা এই বণ্টনে ভাগশেষ একটি বস্তু অবশিষ্ট থাকবে যাকে লেখা হয় / = ২ অবশেষ ১। অথবা, একটি আতা কেটে অর্ধেক করার মাধ্যমে এই ৫ টি আতা এবং ২ টি শিশুর সমস্যাটি সমাধান করা যেতে পারে যা আমাদেরকে ভগ্নাংশের (/ = ২/) ধারণার সাথে পরিচয় করিয়ে দেয়। অন্যদিকে, ৫ টি আতা এবং ০ শিশুর সমস্যাটিকে কোন ক্রমেই সমাধান করা যাবে না, যা আদতে "ভাগ" এর অর্থ বা শর্তকেই সমর্থন (সংরক্ষণ) করে।

মৌলিক বীজগণিতের আলোকে শূন্য দ্বারা ভাগকে ভিন্ন দৃষ্টিকোণে ব্যাখ্যা করা যায়। এক্ষেত্রে শূন্য দ্বারা ভাগকে গুণন প্রক্রিয়া ব্যবহার করে পরীক্ষণ বা চিহ্নিত করা যেতে পারে। উপরের ১০/ উদাহরণটির ক্ষেত্রে = ১০/ ধরা যাক, যেখানে একটি অশূন্য সংখ্যা। এখানে , দশ ভাগ শূন্য এর সমান হওয়ায় দেখা যাচ্ছে এবং শূন্য এর গুণফল হবে দশ। কিন্তু এমন কোন এর অস্তিত্ব নেই যাকে শূন্য দ্বারা গুণ করলে দশ (অথবা অন্য কোন অশূন্য সংখ্যা) পাওয়া যাবে। যদি = ১০/ এর পরিবর্তে = / হয়, তাহলে “ এমন কোন সংখ্যা যাকে শূন্য দ্বারা গুণ করলে শূন্য পাওয়া যায়?” এই প্রশ্নটির জন্য প্রতিটি সন্তোষজনক হবে।

প্রচীন পরীক্ষা-নিরীক্ষাসম্পাদনা

ব্রহ্মগুপ্ত (৫৯৮ - ৬৬৮ খ্রিস্টাব্দ) আনুমানিক ৬২৮ খ্রিস্টাব্দে ব্রহ্মস্ফুটসিদ্ধান্ত রচনা করেন। ব্রহ্মস্ফুটসিদ্ধান্ত প্রাচীনতম লিখিত পুস্তক যেখানে শূন্যকে তার মর্যাদা প্রদানপূর্বক একটি সংখ্যা হিসেবে আলোচনা করা হয়েছে; এখানে শূন্যের সাথে সম্পর্কযুক গাণিতিক ক্রিয়াদির সংজ্ঞাও আলোচিত হয়েছে।[২] তবে লেখক তাঁর এ লেখায় শূন্য দ্বারা ভাগকে ব্যাখ্যা করতে পারেন নি: তাঁর প্রদানকৃত সংজ্ঞাকে সহজেই বীজগাণিতিক অর্থহীনতার নজির হিসেবে প্রমাণ করা যায়। ব্রহ্মগুপ্তের মতে,

একটি ধনাত্মক বা ঋণাত্মক সংখ্যাকে শূন্য দ্বারা ভাগ করলে একটি ভগ্নাংশ পাওয়া যাবে যার হর হবে শূন্য। শূন্যকে ধনাত্মক বা ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে হয় তা শূন্য হবে অথবা এটি এমন একটি ভগ্নাংশরূপে প্রকাশিত হবে যেখানে শূন্য হবে ভগ্নাংশটির লব এবং নির্দিষ্ট রাশিটি (সংখ্যাটি) হবে ভগ্নাংশটির হর। শূন্যকে শূন্য দ্বারা ভাগ করলে তা শূন্য হবে।

৮৩০ খ্রীস্টাব্দে মহাবীর তাঁর গণিত সার সংহিতা গ্রন্থে ব্রহ্মগুপ্তের ত্রুটি সংশোধনের ব্যর্থ প্রচেষ্টা করেন। এখানে তিনি লিখেন: কোন সংখ্যাকে শূন্য দ্বারা ভাগ করলে তা অপরিবর্তিত থাকে। [৩]

বীজগণিতসম্পাদনা

কিছু সীমাবদ্ধতা থাকলেও মৌলিক পাটিগণিতে পূর্ণাঙ্গ সংখ্যার (ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা) যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগের বেলায় এ চারটি মৌলিক গাণিতিক প্রক্রিয়া, যে সব সংখ্যার উপর এই প্রক্রিয়াদি প্রয়োগ করা হয় সেই সব সংখ্যা নিয়ে গঠিত ক্ষেত্রের সম্প্রসারণে একটি সহায়ক কাঠামো হিসেবে ব্যবহৃত হয়। এই ক্ষেত্রে, কোন পূর্ণাঙ্গ সংখ্যা হতে অপর একটি পূর্ণাঙ্গ সংখ্যা বিয়োগ করা সম্ভবপর হলে সংখ্যাগুলোর ক্ষেত্রটি অবশ্যই পূর্ণ সংখ্যার সমগ্র সেটে সম্প্রসারিত হবে যাতে ঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যাসমূহ এতে অঙ্গীভূত (incorporate) হয়। একইভাবে, একটি পূর্ণ সংখ্যাকে আরেকটি পূর্ণ সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা সম্ভবপর হলে সংখ্যাগুলোর ক্ষেত্রটি অবশ্যই মূলদ সংখ্যায় সম্প্রসারিত হবে। সংখ্যা ব্যবস্থার এই ক্রমবর্ধমান সম্প্রসারণ কালে, পুরাতন সংখ্যার উপর "বর্ধিত প্রক্রিয়াসমূহ" (extended operations) প্রয়োগের বেলায় সতর্কতা অবলম্বন করা হয় যাতে এই "বর্ধিত প্রক্রিয়াসমূহ" ভিন্ন কোন ফল উৎপাদন না করে। ঢিলেঢালাভাবে বলা যায়, পূর্ণাঙ্গ সংখ্যার বিন্যাসে শূন্য দ্বারা ভাগের কোন অর্থ না থাকায় এবং এটি অসংজ্ঞায়িত হওয়ায় এই বিন্যাসটি যে বাস্তব সংখ্যা এমনকি জটিল সংখ্যায় সম্প্রসারিত হয় তার সত্যতা বের হয়ে আসে।

এই গাণিতিক প্রক্রিয়াগুলো প্রয়োগ করা যেতে পারে এমন সংখ্যা রাজ্য বা ক্ষেত্রটির সম্প্রসারণ ঘটায় এই গাণিতিক প্রক্রিয়াগুলোকে কিভাবে পর্যবেক্ষণ করা হয় সেক্ষেত্রেও পরিবর্তন ঘটে। যেমন— পূর্ণ সংখ্যার রাজ্যে বিয়োগ প্রক্রিয়াটিকে কোন মৌলিক প্রক্রিয়া হিসেবে বিবেচনা করা হয় না। কারণ বিয়োগকে ঋণাত্মক (চিহ্ন যুক্ত) সংখ্যার যোগ দ্বারা প্রতিস্থাপন করা যায়।[৪] একইভাবে, মূলদ সংখ্যা অন্তর্ভুক্তির মাধ্যমে যখন সংখ্যা রাজ্যের সম্প্রসারণ ঘটানো হয় তখন একটি সংখ্যার ভাগ অপর একটি নির্দিষ্ট মূলদ সংখ্যার গুণ দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। পর্যবেক্ষণ বা দৃষ্টিভঙ্গির এই পরিবর্তন অব্যাহত রাখলে, “কেন আমরা শূন্য দ্বারা ভাগ করতে পারি না?” প্রশ্নটি “একটি মূলদ সংখ্যার হর কেন শূন্য হতে পারে না বা মূলদ সংখ্যা কেন শূন্য হর রাখতে পারে না?” এই প্রশ্নে রূপান্তরিত হয়। পুনঃনিরীক্ষিত এই প্রশ্নের উত্তর পেতে হলে আমাদের যথাযথভাবে মূলদ সংখ্যার সংজ্ঞার ঘনিষ্ঠ পর্যবেক্ষণ প্রয়োজন।

বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্র গঠনের আধুনিক পদ্ধতি বা ব্যবস্থায় মূলদ সংখ্যা, সংখ্যার ক্রমবিকাশ ধারার একটি মধ্যবর্তী পদক্ষেপ হিসেবে প্রতীয়মান হয় যা সেট তত্ত্বে পাওয়া যায়। স্বাভাবিক সংখ্যা (শূন্য সহ সকল ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা) প্রথমত একটি স্বতঃসিদ্ধ মূল নীতি যেমন— পীনোর স্বতঃসিদ্ধ ব্যবস্থা উপর প্রতিষ্ঠিত, পরে এটি পূর্ণ সংখ্যার বলয়ে সম্প্রসারিত। পরবর্তী পদক্ষেপে, মূলদ সংখ্যাকে পূর্বেই প্রতিষ্ঠিত বা সিদ্ধ হয়েছে কেবল মাত্র এমন সেট ও গাণিতিক প্রক্রিয়ার (যথাঃ যোগ, গুণ) মাধ্যমে এবং পূর্ণ সংখ্যার মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত করা। পূর্ণ সংখ্যার ক্রম যুগল (ordered pair) {(a, b)} (যেখানে b ≠ 0) এর সেট এই সেটে (a, b) ≃ (c, d) এর মাধ্যমে একটি দ্বিমিক সম্পর্ককে সংজ্ঞায়িত করে যখন কেবলমাত্র ad = bc হয় (?? আরও ব্যাখ্যা প্রয়োজন)। এই সম্পর্ককে একটি সমতুল্যতার অন্বয় হিসেবে দেখা হয় এবং পরে এর সমতুল্যতার শ্রেণিসমূহকে মূলদ সংখ্যা রূপে সংজ্ঞায়িত করা হয়। It is in the formal proof that this relation is an equivalence relation that the requirement that the second coordinate is not zero is needed (for verifying transitivity).[৫][৬][৭]

উপরের ব্যাখ্যাটি অনেক কারণেই খুবই বিমূর্ত এবং প্রায়োগিক হতে পারে, কিন্তু যদি মূলদ সংখ্যার অস্তিত্ব এবং বৈশিষ্ট্যকে মৌলিক পাটিগণিতের মতই সাধারণভাবে ধরে নেওয়া হয়, তবে শূন্য দ্বারা ভাগ যে “কারণ”টির দরুন অনুমোদিত হয় না সেই “কারণ”টি দৃষ্টির অন্তরালে চলে যায়। তা সত্ত্বেও, এ ব্যবস্থাটিকে একটি অ-কঠোর ন্যায্যতা দেওয়া যেতে পারে।

আমরা যে সংখ্যা ব্যবস্থাগুলো ব্যবহার করি (যেমন— পূর্ণ, মূলদ, বাস্তব ইত্যাদি) সেসবের উপর এই বৈশিষ্ট্যগুলি নির্ভর করে। যদি b ≠ 0 হয় তবে a/b = c সমীকরণটি a = b × c এর সমতুল্য হবে। a/0 কে একটি সংখ্যা যেমন— c ধরা হলে এখানে অবশ্যই a = 0 × c = 0 হবে। সে যাই হোক না কেন, এক্ষেত্রে c একক সংখ্যাটিকে অবশ্যই 0 = 0 × c সমীকরণ দ্বারা নির্ধারণ করতে হবে, কিন্তু প্রত্যেক সংখ্যা এই সমীকরণকে চরিতার্থ করে। ফলে আমরা 0/0 এর সাংখ্যিক মান নির্ধারণ করতে পারি না।[৮]

তথ্যসূত্রসম্পাদনা

নোটসম্পাদনা

  1. Cajori, Florian (১৯২৯), "Absurdities due to division by zero: An historical note", The Mathematics Teacher, 22 (6): 366–368, জেস্টোর 27951153 .
  2. Kaplan, Robert (১৯৯৯)। The Nothing That Is: A Natural History of Zero । New York: Oxford University Press। পৃষ্ঠা 68–75আইএসবিএন 978-0-19-514237-2 
  3. The Nothing That Is: A Natural History of Zero,pp. 68–75; Robert Kaplan (1999), Oxford University Press, New York; ISBN 9780195142372
  4. Klein 1925, পৃ. 24
  5. Schumacher 1996, পৃ. 149
  6. Hamilton 1982, পৃ. 19
  7. Henkin এবং অন্যান্য 2012, পৃ. 292
  8. Bunch 1997, পৃ. 14

উৎসসম্পাদনা

  • Bunch, Bryan (১৯৯৭) [1982], Mathematical Fallacies and Paradoxes, Dover, আইএসবিএন 978-0-486-29664-7 
  • Klein, Felix (১৯২৫), Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint / Arithmetic, Algebra, Analysis, Hedrick, E. R.; Noble, C. A. কর্তৃক অনূদিত (3rd সংস্করণ), Dover 
  • Hamilton, A. G. (১৯৮২), Numbers, Sets, and Axioms, Cambridge University Press, আইএসবিএন 978-0521287616 
  • Henkin, Leon; Smith, Norman; Varineau, Verne J.; Walsh, Michael J. (২০১২), Retracing Elementary Mathematics, Literary Licensing LLC, আইএসবিএন 978-1258291488 
  • Patrick Suppes 1957 (1999 Dover edition), Introduction to Logic, Dover Publications, Inc., Mineola, New York. আইএসবিএন ০-৪৮৬-৪০৬৮৭-৩ (pbk.). This book is in print and readily available. Suppes's §8.5 The Problem of Division by Zero begins this way: "That everything is not for the best in this best of all possible worlds, even in mathematics, is well illustrated by the vexing problem of defining the operation of division in the elementary theory of arithmetic" (p. 163). In his §8.7 Five Approaches to Division by Zero he remarks that "...there is no uniformly satisfactory solution" (p. 166)
  • Schumacher, Carol (১৯৯৬), Chapter Zero : Fundamental Notions of Abstract Mathematics, Addison-Wesley, আইএসবিএন 978-0-201-82653-1 
  • Charles Seife 2000, Zero: The Biography of a Dangerous Idea, Penguin Books, NY, আইএসবিএন ০-১৪-০২৯৬৪৭-৬ (pbk.). This award-winning book is very accessible. Along with the fascinating history of (for some) an abhorrent notion and others a cultural asset, describes how zero is misapplied with respect to multiplication and division.
  • Alfred Tarski 1941 (1995 Dover edition), Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences, Dover Publications, Inc., Mineola, New York. আইএসবিএন ০-৪৮৬-২৮৪৬২-X (pbk.). Tarski's §53 Definitions whose definiendum contains the identity sign discusses how mistakes are made (at least with respect to zero). He ends his chapter "(A discussion of this rather difficult problem [exactly one number satisfying a definiens] will be omitted here.*)" (p. 183). The * points to Exercise #24 (p. 189) wherein he asks for a proof of the following: "In section 53, the definition of the number '0' was stated by way of an example. To be certain this definition does not lead to a contradiction, it should be preceded by the following theorem: There exists exactly one number x such that, for any number y, one has: y + x = y"