হিলবার্ট জগৎ: সংশোধিত সংস্করণের মধ্যে পার্থক্য

[[আধুনিক গণিত|আধুনিক গণিতের]] একটা গুরুত্বপূর্ণ অন্তর্দৃষ্টি হচ্ছে ইউক্লিডীয় জ্যামিতির বিভিন্ন ধারণা অন্য অনেক [[গাণিতিক সমস্যা|সমস্যা]] সমাধানের কাজে ব্যবহার করা যায়। যেসব সমস্যা অনেকসময় এমনকি কোন ধরণের জ্যামিতি থেকেও উৎসারিত নয়,সেগুলিও। হিলবার্ট জগতের মৌলিক উপাদান হচ্ছে [[ভেক্টর|ভেক্টরের]] [[গাণিতিক বিমূর্তায়ন|বিমূর্ত ধারণা]]; যতক্ষণ এসব ভেক্টরে হিলবার্ট জগতের স্বীকার্যসমূহ মেনে চলে ততক্ষণ তাদের প্রকৃতি এখানে গুরুত্বপূর্ণ। যেমন হয়ত কোন এক ধরনের হিলবার্ট জগতের ভেক্টরসমূহ আসলে অনেকগুলি ফাংশনের একটা [[ধারা (গণিত)|ধারা]]। এখানে (হিলবার্ট জগতে) এসব বিমূর্ত ভেক্টরকে পরস্পর যোগ করা যায়। কোন একটা স্কেলার দিয়ে গুন করা যায়। অথবা পরস্পরের সাথে [[ডট গুণন]] করা যায়। অর্থাৎ এই [[স্কেলার গুনন]], [[ডট গুনন]] এবং [[যোগ]] অপারেশন তিনটি তাদের জন্য সংজ্ঞায়িত। হিলবার্ট জগতের এইসব বীজগাণিতিক অপারেশনের কিছু পরিচিত বৈশিষ্ট্য হচ্ছে এরা [[বিনিময় বিধি|বিনিমেয়]] এবং [[বন্টন বিধি|বন্টনযোগ্য]]। এছাড়াও [[সম্পূর্ণতা|সম্পূর্ণতার]] কারিগরি প্রয়োজনীয়োতা নিশ্চিত করে যে এই জগতে নির্দিষ্ট [[সীমা (গণিত)|সীমার]] অস্তিত্ব আছে। এই শেষ প্রয়োজনীয়তাটি [[সসীম মাত্রিক]] [[অন্তঃগুণজ জগতের]] জন্য এমনিতেই সবসময় সত্য হয়। কিন্তু অন্যান্য আরো অনেক [[গাণিতিক সাধারনীকরণ|সাধারণ]] ক্ষেত্রে (যেমন [[অসীম মাত্রিক]] , [[ফাংশনাল স্পেসজগৎ]], ইত্যাদিতে) এটিকে একটা অতিরিক্ত স্বীকার্য হিসাবে ধরে নেওয়া হয়।

যদিও বিভিন্ন [[কন্সিস্টেন্সিসঙ্গতি সীকার্‌্যস্বীকার্য|সঙ্গতি স্বীকার্যের]]এর জন্য হিলবার্ট স্পেসেরজগতের সংজ্ঞা বেশ জটিল মনে হয়, তারতা পরওসত্ত্বেও হিলবার্ট স্পেসেরজগতের বেসিকপ্রাথমিক ইন্টুইশনস্বজ্ঞা আশচর্য জনকআশ্চর্যজনক রকমের সরল,:

:'''''অনেক ধরণেরধরনের [[ভৌত সিস্টেম|ভৌত]] এবং গাণিতিক অবস্থায় , একটা [[লিনিয়াররৈখিক প্রবলেমসমস্যা|রৈখিক সমস্যাকে]] কে নির্দিষ্ট হিলবার্ট স্পেসেরজগতের সাহায্যে প্রকাশ করে কিছু সরল [[বিশ্লেষণী জ্যামিতি|জ্যামিতিক পদ্ধতিতে বিশ্লেষনবিশ্লেষণ]] করা সম্ভব।'''''

বিশেষ ভাবেবিশেষভাবে বলতে গেলে [[পার্সিয়ালআংশিক ডিফারেন্সিয়ালঅন্তরক ইকুয়েশনসমীকরণ]], [[ইন্ট্রিগালযোগজ ইকুয়েশনসমীকরণ]] এবং বিশেষ করে [[আইজেনআইগেন ভ্যালুমান প্রবলেমসমস্যা|আইজেনআইগেন মান সংক্রান্ত সমস্যাসমস্যাসমূহের]] সমুহের সমাধানে এই নীতি চমৎকার ভাবেচমৎকারভাবে প্রয়োগ করা হয়। শুরুর দিকে [[জসেফ ফুরিয়ার| জোসেফ ফুরিয়ারেরফুরিয়ে]]-র [[তাপগতিবিদ্যার গাণিতিক তত্বতত্ত্ব| তাপগতিবিদ্যার গানিতিকগাণিতিক তত্বেতত্ত্বে]] এই ধরণের বিশ্লেষণের প্রথম উদাহরণ দেখা যায়। তার এই বিশ্লেষণী তত্ব মতেতত্ত্বমতে [[হিটতাপ ইকুয়েশনসমীকরণ|হিটতাপ ইকুয়েশেরসমীকরণের]] যেকোন সমাধান কেসমাধানকে অসীম সংখ্যক [[স্বাধীন (গণিত)| স্বাধীন]] অংশে ডিকম্পোজ (বা ভাগ?)বিশ্লিষ্ট করা যায়, যা '''R'''³ -এর একটি ভেক্টর কেভেক্টরকে তিনটি উলম্বউল্লম্ব ভেক্টর এরভেক্টরের [[লিনিয়াররৈখিক কম্বিনেশনসমাবেশ]] আকারে প্রকাশ করার প্রক্রৃয়ারপ্রক্রিয়ার সাথে তুলনীয়। [[গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞান|গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞানের]] এর অন্য অনেক সমীকরনসমীকরণ যেমন [[ওয়েভতরঙ্গ ইকুয়েশনসমীকরণ]] এবং [[হেলমহল্টজহেল্মহোল্‌ৎস ইকুয়েশনসমীকরণ|হেল্মহোল্‌ৎস সমীকরণকেও]] (Helmholtz) কেও এভাবে বিশ্লেষণ করা সম্ভব।

হিলবার্ট স্পেসেরজগতের তত্বেরতত্ত্বের এই সফলতার পিছনে যে আশ্চর্যজনক সত্যটি লুকিয়ে আছে তা হল,:

:''''' “যদিওযদিও পদার্থবিজ্ঞান এবং গণিতে আলোচ্য বিভিন্ন হিলবার্ট স্পেসেরজগতের প্রকাশ ভিন্ন , অথবা তারা ভিন্ন ভিন্ন উৎস থেকে উৎসরিতউৎসারিত, তারতা পরওসত্ত্বেও তারা আসলে একটা নির্দিষ্ট ধরণেরধরনের [[সেপারেবলবিচ্ছেদ্য স্পেসজগত| সেপারেবলবিচ্ছেদ্য]] হিলবার্ট স্পেস”। জগৎ।'''''

[[ইউনিকনেসঅদ্বিতীয়তা প্রিন্সিপালমূলনীতি|ইউনিকনেসঅদ্বিতীয়তা প্রিন্সিপালেরমূলনীতির]] কারণে বিমুর্ত ভাবেবিমূর্তভাবে বর্ণিত একটাএকটি থিওরেমউপপাদ্য যাযে কোন একটাএকটি হিলবার্ট স্পেসেজগতের ক্ষেত্রে সত্য, সেটাহলে অন্য সকল হিলবার্ট স্পেসেওজগতের জন্যও সত্য সত্য।হয়।