সম্ভাবনা: সংশোধিত সংস্করণের মধ্যে পার্থক্য

বিষয়বস্তু বিয়োগ হয়েছে বিষয়বস্তু যোগ হয়েছে
Wildscop (আলোচনা | অবদান)
Wildscop (আলোচনা | অবদান)
split the page
১ নং লাইন:
'''সম্ভাবনা''' ([[ইংরেজি ভাষা|ইংরেজি ভাষায়]]: Probability) বা সম্ভাবনা তত্ত্ব হচ্ছে গণিতের একটি শাখা যেখানে গণনামূলকভাবে কোন [[ঘটনা]] বা [[দৈব পরীক্ষা]]-এর একটি নির্দিষ্ট ফলাফলে উপনীত হবার সম্ভাবনা বের করা হয়। [[বিন্যাস]] ও [[সমাবেশ]]-এর গবেষণা সম্ভাবনা নির্ণয়ে কাজে আসে। সম্ভাবনা [[পরিসংখ্যান|পরিসংখ্যানের]] অন্যতম ভিত্তি।
 
==প্রকাশ==
একটি [[ঘটনা]] ''A''-এর সম্ভাবনার সংজ্ঞা এভাবে দেয়া যেতে পারে: ধরা যাক ''A''-এর সম্ভাবনাকে ০ থেকে ১ এর মধ্যে একটি প্রকৃত রাশি দ্বারা প্রকাশ করা যায়, যাকে আমরা লিখি P(''A''), p(''A'') বা Pr(''A'')। কোনো ঘটনার সম্ভাবনা ০ হলে তাকে বলি অসম্ভব ঘটনা, এবং কোনো ঘটনার সম্ভাবনা ১ হলে তাকে বলি অবশ্যম্ভাবী ঘটনা। তবে মনে রাখা উচিত, শাব্দিক অর্থের সাথে পারিসাংখ্যিক সংজ্ঞার অর্থের পার্থক্য আছে - অসম্ভব ঘটনা ঘটা যেমন অসম্ভব না, তেমনি অবশ্যম্ভাবী ঘটনা নিঃসন্দেহে ঘটবেই - এমনটি নাও হতে পারে। এই সংজ্ঞা শুধু বলছে ঘটনাগুলির সম্ভাবনার কথা। এই ধারণাটি 'প্রায় দৃঢ়ভাবে' বলা বক্তব্যের কাছাকাছি।
 
==উদাহরণ==
 
দুটি নিটাল মুদ্রা বার বার নিক্ষেপ করা হলে মুদ্রার মাথা (H) বা উল্টা পিঠ (T) আসতে পারে। এই [[দৈব পরীক্ষা]]-এর [[নমুনাক্ষেত্র]] হবে S = {HH ,HT,TH ,TT}। ধরা যাক, একটি [[ঘটনা]] A = কমপক্ষে একটি মাথা (H) ফলাফল হিসেবে আসা। সেক্ষেত্রে A-এর স্বপক্ষে নমুনাবিন্দুগুলি হবে A = {HH ,HT,TH}। অতএব, A-এর সম্ভাবনা গণনার পদ্ধতি এরকম হবে: P(A) = {ঘটনা A -তে বিন্দুর সংখ্যা}/ {এই দৈব পরীক্ষার নমুনাক্ষেত্র S-এ বিন্দুর সংখ্যা} = ৩/৪ = ০.৭৫।
 
==গাণিতিক ব্যবহার==
একটি [[ঘটনা]] ''A''-এর সম্ভাবনার সংজ্ঞা এভাবে দেয়া যেতে পারে: ধরা যাক ''A''-এর সম্ভাবনাকে ০ থেকে ১ এর মধ্যে একটি প্রকৃত রাশি দ্বারা প্রকাশ করা যায়, যাকে আমরা লিখি P(''A''), p(''A'') বা Pr(''A'')। কোনো ঘটনার সম্ভাবনা ০ হলে তাকে বলি অসম্ভব ঘটনা, এবং কোনো ঘটনার সম্ভাবনা ১ হলে তাকে বলি অবশ্যম্ভাবী ঘটনা। তবে মনে রাখা উচিত, শাব্দিক অর্থের সাথে পারিসাংখ্যিক সংজ্ঞার অর্থের পার্থক্য আছে - অসম্ভব ঘটনা ঘটা যেমন অসম্ভব না, তেমনি অবশ্যম্ভাবী ঘটনা নিঃসন্দেহে ঘটবেই - এমনটি নাও হতে পারে। এই সংজ্ঞা শুধু বলছে ঘটনাগুলির সম্ভাবনার কথা। এই ধারণাটি 'প্রায় দৃঢ়ভাবে' বলা বক্তব্যের কাছাকাছি।
 
''A'' ঘটনার বিপ্রতীপ [''A'' বিপ্রতীপ] (যার অর্থ, ''A'' ঘটনাটি না ঘটা); আর সম্ভাবনাকে প্রকাশ করা যায় এভাবে P(''A'' বিপ্রতীপ) = 1 - P(''A'')।
 
যদি ''A'' এবং ''B'' ঘটনাসমূহ একটি দৈব পরীক্ষা-এ সম্পাদিত হয়, তবে ''A'' and ''B'' এর যুগ্ম সম্ভাবনাকে <math>P(A \cap B)</math> দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
 
যদি ''A'' এবং ''B'' অনপেক্ষ হয়, তবে ''A'' and ''B'' এর যুগ্ম সম্ভাবনাকে এভাবে প্রকাশ করা যায়:
 
:<math>P(A \mbox{ and }B) = P(A \cap B) = P(A) P(B),\,</math>
 
যদি ''A'' বা ''B'' পরস্পর বিচ্ছিন্ন ঘটনা না হয়, তবে ''A'' বা ''B'' এর সম্ভাবনাকে এভাবে লেখা হয়:
 
:<math>P(A\mbox{ or }B) = P(A \cup B)= P(A) + P(B)</math>
 
যদি ''A'' বা ''B'' পরস্পর বিচ্ছিন্ন ঘটনা হয়, তবে ''A'' বা ''B'' এর যুগ্ম সম্ভাবনাকে এভাবে প্রকাশ করা হয়:
 
:<math>\mathrm{P}\left(A \hbox{ or } B\right)=P(A \cup B)=\mathrm{P}\left(A\right)+\mathrm{P}\left(B\right)-\mathrm{P}\left(A \mbox{ and } B\right)</math>
 
''A'' ঘটনার সম্ভাবনা, আরেকটি ঘটনা ''B'' -এর সাপেক্ষে প্রকাশ করা হয় ''P''(''A''|''B'') দ্বারা, যা পড়া হয় এভাবে ""''A''-এর সম্ভাবনা, ''B''-এর সাপেক্ষে"। সংজ্ঞানুযায়ী
 
:<math>P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\,</math>
 
যদি <math>P(B)=0</math> তখন <math>P(A \mid B)</math>-এর সংজ্ঞা অনির্ণীত।
 
{| class="wikitable"
 
|+সম্ভাবনা সূত্রসমূহের সারাংশ
 
|-
 
!ঘটনা!!সম্ভাবনা
 
|-
 
|align=center|A||<math>P(A)\in[0,1]\,</math>
 
|-
 
|align=center|A বিপ্রতীপ||<math>P(A')=1-P(A)\,</math>
 
|-
 
|align=center|A বা B
(A এবং B পরস্পর বিচ্ছিন্ন)
 
|<math>\begin{align}
 
P(A\cup B) & = P(A)+P(B)-P(A\cap B) \\
 
& = P(A)+P(B) \qquad\mbox{(if A and B are mutually exclusive)}\\
 
\end{align}</math>
 
|-
 
|align=center|A এবং B
 
(A এবং B অনপেক্ষ)
 
|<math>\begin{align}
 
P(A\cap B) & = P(A|B)P(B) \\
 
& = P(A)P(B) \qquad\mbox{(if A and B are independent)}\\
 
\end{align}</math>
 
|-
 
|align=center|A, B -এর সাপেক্ষে
 
|<math>P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\,</math>
 
|}
 
==ইতিহাস==