"মহাবৃত্ত" পাতাটির দুইটি সংশোধিত সংস্করণের মধ্যে পার্থক্য

ট্যাগ: মোবাইল সম্পাদনা মোবাইল ওয়েব সম্পাদনা
ট্যাগ: মোবাইল সম্পাদনা মোবাইল ওয়েব সম্পাদনা
 
==ক্ষুদ্রতম দূরত্ব প্রতিপাদন==
গোলক পৃষ্ঠের দুটি বিন্দুর ক্ষুদ্রতম [[বৃত্তচাপ|বৃত্তচাপই]] যে গোলীয় তল বরাবর উক্ত বিন্দুদ্বয়ের ক্ষুদ্রতম দূরত্ব তা পরিবর্তনী [[ক্যালকুলাস|ক্যালকুলাসের]] সাহায্যে প্রমাণ করা যায়।
 
<math>p</math> বিন্দু থেকে <math>q</math> বিন্দুর দিকে সকল নিয়মিত পথ বিবেচনা করা যাক। [[গোলকীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা|গোলকীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায়]] <math>p</math> বিন্দুকে উত্তর মেরুতে বিবেচনা করা যাক। প্রান্তবিন্দু ব্যতিত কোন মেরুকে ছেদ করে না এমন বক্র রেখার পরামিতি হবে নিম্নরূপ:—
:<math>\theta = \theta(t),\quad \phi = \phi(t),\quad a\le t\le b</math>
 
এখানে <math>\phi</math> হল যে কোন [[বাস্তব সংখ্যা]]। এই (গোলীয়) স্থানাঙ্কে ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র বৃত্তচাপ দৈর্ঘ্য হবে:
: <math>
ds=r\sqrt{\theta'^2+\phi'^{2}\sin^{2}\theta}\, dt.
</math>
 
সুতরাং <math>p</math> থেকে <math>q</math> বিন্দুতে <math>\gamma</math> বক্ররেখাটির দৈর্ঘ্য নিম্নোক্ত বক্ররেখার [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Functional_(mathematics) ফাংশনাল] হবে:
: <math>
S[\gamma]=r\int_a^b\sqrt{\theta'^2+\phi'^{2}\sin^{2}\theta}\, dt.
</math>
 
<math>S[\gamma]</math> কে মমমম করা যাবে, যদি এবং কেবল <math>\frac{\sin^2\theta\phi'}{\sqrt{\theta'^2+\phi'^2\sin^2\theta}}=C</math> হয়, যেখানে <math>C</math> হল একটি <math>t</math>-অনির্ভর ধ্রুবক, এবং
 
:<math> \frac{\sin\theta\cos\theta\phi'^2}{\sqrt{\theta'^2+\phi'^2\sin^2\theta}}=\frac{d}{dt}\frac{\theta'}{\sqrt{\theta'^2+\phi'^2\sin^2\theta}}.</math>
 
উক্ত সমীকরণদ্বয়ের প্রথমটি থেকে পাই—
:<math> \phi'=\frac{C\theta'}{\sin\theta\sqrt{\sin^2\theta-C^2}}</math>.
 
নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে উভয় পক্ষকে [[সমাকলন]] করলে <math>C</math> এর বাস্তব সমাধান হবে শূন্য। একইভাবে, বক্ররেখাটিকে গোলকের একটি দ্রাঘিমা রেখা বরাবর নির্দেশ করা হলে <math>\phi'=0</math> হবে এবং <math>\theta</math> এর মান <math>0</math> ও <math>\theta_0</math> এর মধ্যে থাকবে। কার্তেসীয় স্থানাঙ্কে এটা হবে:
:<math>x\sin\phi_0 - y\cos\phi_0 = 0</math>
যা উৎসগামী (যেমন— গোলকের কেন্দ্র) একটি সমতল নির্দেশ করে।
 
==প্রয়োগ==
==আরও দেখুন==
৪,০২৫টি

সম্পাদনা