উপসেট: সংশোধিত সংস্করণের মধ্যে পার্থক্য
বিষয়বস্তু বিয়োগ হয়েছে বিষয়বস্তু যোগ হয়েছে
অসম্পাদনা সারাংশ নেই |
কিছু অনুবাদ |
||
১৪ নং লাইন:
যদি ''A'' ''B''-এর উপসেট হয়, কিন্তু ''A'' ও ''B'' সমান না হয়, তবে ''A'' হচ্ছে ''B''-এর ''প্রকৃত'' উপসেট। একে লেখা হয় ''A'' ⊂ ''B'' এভাবে। অর্থাৎ, ''B''-তে এমন একটি উপাদান ''x'' আছে যা ''A''-তে নেই। একইভাবে, ''B'' ⊃ ''A'' দ্বারা বোঝায় ''B'' ''A''-এর প্রকৃত অধিসেট।
==প্রতীক==
উপসেটের প্রতীকগুলো মনে রাখার সহজ উপায় হল ⊆ ও ⊂ -এর সাথে ≤ ও < -এর সাদৃশ্য লক্ষ্য করা। যেমন, যদি ''A'', ''B''-এর একটি উপসেট হয় (অর্থাৎ ''A'' ⊆ ''B''), তবে ''A''-এর উপাদানগুলোর সংখ্যা ''B''-এর উপাদানগুলোর সংখ্যার চেয়ে হয় কম, না হলে সমান (অর্থাৎ |''A''| ≤ |''B''|)। একইভাবে যদি ''A'' ও ''B'' [[সসীম সেট]] হয়, তবে ''A'' ⊂ ''B'' নির্দেশ করে |''A''| < |''B''|।
অনেক লেখক ওপরের রীতিটি অনুসরণ করেন না, বরং ⊂ ব্যবহার করে উপসেট নির্দেশ করেন (প্রকৃত উপসেট নয়)। প্রকৃত উপসেট নির্দেশ করার জন্য একটি দ্ব্যর্থতা নিরসনকারী প্রতীক রয়েছে, <math>\subsetneq</math> (বা [[ইউনিকোড]]-এ ব্যবহৃত চিহ্ন ⊊)। কোন কোন লেখক উপসেট নির্দেশ করার জন্য ⊆ এবং প্রকৃত উপসেট নির্দেশ করার জন্য <math>\subsetneq</math> ব্যবহার করেন এবং ⊂ একেবারেই ব্যবহার করেন না।
ওপরের মন্তব্যগুলো অধিসেটের জন্যও প্রযোজ্য।
==উদাহরণ==
* {1, 2} সেটটি {1, 2, 3} সেটের একটি প্রকৃত উপসেট।
* [[স্বাভাবিক সংখ্যা]]-র সেটটি [[মূলদ সংখ্যা]]-র সেটের একটি প্রকৃত উপসেট।
* {''x'' : ''x'' ২০০০-এর চেয়ে বড় একটি [[মৌলিক সংখ্যা]]} সেটটি {''x'' : ''x'' ১০০০-এর চেয়ে বড় একটি সংখ্যা} সেটের একটি উপসেট।
* যেকোন সেট তার নিজের একটি উপসেট, তবে প্রকৃত উপসেট নয়।
* [[খালি সেট]], যাকে ø দিয়ে নির্দেশ করা হয়, যেকোন প্রদত্ত সেট ''X''-এর একটি উপসেট (এই বিবৃতিটি একটি [[তুচ্ছ সত্য]], নিচে প্রমাণ দেখুন)। খালি সেট সব সময়ই একটি প্রকৃত উপসেট, কেবল নিজের ক্ষেত্র ছাড়া।
==ধর্মাবলি==
'''প্রস্তাবনা ১''': [[খালি সেট]] প্রতিটি সেটের একটি উপসেট।
প্রমাণ: Given any set ''A'', we wish to prove that ø is a subset of ''A''. This involves showing that all elements of ø are elements of ''A''. But there are no elements of ø.
For the experienced mathematician, the inference " ø has no elements, so all elements of ø are elements of ''A''" is [[vacuous truth|immediate]], but it may be more troublesome for the beginner. Since ø has no members at all, how can "they" be members of anything else?
It may help to think of it the other way around. In order to prove that ø was ''not'' a subset of ''A'', we would have to find an element of ø which was not also an element of ''A''. Since there are no elements of ø, this is impossible and hence ø is indeed a subset of ''A''.
The following proposition says that inclusion is a [[partial order]].
'''প্রস্তাবনা ২''': If ''A'', ''B'' and ''C'' are sets then the following hold:
:[[reflexive relation|reflexivity]]:
::*''A'' ⊆ ''A''
:[[antisymmetric relation|antisymmetry]]:
::*''A'' ⊆ ''B'' and ''B'' ⊆ ''A'' if and only if ''A'' = ''B''
:[[transitive relation|transitivity]]:
::*If ''A'' ⊆ ''B'' and ''B'' ⊆ ''C'' then ''A'' ⊆ ''C''
The following proposition says that for any set ''S'' the [[power set]] of ''S'' ordered by inclusion is a [[lattice (order)|bounded lattice]], and hence together with the distributive and complement laws for [[union (set theory)|unions]] and [[intersection (set theory)|intersections]] (see [[Algebra of sets#The fundamental laws of set algebra|The fundamental laws of set algebra]]), show that it is a [[Boolean algebra]].
'''প্রস্তাবনা ৩''': If ''A'', ''B'' and ''C'' are subsets of a set ''S'' then the following hold:
:existence of a [[greatest element|least element]] and a [[greatest element]]:
::* ø ⊆ ''A'' ⊆ ''S'' (that ø ⊆ ''A'' is Proposition 1 above.)
:existence of [[lattice (order)|joins]]:
::*''A'' ⊆ ''A''∪''B''
::*If ''A'' ⊆ ''C'' and ''B'' ⊆ ''C'' then ''A''∪''B'' ⊆ ''C''
:existence of [[lattice (order)|meets]]:
::*''A''∩''B'' ⊆ ''A''
::*If ''C'' ⊆ ''A'' and ''C'' ⊆ ''B'' then ''C'' ⊆ ''A''∩''B''
The following proposition says that, the statement "''A'' ⊆ ''B'' ", is equivalent to various other statements involving unions, intersections and [[complement (set theory)|complements]].
'''প্রস্তাবনা ৪''': For any two sets ''A'' and ''B'', the following are equivalent:
:*''A'' ⊆ ''B''
:*''A'' ∩ ''B'' = ''A''
:*''A'' ∪ ''B'' = ''B''
:*''A'' − ''B'' = ø
:*''B''′ ⊆ ''A''′
The above proposition shows that the relation of set inclusion can be characterized by either of the set operations of union or intersection, which means that the notion of set inclusion is axiomatically superfluous.
'''প্রস্তাবনা ৫''': If the number of elements of the set A is ''n'', then the number of all subsets of A is equal to 2^n
The proof of this is an exercise in induction.
==অন্তর্ভুক্তির অন্যান্য ধর্ম==
The usual order on the [[ordinal number]]s is given by inclusion.
For the [[power set]] of a set ''S'', the inclusion partial order is (up to an [[order-isomorphism]]) the [[Cartesian product]] of |''S''| (the [[cardinality]] of ''S'') copies of the partial order on {0,1}, for which 0 < 1.
| |||