ক্রমবর্তী সিমপ্লেক্স

একটি ক্রমবর্তী সিমপ্লেক্স বা ক্রমবর্তী n-সিমপ্লেক্স এর ধারণা বোঝা যায় যদি আমরা ত্রিমাত্রিক $\mathbb {R} ^{3}$ ইউক্লিডিয়ান জগতে এর উদারণ দেখি। ত্রিমাত্রিক জগতে n এর মান 0, 1, 2 বা 3 হতে পারে। এখানে একটা ক্রমবর্তী 0-সিমপ্লেক্স হচ্ছে একটা বিন্দু P. ক্রমবর্তী 1-সিমপ্লেক্স হচ্ছে একটা দিগবর্তী বা সদিক রেখাংশ $P_{1}P_{2}\,$ . অর্থাৎ $P_{1}\,$ এর সাথে $P_{2}\,$ এর সংযোগ কারে রেখা যেটাকে $P_{1}\,$ থেকে $P_{2}\,$ এর দিকে বিবেচনা করা হবে। দিগবর্তী হবার কারণে $P_{1}P_{2}\not =P_{2}P_{1}\,$. যদিও ধরা হবে $P_{1}P_{2}=-P_{2}P_{1}\,$ একটা ক্রমবর্তী 2-সিমপ্লেক্স হচ্ছে একটি ত্রিকোনাকার ক্ষেত্র $P_{1}P_{2}P_{3}\,$ যেখানে এই ত্রিভুজের শীর্ষগুলো একটা নির্দিষ্ট ক্রমে অনুসরণ(ট্রাভারস) করা হয়। একারণে $P_{1}P_{2}P_{3}\,$এবং $P_{2}P_{3}P_{1}\,$ বা $P_{3}P_{1}P_{2}\,$ এর ক্রম একই ধরা হয়। এবং $P_{3}P_{2}P_{1}\,$ বা $P_{1}P_{3}P_{2}\,$ এদেরকে ধরা হয় বিপরীত ক্রমে। অর্থাৎ, আমরা লিখতে পারি,

ক্রমবর্তী সিমপ্লেক্স

$P_{1}P_{2}P_{3}=P_{2}P_{3}P_{1}=P_{3}P_{1}P_{2}=-P_{3}P_{2}P_{1}=-P_{1}P_{3}P_{2}=-P_{2}P_{1}P_{3}\,$

খেয়াল করুন যে, $P_{i}P_{j}P_{k}$ এবং $P_{1}P_{2}P_{3}$ সমান হবে যদি

${\begin{pmatrix}1&2&3\\i&j&k\end{pmatrix}}$

একটি জোড় বিন্যাস বা ইভেন পারমুটেশন হয়। এবং $-P_{1}P_{3}P_{2}\,$ এর সমান হবে যদি বেজোড় বিন্যাস বা অড পারমুটেশন হয়। এই একই যুক্তিতে একটা ক্রমবর্তী 1-সিমপ্লেক্স $P_{1}P_{2}\,$ এর চিহ্ন (ধনাত্বক/ঋনাত্বক) বের করা সম্ভব। লক্ষ্যণীয় যে n = 0, 1, 2... এর জন্য একটা ক্রমবর্তী n-সিমপ্লেক্স হচ্ছে একটা n-মাত্রিক বস্তু (বা n - ডাইমেনশনাল অবজেক্ট)

এখান থেকে আমরা ক্রমবর্তী 3-সিমপ্লেক্সের ধারণা পেতে পারি। একটি ক্রমবর্তী 3-সিমপ্লেক্স হচ্ছে চারটি ভার্টেক্সের একটা অরডার্ড সিকুয়েন্স বা (ক্রমাত্বক ধারা) $P_{1}P_{2}P_{3}P_{4}$ যারা একটা টেট্রাহেড্রন এর চারটি শীর্ষ যেখানে $P_{1}P_{2}P_{3}P_{4}=\pm P_{i}P_{j}P_{k}P_{l}$। এখানে চিহ্ন নির্ধারণ হয়,

${\begin{pmatrix}1&2&3&4\\i&j&k&l\end{pmatrix}}$

বিন্যাসটি জোড় না বেজোড় তার উপর ভিত্তি করে।

একই পদ্ধতিতে ক্রমবর্তী সিমপ্লেক্সের ধারণা $n>3\,$ মাত্রায় উন্নিত হয়। যেখানে ভার্টেক্স গুলো n-মাত্রিক জগতে একেকটি বিন্দু নির্দেশ করে। এবং তাদের ক্রমের দিক চিহ্ন পূর্বে বর্ণিত বিন্যাস মেট্রিক্স পদ্ধতিতে নির্ধারিত হয়।