আর্কিমিডিসের নীতি

আর্কিমিডিসের নীতি অনুসারে তরল-এ সম্পূর্ণ বা আংশিকভাবে নিমজ্জিত কোনও বস্তুর ঊর্ধ্বগামী প্লবমান বল হল ঐ তরলকে তার স্থানান্তরিত করা ওজন-এর সমান। আর্কিমিডিসের নীতিটি ফ্লুইড মেকানিক্স-এর একটি মৌলিক পদার্থবিজ্ঞানের নিয়ম। এটির উদ্ভাবক সিরাকিউজ-এর আর্কিমিডিস।

ব্যাখ্যা

একটি ভাসমান জাহাজের ওজন F_p এবং এর প্লবতা F_a (পাঠ্যে F_b) এর সমান হতে হবে।

ভাসমান বস্তু সম্পর্কে আর্কিমিডিসের বক্তব্য (খ্রিস্টপূর্ব ২৪৬):

সম্পূর্ণ বা আংশিকভাবে তরল বা তরলে নিমজ্জিত যে কোনও বস্তুর দ্বারা স্থানান্তরিত তরলের ওজনের সমান হয় ঊর্ধ্বগামী প্লবমান বল।

আর্কিমিডিসের নীতি থেকে কোনও তরল পদার্থে আংশিক বা সম্পূর্ণ নিমজ্জিত কোনও ভাসমান বস্তুর প্লবতা পরিমাপ করা যায়। বস্তুটির নিম্নগামী বল হ'ল কেবল তার ওজন। বস্তুতে উপরের দিকে প্রয়োগ করা প্লবমান বল আর্কিমিডিসের নীতি বর্ণিত উপায়ে নির্ণয় করা যাবে। সেই অনুসারে বস্তুর নেট বল হ'ল প্লবমান বলের পরিমাণ এবং এর ওজনের মধ্যের পার্থক্য। এই নেট বলটি যদি বেশি (ধণাত্মক মাণ) হয় তবে বস্তুটি ভেসে উঠবে; কম (ঋণাত্মক মাণ) হলে বস্তু ডুবে যাবে; এবং যদি শূন্য হয় তবে বস্তুটি নিরপেক্ষভাবে ভাসবে — অর্থাৎ এটি উত্থিত বা ডুবে না গিয়ে ভাসমান অবস্থানে থেকে যাবে। সোজা কথায় আর্কিমিডিসের নীতিতে বলা হয়েছে যে যখন কোনও বস্তু আংশিক বা সম্পূর্ণ তরলে নিমজ্জিত হয় তখন এটির ওজনের আপাতভাবে হ্রাস হয় যা বস্তুর নিমজ্জিত অংশ দ্বারা স্থানান্তরিত তরলের ওজনের সমান হয়।

M10-40

একটি নিমজ্জিত ঘনকের উপর চাপ বিতরণ

তরলে নিমজ্জিত একটি ঘনবস্তু বিবেচনা করা যাক যার একটি দিক (তাই দুটি তল: শীর্ষ এবং নীচে) মহাকর্ষের সাথে লম্ব (ঘনকটির প্রসার ধ্রুবক ধরে নেওয়া হয়েছে) ভাবে অবস্থাণ করছে। উভয় তলের প্রতিটিতে তরল সাধারণ বল প্রয়োগ করবে। কিন্তু কেবল উপরে এবং নীচে স্বাভাবিক বল হিসাবে কাজ করবে প্লবতা। নীচের এবং শীর্ষের মধ্যে চাপ-এর পার্থক্যটি সরাসরি উচ্চতার সমানুপাতিক হবে (নিমজ্জনের গভীরতার পার্থক্য)। চাপের এই পার্থক্যে ঘনকের উপর একটি বল প্রযুক্ত হয়। এরই নাম প্লবতা এবং সেটি ঘনক দ্বারা স্থানান্তরিত তরলটির ওজনের সমান হয়। পর্যাপ্ত পরিমাণে ছোট ছোট ঘণকের সংশ্লেষ করে এই যুক্তিটি অনিয়মিত আকারের ক্ষেত্রেও প্রসারিত করা যেতে পারে। এতেই প্রতীয়মান হবে যে নিমজ্জিত বস্তুর আকার যাই হোক না কেন উৎপন্ন বলটি স্থানচ্যুত তরলের ওজনের সমান হবে।

অপসারিত তরলের ওজন = শূণ্যস্থানে বস্তুর ওজন - তরলে বস্তুর ওজন

অপসারিত তরলের ওজন হ'ল অপসরিত তরলের পরিমাণের সমানুপাতিক (যদি পার্শ্ববর্তী তরল অভিন্ন ঘনত্বের হয়)। তরল পদার্থের ওজন হ্রাস হয় কারণ এতে চাপ প্রযুক্ত হয় যাকে উত্সাহ বলা হয়। সহজ কথায় বলা যায় যে কোনও বস্তুর প্লবমান বল (F_b) বস্তু দ্বারা অপসারিত তরল পদার্থের ওজনের সমান বা তরলের ঘনত্ব (ρ) দ্বারা নিমজ্জিত আয়তনের (V) সাথে মহাকর্ষ-এর (g) গুণ বৃদ্ধি করে।

আমরা সমীকরণ দিয়ে এই সম্পর্কটি প্রকাশ করতে পারি:

$F_{b}=\rho gV$

যেখানে $F_{b}$ (চিত্রে F _a )নিমজ্জিত বস্তুর উপরে প্রয়োগ করা প্লব বলকে বোঝায়, $\rho$ তরলের ঘনত্বকে বোঝায় , $V$ অপসরিত তরলের আয়তনকে বোঝায় এবং মাধ্যাকর্ষণ এর কারণে $g$ ত্বরণ। সুতরাং সমান ভরের সম্পূর্ণ নিমজ্জিত বস্তুর আয়তন বৃহত্তর হলে তার প্লবতাও বেশি হবে।

ধরা যাক মহাকর্ষ শূন্য স্থান-এ সূতো দিয়ে ঝুলিয়ে কোনও শিলার ওজন পরিমাপ করে পাওয়া গেল ১০ নিউটন। এও ধরা যাক শিলাটিকে জলে নামানোর পর তার অপসারিত জলের ওজন হল ৩ নিউটন। এটি যে সূতো থেকে ঝোলানো তাতে যে প্রয়ুক্ত বল হবে তা হ'ল ১০ নিউটন এবং ৩ নিউটনের বিয়োগফল সমন প্লবমান বল: ১০ - ৩ = ৭ নিউটন। প্লবতার কারণে সমুদ্র তলে পুরো ডুবে থাকা বস্তুটির আপাত ওজন হ্রাস পায়। সেই কারণে জলের বাইরে টানার চেয়ে জলের মধ্যে কোনও জিনিসকে তোলা সহজ।

সম্পূর্ণ ডুবে থাকা বস্তুর জন্য আর্কিমিডিসের নীতির নীচের সংশোধনটি করা যেতে পারে:

আপাত নিমজ্জিত ওজন = বস্তুর ওজন - স্থানচ্যুত তরলের ওজন

এরপরে পারস্পরিক আয়তনের যে প্রসারণ হয়েছে তার সন্নিবেশিত ওজনের ভাগফল

${\frac {\text{density of object}}{\text{density of fluid}}}={\frac {\text{weight}}{\text{weight of displaced fluid}}}$

যার থেকে নীচের সূত্রটি বের করা যায়। তরলের ঘনত্বের সাথে সম্পর্কিত নিমজ্জিত বস্তুর ঘনত্ব কোনও আয়তন পরিমাপ না করে সহজেই গণনা করা যায়

${\frac {\text{density of object}}{\text{density of fluid}}}={\frac {\text{weight}}{{\text{weight}}-{\text{apparent immersed weight}}}}.\,$

(এই সূত্রটি উদাহরণ হিসাবে একটি ডিসাইমিটার এবং হাইড্রোস্ট্যাটিক ওজন এর পরিমাপ নীতি বর্ণনা করার জন্য ব্যবহৃত হয়।)

উদাহরণ: কাঠকে জলে ফেলে দিলে তার প্লবতার কারণে সেটি তাৎক্ষণিকভাবে ভেসে থাকবে।

উদাহরণ: চলন্ত গাড়িতে একটি হিলিয়াম বেলুন রাখা হল। যখন গাড়ির গতি বাড়ানো হবে বা কোনও বক্রপথে চালানো হবে তখন গাড়ির ত্বরণের বিপরীতে বাতাস বইবে। কিন্তু প্লবতার কারণে বেলুনটি হাওয়ার দ্বারা "পথ থেকে দূরে" চালিত হবে এবং সঞ্চারণ ঘটবে গাড়ির ত্বরণের অভিমুখে।

যখন কোনও বস্তুকে তরলে নিমজ্জিত করা হয তখন তরলটি একটি উর্ধ্বমুখী বল প্রয়োগ করে যা প্লবমান বল হিসাবে পরিচিত। এটি স্থানচ্যুত তরলের ওজনের সমানুপাতিক হয়। বস্তুর উপর প্রযুক্ত বলের সমষ্টি তখন হবে বস্তুর ওজন ('নিচের দিকের' বল) এবং স্থানচ্যুত তরলের ওজনের ('উপরের দিকের' বল) মধ্যে পার্থক্যের সমান। যখন এই দুটি ওজন (এবং এভাবে বল) সমান হয় তখন বস্তুটি ভারসাম্য বা নিরপেক্ষ প্লবতা অর্জন করে।

বল এবং ভারসাম্য

তরলের ভিতরে ভারসাম্যের চাপ গণনা করার সমীকরণটি হ'ল:

$\mathbf {f} +\operatorname {div} \,\sigma =0$

যেখানে f হ'ল তরলের উপর কোনও বাহ্যিক ক্ষেত্র দ্বারা প্রযুক্ত শক্তি ঘনত্ব এবং σ হ'ল কাউচি পীড়ন টেনসর। এক্ষেত্রে পীড়ন টেনসরটি পরিচায়ক টেনসারের সমানুপাতিক হয়:

$\sigma _{ij}=-p\delta _{ij}.\,$

এখানে δ_ij হ'ল ক্রোনেকার ডেল্টা। এটি ব্যবহার করে উপরের সমীকরণটি পাওয়া যায়:

$\mathbf {f} =\nabla p.\,$

ধরে নেওয়া হয়েছে বাহ্যিক বলের ক্ষেত্রটি রক্ষণশীল। অর্থাৎ স্কেলার ভ্যালুড ফাংশনের ঋণাত্মক নতি হিসাবে লেখা যেতে পারে:

$\mathbf {f} =-\nabla \Phi .\,$

তাহলে:

$\nabla (p+\Phi )=0\Longrightarrow p+\Phi ={\text{constant}}.\,$

সুতরাং একটি তরলের খোলা পৃষ্ঠের আকৃতি বাইরের রক্ষণশীল বল ক্ষেত্রের সমকক্ষ তলের সমান হয়। ধরা যাক z-অক্ষটি নীচের দিক নির্দেশ করে। এ ক্ষেত্রে সেটির মাধ্যাকর্ষণ Φ = −ρ_fgz যেখান g হল মাধ্যাকর্ষজ ত্বরণ, ρ_f হল তরলের ভরের ঘনত্ব। এখন পৃষ্ঠে চাপ শূন্য ধরে নিলে (যেখানে z শূ্ন্য) মাধ্যাকর্ষণের সাপেক্ষে যেহেতু তরলের অভ্যন্তরে চাপ শূন্য হয় তাই ধ্রুবকটি শূন্য হবে।

$p=\rho _{f}gz.\,$

সুতরাং তরলের পৃষ্ঠের নীচে গভীরতার সাথে সাথে চাপ বৃদ্ধি পায় যেহেতু z তরল পৃষ্ঠ থেকে বস্তুর দূরত্বকে বোঝায়। শূন্য নয় এমন উল্লম্ব গভীরতায় কোনও বস্তুর উপরে এবং নীচে চাপের পার্থক্য থাকবে এবং নীচের দিকে চাপ আরও বেশি থাকবে। চাপের এই পার্থক্যই উর্ধ্বমুখী প্লবমান বলের কারণ হয়।

যেহেতু তরলের আভ্যন্তরীণ চাপ জানা আছে সুতরাং বস্তুতে প্রযুক্ত প্লবমান বল খুব সহজেই হিসাব করে বের করা যায়। তরলের সংস্পর্শে বস্তুর তলের উপর স্ট্রেস টেনসরের একীকরণ দ্বারা বস্তুতে প্রযুক্ত চাপ গণনা করা যেতে পারে:

$\mathbf {B} =\oint \sigma \,d\mathbf {A} .$

গাউস উপপাদ্য এর সহায়তায় পৃষ্ঠের অবিচ্ছেদ্যকে আয়তনের অবিচ্ছেদে রূপান্তর করা যেতে পারে:

$\mathbf {B} =\int \operatorname {div} \sigma \,dV=-\int \mathbf {f} \,dV=-\rho _{f}\mathbf {g} \int \,dV=-\rho _{f}\mathbf {g} V$

যেখানে V হল তরলের সংস্পর্শে থাকা আয়তনের পরিমাণ অর্থাৎ বস্তুটির নিমজ্জিত অংশের আয়তন (যেহেতু তরল তার বাইরে থাকা বস্তুর অংশে বল প্রয়োগ করেনা)।

প্লবতার মাত্রা নিম্নলিখিত যুক্তি থেকে কিছুটা সহজে বোঝানো যেতে পারে। তরল বেষ্টিত যে কোনও আকৃতির বস্তুর আয়তন মনে করা যাক V। তরলে থাকা বস্তুটির উপর তরল যে বল প্রয়োগ করবে তা বস্তুর ওজনের সমান হবে। এই বলটি মহাকর্ষী বলের বিপরীত দিকে প্রযুক্ত হয়। এটিই হল মাত্রা:

$B=\rho _{f}V_{\text{disp}}\,g,\,$

যেখানে ρ_f তরল পদার্থের ঘনত্ব, V_disp হ'ল তরল পদার্থের স্থানচ্যুত আয়তন এবং g হ'ল ঐ স্থানের অভিকর্ষজ ত্বরণ।

যদি তরলের এই আয়তনটি ঠিক একই আকারের কঠিন বস্তু দ্বারা প্রতিস্থাপিত করা হয় তবে তার উপরও তরলটি অবশ্যই উপরের মতোই বল প্রয়োগ করবে। অন্য কথায় নিমজ্জিত বস্তুর "প্লবমান বল" মহাকর্ষের বিপরীত দিকে পরিচালিত হবে এবং তা পরিমাণে সমান মাত্রার হবে

$B=\rho _{f}Vg.\,$

যদি আর্কিমিডিসের নীতি প্রযোজ্য হয় তবে বস্তুটিতে আরোপিত নেট বল অবশ্যই শূন্য হতে হবে এবং সে জন্যে প্লবমান বল ও বস্তুর ওজনের সমষ্টি সমান হবে

$F_{\text{net}}=0=mg-\rho _{f}V_{\text{disp}}g\,$

যদি কোনও বস্তুর প্লবতা তার ওজনের থেকে বেশি হয় তবে সেটির ভেসে ওঠার প্রবণতা দেখা যাবে। বস্তুর প্লবতা তার ওজনের থেকে কম হলে সেটি ডুবে যাবে। নিমজ্জিত বস্তুর উপরে ত্বরণ কালীন সময়ে উর্ধ্বমুখী বলের গণনা কেবল মাত্র আর্কিমিডস নীতি দ্বারা করা যায় না; সেই সঙ্গে প্লবতার সাথে জড়িত বস্তুটির গতিশীলতাও বিবেচনা করা প্রয়োজন হয়। একবারে সম্পূর্ণরূপে ডুবে তরলের মেঝেতে পৌঁছে গেলে অথবা তরলে পৃষ্ঠের উপরে সম্পূর্ণ ভেসে উঠে স্থির হয়ে গেলে তবেই আর্কিমিডিস নীতিটির এককভাবে প্রয়োগ করা যেতে পারে। ভাসমান বস্তুর ক্ষেত্রে কেবল নিমজ্জিত আয়তনটুকুই জল স্থানচ্যুত করে। কিন্তু ডুবে যাওয়া বস্তুর ক্ষেত্রে পুরো আয়তনেরই জল স্থানচ্যুত হয় এবং কঠিন তল থেকেও অতিরিক্ত বলের প্রতিক্রিয়া কার্যকর হয়।

আর্কিমিডিসের নীতি এককভাবে ব্যবহার করতে বস্তুটিকে ভারসাম্যে থাকতে হবে (বস্তুর উপরে প্রযুক্ত বলের সমষ্টি অবশ্যই শূন্য হতে হবে) তাই;

$mg=\rho _{f}V_{\text{disp}}g,\,$

এবং সেইজন্য

$m=\rho _{f}V_{\text{disp}}.\,$

এখানে পৃথিবীতে যে কোনও অবস্থানে মাধ্যাকর্ষণ ক্ষেত্র নির্বিশেষে ভাসমান বস্তু যে গভীরতায় ডুবে যাবে এবং বস্তু দ্বারা স্থানচ্যুত তরলের আয়তন দেখাচ্ছে।

( দ্রষ্টব্য: যদি বিবেচ্চ্য তরলটি সমুদ্র জল হয় তবে যে কোনও স্থানে একই ঘনত্ব (ρ) হবে না। সেই কারণে জাহাজ প্লেসমোল লাইন দেখাতে পারে।)

প্লবতা এবং মাধ্যাকর্ষণ ছাড়াও অন্য কোনও বলও এর কারণ হতে পারে। যদি বস্তুটিকে সংযত করা হয় বা যদি সেটি শক্ত তলে ডুবে থাকে তবে এমনটা হতে পারে। কোনও বস্তু যার ভেসে থাকার প্রবণতা আছে তার প্রয়োজন সম্পূর্ণ ডুবে থাকার টান বল T এর। কোনও বস্তু যার ডুবে থাকার প্রবণতা আছে তার ঘটনাক্রমে কঠিন তলের দ্বারা প্রযু্ক্ত স্বভাবিক বল N থাকে। স্প্রিং মাপনযন্ত্রে তরলে নিমজ্জিত অবস্থায় বস্তুটির ওজন নিলে বস্তুর আপাত ওজন তথা ঐ এই সীমাবদ্ধ বলটি নিরূপিত হবে।

যদি বস্তুটি ভেসে উঠতে থাকে তবে তার পুরোপুরি নিমজ্জিত হওয়াকে সংযত করার টান হ'ল:

$T=\rho _{f}Vg-mg.\,$

যখন ডুবন্ত বস্তুটি নীচের কঠিন তলে পোঁছে স্থির হয়ে যাবে তখন সাধারণ বল অনুভূত হবে:

$N=mg-\rho _{f}Vg.\,$

কোনও বস্তুর প্লবতা হিসাবের আর একটি সম্ভাব্য সূত্র হল বাতাসেই ঐ বস্তুর আপাত ওজন নির্ণয় করা (নিউটনে গণনা করে) এবং জলের (নিউটনে) সেই বস্তুর আপাত ওজন বের করা। বাতাসে থাকা বস্তুটির এই তথ্য নিয়ে প্লবতা বের করার সূত্রটি হল:

প্লবতা = শূন্যস্থানে বস্তুর ওজন − তরলে নিমজ্জিত বস্তুর ওজন

চূড়ান্ত ফলাফলটি নিউটনে পরিমাপ করা হবে।

বায়ুতে করা বেশিরভাগ পরিমাপে বায়ুর প্লবতা এতই নগন্য থাকে যে তার কারণে ঘটা ত্রুটিকে অবহেলা করা চলতে পারে (বেলুন বা হালকা ফেনার মতো খুব নিম্ন গড় ঘনত্বের বস্তু ছাড়া তা সাধারণত ০.১% এর কম থাকে) ।