বীজগণিতীয় ভগ্নাংশ

আমরা দৈনন্দিন জীবনে একটি সম্পূর্ণ জিনিসের সাথে এর অংশও ব্যবহার করি। এই বিভিন্ন অংশ এক-একটি ভগ্নাংশ; যার প্রকৃত অর্থ– ‘ভাঙা অংশ’। বীজগণিতীয় ভগ্নাংশ অনেকটাই পাটিগণিতীয় ভগ্নাংশের মতো (লব এবং হর দ্বারা গঠিত কিন্তু বীজগণিতীয় চলক দ্বারা প্রকাশিত)।

বীজগণিতীয় ভগ্নাংশ

বীজগণিতীয় ভগ্নাংশ কাকে বলে

যদি $m$ ও $n$ দুইটি বীজগণিতীয় রাশি হয়, তবে ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$ একটি বীজগণিতীয় ভগ্নাংশ, যেখানে ${\displaystyle n\neq 0}$ । এখানে ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$ ভগ্নাংশটির $m$ কে লব (যা ভগ্নাংশের উপরে থাকে) এবং $n$ কে হর (যা ভগ্নাংশের নিচে থাকে) বলা হয়।

উদাহরণস্বরূপ, ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ , ${\displaystyle {\frac {x+y}{y}}}$ , ${\displaystyle {\frac {x^{2}+a^{2}}{x+a}}}$ , ${\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}}$ , ${\displaystyle {\frac {x}{y}}}$ , $x+{\frac {b}{2a}}$ , $\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}$ , ${\displaystyle {\frac {a\times b\times z}{a^{2}bc}}}$ , ${\frac {(a+b)\div c}{{\sqrt {a^{2}}}bc}}$ ইত্যাদি বীজগণিতীয় ভগ্নাংশ।^[১]

সাধারণ ভগ্নাংশ

সাধারণ ভগ্নাংশ তিন প্রকার^[২], যথা–

প্রকৃত ভগ্নাংশ
অপ্রকৃত ভগ্নাংশ ও
মিশ্র ভগ্নাংশ

প্রকৃত ভগ্নাংশ

${\displaystyle {\frac {3}{5}}}$ একটি সাধারণ ভগ্নাংশ। এই ভগ্নাংশের লব $3$ , হর $5$ । এখানে লব, হর থেকে ছোট। এটি একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ।

অপ্রকৃত ভগ্নাংশ

${\displaystyle {\frac {8}{5}}}$ একটি সাধারণ ভগ্নাংশ। এই ভগ্নাংশের লব $8$ , হর $5$ থেকে বড়। এটি একটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশ।

অপ্রকৃত ভগ্নাংশকে রূপান্তরিত করলে একটি মিশ্র ভগ্নাংশ পাওয়া যায়।

যেমন:

উদাহরণ	এখানে,
${\displaystyle {\frac {8}{5}}}={\displaystyle 1{\frac {3}{5}}}$	${\displaystyle {\frac {8}{5}}}=$ $5)~8~(1$ ${\displaystyle {\frac {~5~}{3}}}$ সুতরাং, পূর্ণ সংখ্যা = ভগফল = $1$ অপ্রকৃত ভগ্নাংশের লব = ভগশেষ = $3$ অপ্রকৃত ভগ্নাংশের হর = ভাজক = $5$

মিশ্র ভগ্নাংশ

${\displaystyle 1{\frac {2}{3}}}$ সংখ্যাটিতে একটি পূর্ণ অংশ এবং অপর অংশটি প্রকৃত ভগ্নাংশে আছে। ${\displaystyle 1{\frac {2}{3}}}$ (বা ${\displaystyle 1+{\frac {2}{3}}}$ ) একটি মিশ্র ভগ্নাংশ।

পূর্ণ অংশ + প্রকৃত ভগ্নাংশ = মিশ্র ভগ্নাংশ।
মিশ্র ভগ্নাংশে একটি পূর্ণ অংশের সাথে একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ যুক্ত আকারে থাকে।
মিশ্র ভগ্নাংশ থেকে সাধারণ ভগ্নাংশ (বা অপ্রকৃত ভগ্নাংশ) রূপান্তর করার নিয়ম:–

+(পূর্ণ সংখ্যা × হর) + লব/হর

যেমন:

{\displaystyle 1{\frac {2}{3}}}={\displaystyle {\frac {(1\times 3)+2}{3}}}={\displaystyle {\frac {5}{3}}}

;

{\displaystyle 2{\frac {2}{5}}}={\displaystyle {\frac {(2\times 5)+2}{5}}}={\displaystyle {\frac {12}{5}}}

অথবা,

{\displaystyle 2{\frac {2}{5}}}={\displaystyle 2+{\frac {2}{5}}}={\displaystyle {\frac {2}{1}}}+{\displaystyle {\frac {2}{5}}}={\displaystyle {\frac {2\times 5}{1\times 5}}}+{\displaystyle {\frac {2}{5}}}

={\displaystyle {\frac {2\times 5}{5}}}+{\displaystyle {\frac {2}{5}}}={\displaystyle {\frac {(2\times 5)+2}{5}}}={\displaystyle {\frac {12}{5}}}

মিশ্র ভগ্নাংশকে রূপান্তরিত করলে (বা ভাঙলে) একটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশ পাওয়া যায়। যেমন: ${\displaystyle 1{\frac {2}{3}}}={\displaystyle {\frac {5}{3}}}$ যা অপ্রকৃত ভগ্নাংশ।

বীজগণিতের সাধারণ নিয়মসূমহ

${\displaystyle a\neq 0}$ , ${\displaystyle b\neq 0}$ , ${\displaystyle c\neq 0}$ , ${\displaystyle x\neq 0}$ , ${\displaystyle y\neq 0}$ এবং ${\displaystyle z\neq 0}$ হলে, $a$ , $b$ , $c$ , $x$ , $y$ এবং $z$ এর যেকোনো মানের জন্য—

নিয়ম ১

যোগ

(+)

বা বিয়োগ

(-)

চিহ্নিত অংশ (বা সংখ্যা) তাদের স্ব স্ব চিহ্নসহ তাদের অবস্থান যেকোনো স্থানে পরিবর্তন করতে পারে। তবে, এদের মাঝে যদি গুণ

(\times )

বা ভাগ

(\div )

বা 'এর' (চিহ্নিত অংশ) অথবা যেকোনোটি অথবা যেকোনো দু'টি অথবা সবগুলিই থাকে তবে তাদের [মধ্যে সর্বপ্রথম 'এর' -এর সমাধান, তারপর ভাগ $(\div )$ এবং তারপর গুণ $(\times )$ -এর] সমাধান আগে করে নিতে হয়।

যেমন:

-3+4\times 5+8\div 4+1-9\times 2

=-3+4\times 5+2+1-9\times 2

↑ প্রথমে ভাগের ( $\div$ ) সমাধান করা হলো। [যেহেতু, এর (গুণের ( $\times$ ) আরেক রূপ) নেই।]

=-3+20+2+1-18

↑ তারপর গুণের ( $\times$ ) সমাধান করা হলো।

=20+2+1-18-3

↑ স্ব স্ব চিহ্ন অনুযায়ী স্থান পরিবর্তন করা হলো।

=22+1-18-3

=23-18-3

=23-(18+3)

[নিয়ম ১০ অনুসারে।]

=23-21

=2

নিয়ম ২

a\div b={\displaystyle {\frac {a}{b}}}=a/b=

a⁄b

=b)~a~(

=b{\overline {)~a~}}

আবার অনেক সময় অনুপাত দিয়েও ভগ্নাংশ প্রকাশ করা হয়।

যেমন:

a:b={\displaystyle {\frac {a}{b}}}

নিয়ম ৩

a\times b=a.b=ab

বীজগণিতে দুইটি প্রতীক বা অঙ্ক কিংবা সংখ্যা পাশাপাশি লিখলে এদের মধ্যে (গুণ) ' $\times$ ' চিহ্ন ধরে নিতে হয়।

যেমন:

x\times y=xy

,

x.y=xy

কিন্তু অঙ্কে বা সংখ্যায় প্রকাশের ক্ষেত্রে $ab$ নিয়মটি ব্যবহার করা হয় না (বীজগণিতে প্রকাশের সময় $ab$ নিয়মটি ব্যবহার করা হয়), বরং অন্য দু'টি নিয়ম ব্যবহার করা হয়। তবে (অঙ্কে বা সংখ্যায় প্রকাশের ক্ষেত্রে এ নিয়মটি) ব্যবহার করতে চাইলে প্রথম বন্ধনী ( $()$ ) ব্যবহার করতে হয়।

যেমন:

3\times 4

=

3.4

=

$(3)(4)$

=

12

গুণের $ab$ নিয়মের ক্ষেত্রে–

সঠিক :

(3)(4)=12

,

(5)(2)=10

,

(10)(17)=170

~~সঠিক নয়~~ :

3~4=12

,

5~2=10

,

10~17=170

নিয়ম ৪

\blacksquare

ধরন ০১:

{\displaystyle {\frac {a}{b}}}\times {\displaystyle {\frac {x}{y}}}={\displaystyle {\frac {a\times x}{b\times y}}}={\displaystyle {\frac {ax}{by}}}

\blacksquare

ধরন ০২:

{\displaystyle {\frac {a}{b}}}\times x={\displaystyle {\frac {a}{b}}}\times {\displaystyle {\frac {x}{1}}}={\displaystyle {\frac {a\times x}{b\times 1}}}={\displaystyle {\frac {ax}{b}}}

\blacksquare

ধরন ০৩:

{\displaystyle {\frac {a}{b}}}\times {\displaystyle {\frac {1}{y}}}={\displaystyle {\frac {a\times 1}{b\times y}}}={\displaystyle {\frac {a}{by}}}

নিয়ম ৫

\blacksquare

ধরন ০১:

{\displaystyle {\frac {a}{b}}}\div {\displaystyle {\frac {z}{x}}}={\displaystyle {\frac {a}{b}}}\times {\displaystyle {\frac {x}{z}}}={\displaystyle {\frac {a\times x}{b\times z}}}={\displaystyle {\frac {ax}{bz}}}

\blacksquare

ধরন ০২:

{\displaystyle {\frac {a}{b}}}\div x={\displaystyle {\frac {a}{b}}}\div {\displaystyle {\frac {x}{1}}}={\displaystyle {\frac {a}{b}}}\times {\displaystyle {\frac {1}{x}}}={\displaystyle {\frac {a\times 1}{b\times x}}}={\displaystyle {\frac {a}{bx}}}

\blacksquare

ধরন ০৩:

{\displaystyle {\frac {a}{b}}}\div {\displaystyle {\frac {1}{z}}}={\displaystyle {\frac {a}{b}}}\times {\displaystyle {\frac {z}{1}}}={\displaystyle {\frac {a\times z}{b\times 1}}}={\displaystyle {\frac {az}{b}}}

$\blacktriangleright$ ব্যাখ্যা:

একটি রাশির সাথে অন্য একটি রাশি ভাগ অবস্থায় থাকলে, দ্বিতীয় রাশির লব হরে এবং হর লবে পরিণত করে, সেটিকে প্রথম রাশির সাথে গুণ করতে হয়।

নিয়ম ৬

xy=yx

$\blacktriangleright$ ব্যাখ্যা:

গুণের ক্ষেত্রে সংখ্যার স্থান পরিবর্তন (বা অদল-বদল) করা যায়।

যেমন:

2\times 3=6

আবার,

3\times 2=6

সুতরাং,

3\times 2=2\times 3=6

নিয়ম ৭

{\displaystyle {\frac {\displaystyle {\frac {a}{b}}}{\displaystyle {\frac {x}{y}}}}}={\displaystyle {\frac {a}{b}}}\div {\displaystyle {\frac {x}{y}}}

[নিয়ম ২ অনুসারে।]

={\displaystyle {\frac {a}{b}}}\times {\displaystyle {\frac {y}{x}}}={\displaystyle {\frac {a\times y}{x\times b}}}

[নিয়ম ৪ (ধরন ০১) অনুসারে।]

={\displaystyle {\frac {ay}{bx}}}

[নিয়ম ৩ অনুসারে।]

নিয়ম ৮

a(x+y)=a\times (x+y)=ax+ay

$\blacktriangleright$ ব্যাখ্যা:

এখানে প্রথম বন্ধনীর ভেতর দু'টি পদ রয়েছে। আর তা

a

-এর সাথে গুণ অবস্থায় আছে। যেহেতু এখানে গুণ্য

a

-এর সাথে দু'টি পদ গুণ অবস্থায় আছে সেহেতু গুণ্য

a

দ্বারা উভয় পদকেই (অর্থাৎ, গুণক '

(x+y)

' কে) আলাদা আলাদা ভাবে গুণ করতে হবে।

যেমন:

3(2+3)=3\times (2+3)=6+9=15

অথবা,

3(2+3)=6+9=15

(দ্রষ্টব্য: এটি প্রচলিত নিয়ম।)

নিয়ম ৯

(a+b)(y+z)

=a(y+z)~+~b(y+z)

=ay+az~+~by+bz

[নিয়ম ৮ অনুসারে।]

অথবা,

(a+b)(y+z)

=y(a+b)+z(a+b)

=ya+yb+za+zb

[নিয়ম ৮ অনুসারে।]

=ya+za+yb+zb

[নিয়ম ১ অনুসারে।]

=ay+az+by+bz

[নিয়ম ৬ অনুসারে।]

যেমন:

(2+3)(5+7)

=2(5+7)~+~3(5+7)

=\{(2\times 5)+(2\times 7)\}~+~\{(3\times 5)+(3\times 7)\}

=(10+14)~+~(15+21)

=24~+~36

=60

নিয়ম ১০

\blacksquare

ধরন ০১:

-(a-b+y-z)

=-a+b-y+z

\blacksquare

ধরন ০২:

+(a-b+y-z)

=a-b+y-z

$\blacktriangleright$ ব্যাখ্যা:

বন্ধনীর (Bracket) আগে বিয়োগ (

-

) চিহ্ন থাকলে, বন্ধনী তুলে দিলে ভেতরের পদসূমহের প্রক্রিয়া চিহ্নসূমহ (গুণ

(\times )

এবং ভাগ

(\div )

বাদে) তথা যোগ

(+)

এবং বিয়োগ

(-)

পরিবর্তিত হয় (ধরন ০১)। কিন্তু, (বন্ধনীর আগে) যোগ (

+

) চিহ্ন থাকলে, বন্ধনী তুলে দিলে তা (ভেতরের পদসূমহের

+

বা

-

চিহ্ন পরিবর্তিত) হয় না (ধরন ০২)।

যেমন:

ধরণ	উদাহরণ	উদাহরণ ২
০১.	$-(3-4+10\div 2)$ $=-(3-4+5)$ $=-3+4-5$ $=-8+4$ $=-4$	$-(6$ এর $3-43+2-[5\div 5+76\times 1]5-1)$ $=-(18-43+2-[5\div 5+75\times 1]5-1)$ $=-(18+2-43-[5\div 5+75\times 1]5-1)$ $=-(20-43-[5\div 5+75\times 1]5-1)$ $=-(-23-[5\div 5+75\times 1]5-1)$ $=-(-23-[5\div 5+75\times 1]4)$ $=-(-23-[1+75\times 1]4)$ $=-(-23-[1+75]4)$ $=-(-23-[76]4)$ $=-(-23-76$ এর $4)$ $=-(-23-304)$ $=-(-327)$ $=+327$ $=327$
০২.	$+(3-4+10\div 2)$ $=(3-4+10\div 2)$ $=3-4+5$ $=8-4$ $=4$	$5-1+[6-7\times 6\div 2+(5-7+3)7]$ $=5-1+[6-7\times 6\div 2+(5+3-7)7]$ $=5-1+[6-7\times 6\div 2+(8-7)7]$ $=5-1+[6-7\times 6\div 2+(1)7]$ $=5-1+[6-7\times 6\div 2+1$ এর $7]$ $=5-1+[6-7\times 6\div 2+7]$ $=5-1+[6-7\times 3+7]$ $=5-1+[6-21+7]$ $=5-1+[6+7-21]$ $=5-1+[13-21]$ $=5-1+[-8]$ $=5-1-8$ $=5-9$ $=-4$

নিয়ম ১১

a

=+a

$\blacktriangleright$ ব্যাখ্যা:

কোনো (বীজগণিতীয় বা পাটিগণিতীয়) রাশির পূর্বে কোনো (প্রক্রিয়া) চিহ্ন না থাকলে, সেখানে যোগ

(+)

চিহ্ন ধরে নিতে হয়। কিন্তু এই যোগ

(+)

চিহ্ন সাধারণত না লেখাই শ্রেয়।

নিয়ম ১২

গুণের ক্ষেত্রে $(+)$ এবং $(-)$ চিহ্নের ব্যবহার:

চিহ্ন	চিহ্ন	$=$	ফলাফল	উদাহরণ	ব্যাখ্যা
$~+$	$~+$	$=$	$~~~~+$	$~5\times 3=15$	$=(+5)\times (+3)=+15$
$~-$	$~-$	$=$	$~~~~+$	$~-5\times -3=15$	$=(-5)\times (-3)=+15$
$~-$	$~+$	$=$	$~~~~-$	$~-5\times 3=-15$	$=(-5)\times (+3)=-15$
$~+$	$~-$	$=$	$~~~~-$	$~5\times -3=-15$	$=(+5)\times (-3)=-15$

$\blacktriangleright$ ব্যাখ্যা:

একই চিহ্নযুক্ত [যথা–

(+,+)

অথবা

(-,-)

] রাশির গুণের ক্ষেত্রে প্লাস (

+

) হয়। আর বিপরীত চিহ্নযুক্ত [যথা–

(+,-)

অথবা

(-,+)

] রাশির গুণের ক্ষেত্রে মাইনাস্ (

-

) হয়।

নিয়ম ১৩

যোগের ক্ষেত্রে $(+)$ এবং $(-)$ চিহ্নের ব্যবহার:

চিহ্ন	চিহ্ন	$=$	ফলাফল	উদাহরণ	ব্যাখ্যা
$~+$	$~+$	$=$	$~~~~+$	$~5+3=8$	$=(+5)+(+3)=+8$
$~-$	$~-$	$=$	$~~~~-$	$-5-3=-8$	$=(-5)+(-3)=-8$
$~-$	$~+$	$=$	$~-/+$	$-5+3=-2$ $-3+7=4$	$=(-5)+(+3)=-2$ $=(-3)+(+7)=(+7)+(-3)=7-3=+4$
$~+$	$~-$	$=$	$~-/+$	$3-7=-4$ $5-3=2$	$=(+3)+(-7)=-4$ $=(+5)+(-3)=+2$