বিটা অপেক্ষক

গণিত-এ বিটা অপেক্ষক (beta function) এক বিশেষ অপেক্ষক যা নিম্নলিখিতভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়-

বিটা অপেক্ষকের কনটুর প্লট

$\mathrm {\mathrm {B} } (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt\!$

${\textrm {Re}}(x)\,$ এর জন্য, ${\textrm {Re}}(y)>0.\,$

একে 'প্রথম প্রকারের অয়লার সমাকল'ও (Euler integral of the first kind) বলা হয়। বিটা অপেক্ষকের অধ্যয়ন অয়লার (Leonhard Euler) এবং ল্যাগ্রাঞ্জ (Adrien-Marie Legendre) করেছিলেন। বিটা অপেক্ষকের জন্য Β এর প্রয়োগ করা হয় যা গ্রিক বর্ণ 'বিটা' β এর বড় হাতের রূপ।

ধর্ম

$\mathrm {Re} (x)>0$ তথা $\mathrm {Re} (y)>0$ এর জন্য বিটা অপেক্ষককে গামা অপেক্ষক অনুসারে নিম্নলিখিতভাবেও সংজ্ঞায়িত করা যায়:

$B(x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.$

প্রমাণ

ধরা হলো যখন $\mathrm {Re} (x)>0$ তখন $\Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }u^{x-1}e^{-u}\mathrm {d} u$। অতএব (দ্বিতীয় লাইনে $u=zt,v=z(1-t)$ রূপান্তর প্রয়োগ করে) দেখা যায় যে ${\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&=\int _{u=0}^{\infty }\int _{v=0}^{\infty }e^{-(u+v)}u^{x-1}v^{y-1}\mathrm {d} u\mathrm {d} v\\&=\int _{z=0}^{\infty }\int _{t=0}^{1}e^{-z}z^{x+y-1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\mathrm {d} t\mathrm {d} z\\&=\Gamma (x+y)B(x,y)\end{aligned}}$ (যেখানে তৃতীয় লাইনে সমাকলনের বদলাতে ফুবিনি উপপাদ্যর প্রয়োগ নিহিত আছে।) $\mathrm {Re} (x)>0$ তথা $\mathrm {Re} (y)>0$ থাকলে $\Gamma (x+y)\neq 0$ হয়।

আরও দেখুন

• বেসল অপেক্ষক
• গামা অপেক্ষক

বহিঃসংযোগ

• • উল্ফ্রাম: বিটা অপেক্ষকের মান
  • danielsoper.com: বিটা অপেক্ষক গণক তথা নিয়মিত বিটা অপেক্ষক গণক