শূন্য দ্বারা ভাগ: সংশোধিত সংস্করণের মধ্যে পার্থক্য
বিষয়বস্তু বিয়োগ হয়েছে বিষয়বস্তু যোগ হয়েছে
ট্যাগ: মোবাইল সম্পাদনা মোবাইল ওয়েব সম্পাদনা উচ্চতর মোবাইল সম্পাদনা |
ট্যাগ: মোবাইল সম্পাদনা মোবাইল ওয়েব সম্পাদনা উচ্চতর মোবাইল সম্পাদনা |
||
২৮ নং লাইন:
৮৩০ খ্রীস্টাব্দে [[মহাবীর (গণিতবিদ)|মহাবীর]] তাঁর ''গণিত সার সংহিতা'' গ্রন্থে ব্রহ্মগুপ্তের ত্রুটি সংশোধনের ব্যর্থ প্রচেষ্টা করেন। এখানে তিনি লিখেন: ''কোন সংখ্যাকে শূন্য দ্বারা ভাগ করলে তা অপরিবর্তিত থাকে।'' <ref>[https://www.amazon.com/Nothing-that-Natural-History-Zero/dp/0195142373 The Nothing That Is: A Natural History of Zero],pp. 68–75; Robert Kaplan (1999), Oxford University Press, New York; ISBN 9780195142372
</ref>
==বীজগণিত==
কিছু সীমাবদ্ধতা থাকলেও মৌলিক পাটিগণিতে পূর্ণাঙ্গ সংখ্যার (ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা) যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগের বেলায় এ চারটি মৌলিক গাণিতিক প্রক্রিয়া, যে সব সংখ্যার উপর এই প্রক্রিয়াদি প্রয়োগ করা হয় সেই সব সংখ্যা নিয়ে গঠিত ক্ষেত্রের সম্প্রসারণে একটি সহায়ক কাঠামো হিসেবে ব্যবহৃত হয়। এই ক্ষেত্রে, কোন পূর্ণাঙ্গ সংখ্যা হতে অপর একটি পূর্ণাঙ্গ সংখ্যা বিয়োগ করা সম্ভবপর হলে সংখ্যাগুলোর ক্ষেত্রটি অবশ্যই [[পূর্ণ সংখ্যা]]র সমগ্র [[সেট]]ে সম্প্রসারিত হবে যাতে ঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যাসমূহ এতে অঙ্গীভূত (incorporate) হয়। একইভাবে, একটি পূর্ণ সংখ্যাকে আরেকটি পূর্ণ সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা সম্ভবপর হলে সংখ্যাগুলোর ক্ষেত্রটি অবশ্যই [[মূলদ সংখ্যা]]য় সম্প্রসারিত হবে। সংখ্যা ব্যবস্থার এই ক্রমবর্ধমান সম্প্রসারণ কালে, পুরাতন সংখ্যার উপর "বর্ধিত প্রক্রিয়াসমূহ" (extended operations) প্রয়োগের বেলায় সতর্কতা অবলম্বন করা হয় যাতে এই "বর্ধিত প্রক্রিয়াসমূহ" ভিন্ন কোন ফল উৎপাদন না করে। ঢিলেঢালাভাবে বলা যায়, পূর্ণাঙ্গ সংখ্যার বিন্যাসে শূন্য দ্বারা ভাগের কোন অর্থ না থাকায় এবং এটি ''অসংজ্ঞায়িত'' হওয়ায় এই বিন্যাসটি যে [[বাস্তব সংখ্যা]] এমনকি [[জটিল সংখ্যা]]য় সম্প্রসারিত হয় তার সত্যতা বের হয়ে আসে।
এই গাণিতিক প্রক্রিয়াগুলো প্রয়োগ করা যেতে পারে এমন সংখ্যা রাজ্য বা ক্ষেত্রটির সম্প্রসারণ ঘটায় এই গাণিতিক প্রক্রিয়াগুলোকে কিভাবে পর্যবেক্ষণ করা হয় সেক্ষেত্রেও পরিবর্তন ঘটে। যেমন— পূর্ণ সংখ্যার রাজ্যে বিয়োগ প্রক্রিয়াটিকে কোন মৌলিক প্রক্রিয়া হিসেবে বিবেচনা করা হয় না। কারণ বিয়োগকে ঋণাত্মক (চিহ্ন যুক্ত) সংখ্যার যোগ দ্বারা প্রতিস্থাপন করা যায়।<ref>{{harvnb|Klein|1925|page=24}}</ref> একইভাবে, মূলদ সংখ্যা অন্তর্ভুক্তির মাধ্যমে যখন সংখ্যা রাজ্যের সম্প্রসারণ ঘটানো হয় তখন একটি সংখ্যার ভাগ অপর একটি নির্দিষ্ট মূলদ সংখ্যার গুণ দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। পর্যবেক্ষণ বা দৃষ্টিভঙ্গির এই পরিবর্তন অব্যাহত রাখলে, “কেন আমরা শূন্য দ্বারা ভাগ করতে পারি না?” প্রশ্নটি “একটি মূলদ সংখ্যার হর কেন শূন্য হতে পারে না বা মূলদ সংখ্যা কেন শূন্য হর রাখতে পারে না?” এই প্রশ্নে রূপান্তরিত হয়। পুনঃনিরীক্ষিত এই প্রশ্নের উত্তর পেতে হলে আমাদের যথাযথভাবে মূলদ সংখ্যার সংজ্ঞার ঘনিষ্ঠ পর্যবেক্ষণ প্রয়োজন।
বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্র গঠনের আধুনিক পদ্ধতি বা ব্যবস্থায় মূলদ সংখ্যা, সংখ্যার ক্রমবিকাশ ধারার একটি মধ্যবর্তী পদক্ষেপ হিসেবে প্রতীয়মান হয় যা সেট তত্ত্বে পাওয়া যায়। [[স্বাভাবিক সংখ্যা]] (শূন্য সহ সকল ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা) প্রথমত একটি স্বতঃসিদ্ধ মূল নীতি যেমন— [[পীনো স্বতঃসিদ্ধ|পীনোর স্বতঃসিদ্ধ ব্যবস্থা]] উপর প্রতিষ্ঠিত, পরে এটি [[পূর্ণ সংখ্যার বলয়]]ে সম্প্রসারিত। পরবর্তী পদক্ষেপে, মূলদ সংখ্যাকে পূর্বেই প্রতিষ্ঠিত বা সিদ্ধ হয়েছে কেবল মাত্র এমন সেট ও গাণিতিক প্রক্রিয়ার (যথাঃ যোগ, গুণ) মাধ্যমে এবং পূর্ণ সংখ্যার মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত করা।
পূর্ণ সংখ্যার [[ক্রম যুগল]] (ordered pair) {{math|{(''a'', ''b'')}}} (যেখানে {{math|''b'' ≠ 0}}) এর সেট এই সেটে {{math|(''a'', ''b'') ≃ (''c'', ''d'')}} এর মাধ্যমে একটি [[দ্বিমিক সম্পর্ক]]কে সংজ্ঞায়িত করে যখন কেবলমাত্র {{math|1=''ad'' = ''bc''}} হয় (?? আরও ব্যাখ্যা প্রয়োজন)। এই সম্পর্ককে একটি [[সমতুল্যতার অন্বয়]] হিসেবে দেখা হয় এবং পরে এর [[সমতুল্যতার শ্রেণি]]সমূহকে মূলদ সংখ্যা রূপে সংজ্ঞায়িত করা হয়। It is in the formal proof that this relation is an equivalence relation that the requirement that the second coordinate is not zero is needed (for verifying [[Transitive relation|transitivity]]).<ref>{{harvnb|Schumacher|1996|page=149}}</ref><ref>{{harvnb|Hamilton|1982|page=19}}</ref><ref>{{harvnb|Henkin|Smith|Varineau|Walsh|2012|page=292}}</ref>
উপরের ব্যাখ্যাটি অনেক কারণেই খুবই বিমূর্ত এবং প্রায়োগিক হতে পারে, কিন্তু যদি মূলদ সংখ্যার অস্তিত্ব এবং বৈশিষ্ট্যকে মৌলিক পাটিগণিতের মতই সাধারণভাবে ধরে নেওয়া হয়, তবে শূন্য দ্বারা ভাগ যে “কারণ”টির দরুন অনুমোদিত হয় না সেই “কারণ”টি দৃষ্টির অন্তরালে চলে যায়। তা সত্ত্বেও, এ ব্যবস্থাটিকে একটি অ-কঠোর ন্যায্যতা দেওয়া যেতে পারে।
আমরা যে সংখ্যা ব্যবস্থাগুলো ব্যবহার করি (যেমন— পূর্ণ, মূলদ, বাস্তব ইত্যাদি) সেসবের উপর এই বৈশিষ্ট্যগুলি নির্ভর করে। যদি {{math|''b'' ≠ 0}} হয় তবে {{math|1={{sfrac|''a''|''b''}} = ''c''}} সমীকরণটি {{math|1= ''a'' = ''b'' × ''c''}} এর সমতুল্য হবে। {{math|{{sfrac|''a''|0}}}} কে একটি সংখ্যা যেমন— {{mvar|c}} ধরা হলে এখানে অবশ্যই {{math|1=''a'' = 0 × ''c'' = 0}} হবে। সে যাই হোক না কেন, এক্ষেত্রে {{mvar|c}} একক সংখ্যাটিকে অবশ্যই {{math|1= 0 = 0 × ''c''}} সমীকরণ দ্বারা নির্ধারণ করতে হবে, কিন্তু প্রত্যেক সংখ্যা এই সমীকরণকে চরিতার্থ করে। ফলে আমরা {{math|{{sfrac|0|0}}}} এর সাংখ্যিক মান নির্ধারণ করতে পারি না।<ref>{{harvnb|Bunch|1997|page=14}}</ref>
==তথ্যসূত্র==
| |||