"জটিল সংখ্যা" পাতাটির দুইটি সংশোধিত সংস্করণের মধ্যে পার্থক্য

Spelling correction
ট্যাগ: মোবাইল সম্পাদনা মোবাইল ওয়েব সম্পাদনা
(Spelling correction)
ট্যাগ: দৃশ্যমান সম্পাদনা মোবাইল সম্পাদনা মোবাইল ওয়েব সম্পাদনা
প্রতিটা জটিল সংখ্যাকেই ''a+ib'' আকারে লেখা যায়, যেখানে a এবং b বাস্তব সংখ্যা। a ও b-কে যথাক্রমে জটিল সংখ্যার [[বাস্তব অংশ]] এবং [[কাল্পনিক অংশ]] বলা হয়।
 
জটিল সংখ্যাগুলি একটি [[ফিল্ড (গণিত)|ফিল্ড]] তৈরি করে। এই কারণে এদের উপর যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ---এই চারটি [[দ্বিমিক অপারেশন]] প্রয়োগ করা সম্ভব। এই জটিল সংখ্যার [[গাণিতিক অপারেশন|অপারেশনগুলি]] বাস্তব সংখ্যার অপারেশনগুলিরই সম্প্রসারিত রূপ। তবে জটিল সংখ্যার উপর প্রয়োগ করার সময় এসব অপারেশনের আরো কিছু সুন্দর এবং কার্যকর বৈশিষ্ট্য পরিলক্ষিত হয়। যেমন, কিছু জটিল (কাল্পনিক) সংখ্যাকে বর্গ করে [[ঋণাত্বক সংখ্যা|ঋণাত্বকঋণাত্মক]] বাস্তব সংখ্যা পাওয়া সম্ভব।
 
ইতালীয় [[গণিতিবিদ|গণিতবিদ]] [[জিরোলামো কার্দানো]] ত্রিঘাত সমীকরণ সমাধান করতে গিয়ে প্রথম জটিল সংখ্যা আবিষ্কার করেন<ref>{{বই উদ্ধৃতি |last=Burton |first=David |title=The History of Mathematics |edition=3rd |year=1995 |publisher=McGraw-Hill |location=New York |isbn=0-07-009465-9 |pages=294 |chapter=7}}</ref>। তিনি এগুলিকে "কাল্পনিক" অভিধা দিয়েছিলেন। সাধারণ [[ত্রিঘাত সমীকরণ|ত্রিঘাত সমীকরণের]] সমাধান প্রক্রিয়ায় অনেক মধ্যবর্তী হিসেবের সময় এমন কিছু পদ চলে আসে যেগুলোতে [[ঋণাত্মক সংখ্যা|ঋণাত্মক সংখ্যার]] [[বর্গমূল]] থাকে, এমনকি যখন মূল সমাধানে শুধু বাস্তব সংখ্যা থাকে তখনও। এই পর্যবেক্ষণ থেকেই [[বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্য|বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্যের]] সৃষ্টি। এই উপপাদ্য অনুসারে জটিল সংখ্যার সাহায্যে এক বা একের বেশি মাত্রার যে কোন [[বহুপদী সমীকরণ|বহুপদী সমীকরণের]] সমাধান খুঁজে বের করা সম্ভব।
 
জটিল সংখ্যার যোগ, বিয়োগ, গুণ এবং ভাগের নিয়ম প্রথমে তৈরি করেন ইতালীয় গণিতবিদ [[রাফায়েল বোমবেল্লি]]। আইরিশ গণিতবিদ [[উইলিয়াম রোয়ান হ্যামিলটন]] জটিল সংখ্যার আরো বিমূর্ত একটি বিধিবদ্ধ রূপ দেন। তিনি জটিল সংখ্যার তত্ত্বকে [[চতুষ্টির তত্ত্ব|চতুষ্টির তত্ত্বে]] উন্নীত করেন।
যেমন- ''3+2i'' একটা জটিল সংখ্যা, যার বাস্তব অংশ ''3'' এবং কাল্পনিক অংশ ''2''। যদি ''z = a + ib'' হয় তখন বাস্তব অংশ ''a'' কে প্রকাশ করা হয় Re(''z'') বা ℜ(''z'') এবং কাল্পনিক অংশ ''b'' কে প্রকাশ করা হয় Im(''z'') or ℑ(''z'') দ্বারা।
 
জটিল সংখ্যার [[সার্বিক সেট|সার্বিক সেটকে]] '''C''' বা <math>\mathbb{C}</math> প্রতীক দিয়ে প্রকাশ করা হয়। বাস্তব সংখ্যার সেট '''R''' কে বলা যেতে পারে জটিল সংখ্যার সেট '''C''' এর একটা উপসেট যেখানে বাস্তব সংখ্যাগুলি হলহলো সেইসব জটিল সংখ্যা যাদের কাল্পনিক অংশ শূন্য। অর্থাৎ, বাস্তব সংখ্যা a কে ''a+0i''সেবে ভাবা যেতে পারে। যেসব জটিল সংখ্যার বাস্তব অংশ শূন্য তাদেরকে বলা হয় কাল্পনিক সংখ্যা, এবং ''0+bi'' এর বদলে তাদেরকে শুধুমাত্র ''bi'' দ্বারা প্রকাশ করা হয়। এখন যদি ''a=0'' এবং ''b = 1'' হয় তখন ''0+1i'' বা ''1i'' লেখার বদলে সংখ্যাটিকে শুধু ''i'' লেখা হয়।
 
কিছু কিছু ক্ষেত্রে (বিশেষ করে, [[তড়িৎ প্রকৌশল|তড়িৎ প্রকৌশলের]] বিভিন্ন অনুষদে যেখানে ''i'' দ্বারা বর্তনীর [[বিদ্যুৎ প্রবাহ]] নির্দেশ করা হয়), [[কাল্পনিক একক]]কে ''i'' এর বদলে ''j'' দ্বারা প্রকাশ করা হয়। তাই জটিল সংখ্যাকে কখনো কখনো ''a+bj'' আকারে লিখতে দেখা যায়।
: <math>(x_1 , y_1)(x_2 , y_2) = (x_1x_2 - y_1y_2 , y_1x_2 + x_1y_2)\,</math>
 
দ্বারা। লক্ষনীয়লক্ষণীয় যে, এখানে বর্ণিত এই দুইটি [[অপারেশন]] হচ্ছে জটিল সংখ্যার সেটের উপর ক্রিয়াশীল দুইটি মৌলিক অপারেশন যারা বাস্তব সংখ্যার আনুসাঙ্গিক অপারেশন থেকে উৎসরিত। অর্থাৎ অপারেশনগুলো কে কোন ভাবেকোনোভাবে প্রতিপাদন করা হয়নি। শুধু মাত্রশুধুমাত্র স্বীকার করে নেওয়া হয়েছে।
 
যদি আমাদের আলচ্যআলোচ্য জটিল সংখ্যা দুইটির কাল্পনিক অংশ শুন্যশূন্য হয়, তাহলে এই অপারেশন দুইটি বাস্তব সংখ্যার অপারেশনে পরিণত হয়। অর্থাৎ <math> (x_1,0)</math> এবং <math> (x_2,0)</math> এর জন্য।
 
:<math>(x_1 , 0) + (x_2 ,0) = (x_1 + x_2 , 0)\, </math>
: <math>(x_1 , 0)(x_2 ,0) = (x_1x_2 , 0)\,</math>
 
অর্থাৎ, '''''জটিল [[সংখ্যা পদ্ধতি]] আসলে বাস্তব সংখ্যা পদ্ধতির একটা ‘নেচারাল‘ন্যাচারাল এক্সটেনশন’ বা ‘প্রাকৃতিক প্রবৃদ্ধি’ '''''
 
যে কোনকোনো জটিল সংখ্যা <math>z = (x , y)</math>কে একটু আগে বর্ণিত যোগের নিয়ম অনুসারে লেখা যেতে পারে <math>z = (x,0) + (0,y)\,</math> এবং পূর্বেবর্ণিতপূর্বে বর্ণিত ''গুননগুণন'' এর নিয়ম অনুযায়ী একটু হিসাব করলেই আমরা পেতে পারি <math>(0 , 1)( y , 0) = (0 , y)\,</math>। অর্থাৎ,
:<math>z = (x,0)+(0,1)(y,0)\,</math>
এখন আমরা যদি বাস্তব সংখ্যা ''x'' কে জটিল সমতলে ''( x , 0 )'' আকারে কল্পনা করি তাহলে দেখি যে এই সমীকরণে ''(y,0)'' আসলে একটা [[বাস্তব সংখ্যা]] যেটি ''(0,1)'' এর সাথে গুন হয়ে ''z'' এর অবাস্তব অংশ ''(0,y)'' তৈরি করছে। অর্থাৎ এই ''(0,1)'' ই হল সেই [[কাল্পনিক একক]] যাকে আমরা এখন থেকে <math>i\,</math> দ্বারা প্রকাশ করব।
এখন ''(x,0)'' আকারের রাশি সমুহ কেরাশিসমূহকে শুধু ''x'' আকারে লিখলে আমরা পাই:
: <math>z = x+iy\,</math>
যা আমাদের পরিচিত জটিল সংখ্যার আকার!
:<math>i^2 = (0,1)(0,1) = ( 0*0-1*1,1*0+0*1 ) = (-1,0) = -1 \,</math>
 
অর্থাৎ <math>i^2 = -1\,</math> যেখান থেকে আমাদের পরিচিত <math>i = \sqrt{-1}\,</math> এই ফর্মুলাটার সৃষ্টি। যদিও [[বর্গমূল]] অপারেশন টি ঋণাত্বকঋণাত্মক সংখ্যার উপর ধনাত্বকধনাত্মক সংখ্যার মতমতো করে সংজ্ঞায়িত নয়। এই [[নোটেশনাল অ্যাবিউজ]] এর জন্য আমাদের প্রায়ই কিছু [[#একটি প্রচলিত বিভ্রান্তি|ভুল উপসংহারে]] পৌছাতে হয়। <ref>Ruel. V. Churchill & J. W. Brown, 'COMPLEX VERIABLES and APPLICATIONS'', 2004, Mc Graw Hill, p. 1 {{আইএসবিএন|0-07-123365-2}}</ref>
 
==== বীজগাণিতিক ভিত্তিতে ====
: <math>\bar{z}=z</math> &nbsp; যদি এবং কেবল যদি ''z'' বাস্তব হয়
 
: <math>\bar{z}=-z</math> &nbsp; যদি এবং কেবল যদি ''z'' শুধু মাত্র কাল্পনিক হয় অর্থাৎ ''z'' এর বাস্তব অংশ শুন্যশূন্য হয়।
 
: <math>\operatorname{Re}\,z = \tfrac{1}{2}(z+\bar{z})</math>
 
== পোলার আকৃতি ==
''z'' = ''x''+''iy'', এই কার্তেসীয় প্রকাশকে [[পোলার স্থানাংক|পোলার আকৃতিতেও]] প্রকাশ করা হয়। ''z'' এর আনুসাঙ্গিক [[পোলার স্থানাংক ব্যবস্থা|পোলার স্থানাংকটি]] ''r''&nbsp;=&nbsp; |''z''| ≥ 0, যেটাকে বলা হয় [[পরম মান]] বা [[মডুলাস]] এবং φ&nbsp;=&nbsp;arg(''z''), যেটাকে বলা হয় ''z'' এর [[আর্গুমেন্ট]] অথবা ''' কোণ'''. যদি ''r''&nbsp;=&nbsp;0 হয় তখন ''φ'' এর যেকোনযেকোনো মানের জন্যই ''z'' একই বিন্দু নির্দেশ করে। এক্ষেত্রে একটা অনন্য প্রকাশ (ইউনিক রিপ্রেজেন্টেশন) পাওয়ার জন্য arg(0)&nbsp;=&nbsp;0। ধরা হয়। যদি ''r''&nbsp;>&nbsp;0 হয় তখন আর্গুমেন্ট ''φ'' [[মডুলো]] ''2π''; অনন্য(ইউনিক) হয়। অর্থাৎ, যদি যে কোনযেকোনো দুইটি জটিল সংখ্যার আর্গুমেন্ট এর পার্থক্য ''2π'' এর গুনিতকগুণিতক হয়, তখন তাদেরকে [[ইকুইভ্যালেন্ট]] বা [[সমতুল্য]] ধরা হয়। অনন্য পাওয়ার জন্য ''φ'' এর মানকে অনেক সময় ''(-π,π]'', অর্থাৎ, −π&nbsp;<&nbsp;φ&nbsp;≤&nbsp;π ব্যবধিতে আবদ্ধ করা হয়। তখন এই আর্গুমেন্ট কে [[মূখ্য আর্গুমেন্ট|মুখ্য আর্গুমেন্ট]] বলে। এভাবে কোনকোনো জটিল সংখ্যাকে তার [[পোলার স্থানাংক ব্যবস্থা|পোলার স্থানাংকে]] প্রকাশ করলে তাকে বলা পোলার আকৃতি বলা হয়।
 
=== পোলার আকৃতি থেকে কার্তেসীয় আকৃতিতে রূপান্তর ===
:<math>x = r \cos \varphi</math>
:<math>y = r \sin \varphi</math>
:<math> z = r\,(\cos \varphi + i\sin \varphi )\,</math>
আকারে।
এটাকে বলা হয় ''ত্রিকোনমিতিকত্রিকোণমিতিক আকৃতি'', কখনো কখনো'''''cis φ''''' দ্বারা cos ''φ'' + ''i'' sin ''φ''. বোঝানো হয় তখন লেখা হয় ''z = r cis φ''
[[অয়লার’স ফর্মুলা]] বা [[অয়লারের সূত্র]] ব্যবহার করে জটিল সংখ্যার আরেকটা সুন্দর প্রকাশ হচ্ছে
:<math> z = r\,\mathrm{e}^{i \varphi}\,</math>
যেটাকে বলা হয় ''এক্সপনেনশিয়াল আকৃতি''
 
=== পোলার আকৃতিতে গুনগুণ, ভাগ, ঘাত এবং মূল নির্ণয় ===
কার্তেসীয় আকৃতির চেয়ে পোলার আকৃতির এই অপারেশন সমূহঅপারেশনসমূহ অনেক বেশি সহজ।
[[ত্রিকোণমিতির সূত্র সমূহ|ত্রিকোণমিতির সূত্রসমূহ]] ব্যবহার করে দেখানো যায় যেঃ
 
:<math>r_1\,e^{i\varphi_1} \cdot r_2\,e^{i\varphi_2}
: <math> (r(\cos\varphi + i\sin\varphi))^n = (r\,e^{i\varphi})^n = r^n\,e^{in\varphi} = r^n\,(\cos n\varphi + \mathrm{i} \sin n \varphi).\,</math>
 
দুইটি জটিল সংখ্যার যোগ কোনকোনো [[ভেক্টর সমতল|ভেক্টর সমতলে]] দুইটি ভেক্টরের যোগের মতই।মতোই। আর দুইটি জটিল সংখ্যার গুন কেগুণকে দেখা যেতে পারে একই সাথে প্রয়োগ করা একটা রোটেশন বা ঘুর্ণনঘূর্ণন এবং স্ট্রেচিং বা বিবর্ধনের মত।
 
''i'' দিয়ে গুনগুণ করা কেকরাকে দেখা যেতে পারে ঘড়ির কাটারকাঁটার বিপরীত দিকে একটা 90 [[ডিগ্রি (কোন)|ডিগ্রি]] (π/2 [[রেডিয়ান]]) ঘুর্ণনঘূর্ণন হিসাবে। তাই জ্যামিতিক ভাবেজ্যামিতিকভাবে দেখলে ''i''<sup> 2</sup>&nbsp;=&nbsp; −1 সমীকরণের অর্থ হলহলো দুইটা 90 ডিগ্রি ঘূর্ণন অর্থাৎ একটা 180 ডিগ্রি (π রেডিয়ান) ঘূর্ণন. এমনকি এই হিসাবে (−1)&nbsp;•&nbsp;(−1)&nbsp;=&nbsp;+1 কে জ্যামিতিক ভাবে দেখা যেতে পারে দুইটা 180 ডিগ্রি ঘুর্ণনঘূর্ণন হিসাবে।
 
যদি ''c'' একটি জটিল সংখ্যা হয় এবং ''n'' যদি একটা [[স্বাভাবিক সংখ্যা|ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা]] হয় তখন কোনকোনো জটিল সংখ্যা ''z'' যদি ''z''<sup>''n''</sup>&nbsp;=&nbsp;''c'' এই সমীকরণ সিদ্ধ করে তাহলে z কে বলা হয় c এর ''n''-তম [[মূল (গণিত)|মূল]]। যদি ''c=0'' হয় তাহলে তার ঠিক ''n'' টি ভিন্ন ভিন্ন ''n''-তম মূল থাকবে। এই ''n''-তম মূল গুলো কে পাওয়া যাবে যদি আমরা ''c'' কে লিখি <math>c=re^{i\varphi}</math> হিসাবে যেখানে ''r''&nbsp;&gt;&nbsp;0 and φ, হচ্ছে বাস্তব সংখ্যা তখন ''c'' এর ''n''-তম মূলসমুহের সেট হচ্ছে
 
গুো কে পাওয়া যাবে যদি আমরা ''c'' কে লিখি <math>c=re^{i\varphi}</math> হিসাবে যেখানে ''r''&nbsp;&gt;&nbsp;0 and φ, হচ্ছে বাস্তব সংখ্যা তখন ''c'' এর ''n''-মূ মূলসমুহের সেট হচ্ছে
:<math>\{ \sqrt[n]r\,e^{i(\frac{\varphi+2k\pi}{n})} \mid k\in\{0,1,\ldots,n-1\} \, \},</math>
যেখানে <math>\sqrt[n]{r}</math> দ্বারা বাস্তব সংখ্যা ''r'' এর প্রচলিত ''n''-তম ধনাত্মক মূল কে বোঝানো হয়। যদি ''c''&nbsp;=&nbsp;0, হয় তখন ''c'' এর ''n''-তম মূল হয় শুধু মাত্র 0। যেখানে ''n''-তম মূল হিসাবে এই ''0'' এর [[মাল্টিপ্লিসিটি]] &nbsp;''n'' ধরা হয়।
 
== জটিল সংখ্যা সংক্রান্ত প্রচলিত ধারণা এবং অসচ্ছতাঅস্বচ্ছতা ==
=== জটিল সংখ্যা কতটা জটিল/বাস্তব/অবাস্তব/কাল্পনিক? ===
 
জটিল সংখ্যার সেট কেসেটকে সংজ্ঞায়িত করা যায় এভাবে।এভাবে
:<math>\mathbb{C} = \{ a + bi |\; a,\;b,\; \in \mathbb{R} \}</math>
এখান থেকে আমরা সহজেই দেখি যে <math>\mathbb{R}\sub \mathbb{C} </math> যখন b=0.
ঐতিহাসিক ভাবেঐতিহাসিকভাবে দেখলে জটিল সংখ্যার থিওরীথিওরি ডেভেলপডেভেলপড করেছেহয়েছে বাস্তব সংখ্যার বেশ পরে। আমরা আগেই দেখেছি <math>x^2=-1</math> এই ধরণেরধরনের সমীকরনেরসমীকরণের সমাধান করতে গিয়ে এই জটিল বা কাল্পনিক সংখ্যার উৎপত্তি। যেখানে একটি সমাধান হিসেবে <math>x=i</math> কে ধরা হয় যেন <math>i^2=-1</math> হয়। এই <math>i</math> হলহলো আমাদের পরিচিত [[কাল্পনিক একক]] যার সাহায্যে গণিতের থিওরী সমুহ বাস্তব সংখ্যার সেট থেকে জটিল সংখ্যার সেটে উন্নীত হয়।থিওরি
 
ূহম
==== অসচ্ছতার সূচনা ====
জটিল সংখ্যা সম্পর্কে প্রথম অসচ্ছতার সূচনা হয় এর নামকরণ থেকে। ইংরেজি বা বাংলা, সব ভাষায় এই সংখ্যার পরিভাষা হচ্ছে ‘কম্পলেক্স’, ‘ইমাজিনারি’, ‘অবাস্তব’, ‘কাল্পনিক’ এবং সর্বোপরি ‘জটিল’ সংখ্যা। নাম শুনেই শিক্ষার্থীদের মনে সন্দেহপ্রবনতার সৃষ্টি হওয়া স্বাভাবিক।
 
মুহ বাস্তব সংখ্যার সেট থেকে জটিল সংখ্যার সেটে উন্নীত হয়।
একজন শিক্ষার্থী যখন প্রথম যোগ বা বিয়োগ শেখে তখন পরিচিত হয় ধনাত্বক পূর্ণ সংখ্যার সাথে। তখনও পর্্যন্ত সে জানে যে ছোট সংখ্যা থেকে বড় সংখ্যা বিয়োগ করা সম্ভব নয়। তার সামনে উদাহরণ হিসেবে দেখানো হয় একটি ব্যাগে বলের সংখ্যার, বা একছড়া কলায় কলার সংখ্যা।
 
==== অসচ্ছতারঅস্বচ্ছতার সূচনা ====
এরপর যখন সে [[পাটীগণিত]] শেখে তখন পরিচিত হয় [[ভগ্নাংশ|ভগ্নাংশের]] সাথে। তখন সে এই ভগ্নাংশ বা [[দশমিক সংখ্যা]] কে কল্পনা করতে পারে অতিক্রান্ত দূরত্ব বা অন্যান্য উদাহরণ দিয়ে। যেমন, হয়তো একজন লোক ১ ১/২ কিমি. দূরত্ব অতিক্রম করেছে।
জটিল সংখ্যা সম্পর্কে প্রথম অসচ্ছতারঅস্বচ্ছতার সূচনা হয় এর নামকরণ থেকে। ইংরেজি বা বাংলা, সব ভাষায় এই সংখ্যার পরিভাষা হচ্ছে ‘কম্পলেক্স’, ‘ইমাজিনারি’, ‘অবাস্তব’, ‘কাল্পনিক’ এবং সর্বোপরি ‘জটিল’ সংখ্যা। নাম শুনেই শিক্ষার্থীদের মনে সন্দেহপ্রবনতারসন্দেহপ্রবণতার সৃষ্টি হওয়া স্বাভাবিক।
 
একজন শিক্ষার্থী যখন প্রথম যোগ বা বিয়োগ শেখে তখন পরিচিত হয় ধনাত্বকধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যার সাথে। তখনও পর্্যন্তপর্যন্ত সে জানে যে ছোট সংখ্যা থেকে বড় সংখ্যা বিয়োগ করা সম্ভব নয়। তার সামনে উদাহরণ হিসেবে দেখানো হয় একটি ব্যাগে বলের সংখ্যার, বা একছড়া কলায় কলার সংখ্যা।
এর পর [[বীজগণিত]] শেখার সময় যখন তার প্রথম পরিচয় হয় [[ঋণাত্বক সংখ্যা|ঋণাত্বক সংখ্যার]] সাথে। এই সংখ্যাকে সে প্রথমে একটু সন্দেহ প্রবন দৃষ্টিতে দেখে। কারণে এই সংখ্যার বাস্তব উদারণ সৃষ্টি করা সহজ সাধ্য নয়। তার পরে একক সময় সে হয়ত এটা বুঝতে সেখে [[ঋণ]] এর ধারণা থেকে। যেমন, আমার কাছে কেউ 5 টাকা পায় সেসময় আমার কাছে আর কোন টাকা না থাকার অর্থ হল ওই মুহুর্তে আমি -5 টাকার মালিক।
 
এরপর যখন সে [[পাটীগণিত|পাটিগণিত]] শেখে, তখন পরিচিত হয় [[ভগ্নাংশ|ভগ্নাংশের]] সাথে। তখন সে এই ভগ্নাংশ বা [[দশমিক সংখ্যা]] কে কল্পনা করতে পারে অতিক্রান্ত দূরত্ব বা অন্যান্য উদাহরণ দিয়ে। যেমন, হয়তো একজন লোক ১ ১/২ কিমি. দূরত্ব অতিক্রম করেছে।
কিন্তু এরপর [[উচ্চতর গণিত]] শিখতে গিয়ে সে যখন পরিচিত হয় জটিল সংখ্যার সাথে তখন তার পক্ষে এরকম '''বাস্তব উদাহরন''' খুজে বের করা মুশকিল হয়ে যায়। কিছু বহুপদীর মূল এর সাহায্যে উদারণ দেওয়া হলেও সেগুলো সন্তোষ জনক মনে হয়না। উপরন্তু সংখ্যাটির নাম ‘জটিল সংখ্যা’ যার আবার একটা [[কাল্পনিক অংশ|‘কাল্পনিক’]] অথবা [[অবাস্তব অংশ|‘অবাস্তব’]] অংশ আছে। নামকরণ থেকে প্রাপ্ত এই বিভ্রান্তিকর তথ্যের জন্য তার পক্ষে জটিল সংখ্যাকে একটা [[সংখ্যা]] হিসেবে ‘ইমেজ’ বা কল্পনা করা কঠিন (বেশীর ভাগ সময়ই অসম্ভব) হয়ে যায়।
 
এর পর [[বীজগণিত]] শেখার সময় যখন তার প্রথম পরিচয় হয় [[ঋণাত্বক সংখ্যা|ঋণাত্বকঋণাত্মক সংখ্যার]] সাথে। এই সংখ্যাকে সে প্রথমে একটু সন্দেহ প্রবনসন্দেহপ্রবণ দৃষ্টিতে দেখে। কারণে এই সংখ্যার বাস্তব উদারণউদাহরণ সৃষ্টি করা সহজ সাধ্যসহজসাধ্য নয়। তার পরে একক সময় সে হয়ত এটা বুঝতে সেখে [[ঋণ]] এর ধারণা থেকে। যেমন, আমার কাছে কেউ 5 টাকা পায়, সেসময় আমার কাছে আর কোনকোনো টাকা না থাকার অর্থ হলহলো ওই মুহুর্তেমুহূর্তে আমি -5 টাকার মালিক।
==== তাহলে জটিল সংখ্যা কি? ====
'''''আসলে সকল সংখ্যাই কাল্পনিক!!''''' আমাদের অতিপরিতিত সংখ্যা 1,2,3,... -1 বা <math>\sqrt{3}</math> এরা সবই আমাদের মনের কল্পনা <ref name="John B. Fraleigh p. 26">John B. Fraleigh, ''A First Course In Abstract Algebra'', 2003 , Pearson Education p. 26 {{আইএসবিএন|81-7758-900-8}}</ref>! এসব সংখ্যাকে আমরা কল্পনা করে নিয়েছি আমাদের '''বাস্তব জীবনের''' বিভিন্ন সমস্যা সমাধানের জন্য। এবং পর্যবেক্ষনের সাহায্যে নিশ্চিত হয়েছি যে [[আদর্শ অবস্থা|আদর্শ অবস্থায়]] আমাদের [[গাণিতিক সমাধান]] গুলো ব্যবহারিক সমস্যার সমাধান হিসেবেও কাজ করে। এবিষয়ে মনে করা যেতে পারে যে, সব ধরণের গণিতের সূচনাই হয় কিছু [[স্বীকার্য|‘স্বীকার্যের’]] উপর ভিত্তি করে। যে স্বীকার্য গুলো আমরা প্রমান ছাড়াই মেনে নিই(আসলে প্রমান সম্ভব নয়)। শুধু এই ‘পর্যবেক্ষন’ থেকে যে তারা বাস্তব সমস্যার সমাধানে কার্যকরী এবং [[স্ববিরধী]] নয়।
 
কিন্তু এরপর [[উচ্চতর গণিত]] শিখতে গিয়ে সে যখন পরিচিত হয় জটিল সংখ্যার সাথে, তখন তার পক্ষে এরকম '''বাস্তব উদাহরনউদাহরণ''' খুজেখুঁজে বের করা মুশকিল হয়ে যায়। কিছু বহুপদীর মূল এর সাহায্যে উদারণউদাহরণ দেওয়া হলেও সেগুলো সন্তোষ জনকসন্তোষজনক মনে হয়না।হয় না। উপরন্তু সংখ্যাটির নাম ‘জটিল সংখ্যা’ যার আবার একটা [[কাল্পনিক অংশ|‘কাল্পনিক’]] অথবা [[অবাস্তব অংশ|‘অবাস্তব’]] অংশ আছে। নামকরণ থেকে প্রাপ্ত এই বিভ্রান্তিকর তথ্যের জন্য তার পক্ষে জটিল সংখ্যাকে একটা [[সংখ্যা]] হিসেবে ‘ইমেজ’ বা কল্পনা করা কঠিন (বেশীর ভাগ সময়ই অসম্ভব) হয়ে যায়।বেশিরভা
আমাদের পরিচিত [[বাস্তব সংখ্যা]] গুলিকে যেমন আমরা ব্যবহার করি বীজগণিত/পাটীগণিত এর সাহায্যে আমাদের [[বাস্তব জগৎ]] এর সমস্যা সমাধান এর জন্য। তেমনি আমরা জটিল সংখ্যাকেও ব্যবহার করি [[কোয়ান্টাম মেকানিক্স]], [[কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞান]](দুইটি সম্পর্কিত কিন্তু আলাদা বিষয়) ,[[কোয়ান্টাম ইলেক্ট্রো ডাইনামিক্স]] ছাড়াও উচ্চতর গণিত বা বিজ্ঞানের এমন হাজার ফিল্ডে। যেখানে গাণিতিক সমীকরন বা রাশি গুলো আমাদের [[বাস্তব জগৎ]] এর বিভিন্য ঘটনা, [[পরিমাপ]], এবং [[রাশিমালা]] নির্দেশ করে।
 
==== তাহলে জটিল সংখ্যা কি? ====
আসলে বীজগণিত শেখার শুরুতে একজন শিক্ষার্থী যেমন প্রশ্ন করে, "<math>(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 \,</math> এই সমীকরণের বাস্তব অর্থ কি? a এর সাথে b কে যোগ করে কি লাভ? a বা b কি কোন সংখ্যা হতে পারে?” তেমনই জটিল সংখ্যা নাম শুনে এবং <math>z=a+ib</math> আর <math>i^2=-1</math> এধরণের (তখন পর্যন্ত তার গাণিতিক ধারণা অনুযায়ি) প্রথা বিরুদ্ধ সমীকরণ দেখে এবং এদের নাম “জটিল”, “অবাস্তব” এসব দেখে সে নিজেও এটাকে “অবাস্তব” ভাবতে শুরু করে। জটিল সংখ্যা শিক্ষার প্রাথমিক বাধা এটাই<ref name="John B. Fraleigh p. 26"/>।
'''''আসলে সকল সংখ্যাই কাল্পনিক!!''''' আমাদের অতিপরিতিতঅতিপরিচিত সংখ্যা 1,2,3,... -1 বা <math>\sqrt{3}</math> এরা সবই আমাদের মনের কল্পনা <ref name="John B. Fraleigh p. 26">John B. Fraleigh, ''A First Course In Abstract Algebra'', 2003 , Pearson Education p. 26 {{আইএসবিএন|81-7758-900-8}}</ref>! এসব সংখ্যাকে আমরা কল্পনা করে নিয়েছি আমাদের '''বাস্তব জীবনের''' বিভিন্ন সমস্যা সমাধানের জন্য।জন্য এবং পর্যবেক্ষনেরপর্যবেক্ষণের সাহায্যে নিশ্চিত হয়েছি যে [[আদর্শ অবস্থা|আদর্শ অবস্থায়]] আমাদের [[গাণিতিক সমাধান]] গুলো ব্যবহারিক সমস্যার সমাধান হিসেবেও কাজ করে। এবিষয়েএ বিষয়ে মনে করা যেতে পারে যে, সব ধরণেরধরনের গণিতের সূচনাই হয় কিছু [[স্বীকার্য|‘স্বীকার্যের’]] উপর ভিত্তি করে। যে স্বীকার্য গুলোস্বীকার্যগুলো আমরা প্রমানপ্রমাণ ছাড়াই মেনে নিই(আসলে প্রমানপ্রমাণ সম্ভব নয়)। শুধু এই ‘পর্যবেক্ষন’‘পর্যবেক্ষণ’ থেকে যে তারা বাস্তব সমস্যার সমাধানে কার্যকরী এবং [[স্ববিরধী|স্ববিরোধী]] নয়।
অতএব, ''জটিল সংখ্যা ঠিক ততটাই '''জটিল বা কাল্পনিক বা বাস্তব''' যতটা জটিল বা কাল্পনিক বা বাস্তব অন্য আর সব সংখ্যা''। তাই জটিল সংখ্যা, [[কাল্পনিক অংশ]] এসব নাম কে [[শাব্দিক অর্থ|শাব্দিক অর্থে]] না নিয়ে জটিল সংখ্যা সম্পর্কে যে সঠিক চিত্রটা আমরা পেতে পারি তা হল।
 
আমাদের পরিচিত [[বাস্তব সংখ্যা]] গুলিকে যেমন আমরা ব্যবহার করি বীজগণিত/পাটীগণিত এরপাটিগণিতের সাহায্যে আমাদের [[বাস্তব জগৎ]] এর সমস্যা সমাধান এর জন্য। তেমনি আমরা জটিল সংখ্যাকেও ব্যবহার করি [[কোয়ান্টাম মেকানিক্স]], [[কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞান]](দুইটি সম্পর্কিত, কিন্তু আলাদা বিষয়) ,[[কোয়ান্টাম ইলেক্ট্রো ডাইনামিক্স]] ছাড়াও উচ্চতর গণিত বা বিজ্ঞানের এমন হাজার ফিল্ডে।ক্ষেত্রে, যেখানে গাণিতিক সমীকরনসমীকরণ বা রাশি গুলোরাশিগুলো আমাদের [[বাস্তব জগৎ]] এর বিভিন্যবিভিন্ন ঘটনা, [[পরিমাপ]], এবং [[রাশিমালা]] নির্দেশ করে।
'''''জটিল সংখ্যাও আরেক ধরণের সংখ্যা, যেটা আর সব সংখ্যার মতই, শুধু তাদের হিসাবের নিয়ম একটু আলাদা। অনেক গুরুত্বপূর্ন ও [[বাস্তব সমস্যা]] সমাধানের জন্য জটিল সংখ্যা অপরিহার্য'''''
 
আসলে বীজগণিত শেখার শুরুতে একজন শিক্ষার্থী যেমন প্রশ্ন করে, "<math>(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 \,</math> এই সমীকরণের বাস্তব অর্থ কি? a এর সাথে b কে যোগ করে কি লাভ? a বা b কি কোনকোনো সংখ্যা হতে পারে?” তেমনই জটিল সংখ্যা নাম শুনে এবং <math>z=a+ib</math> আর <math>i^2=-1</math> এধরণেরএ ধরনের (তখন পর্যন্ত তার গাণিতিক ধারণা অনুযায়িঅনুযায়ী) প্রথা বিরুদ্ধপ্রথাবিবিরুদ্ধ সমীকরণ দেখে এবং এদের নাম “জটিল”, “অবাস্তব” এসব দেখে সে নিজেও এটাকে “অবাস্তব” ভাবতে শুরু করে। জটিল সংখ্যা শিক্ষার প্রাথমিক বাধা এটাই<ref name="John B. Fraleigh p. 26" />।
অতএব, ''জটিল সংখ্যা ঠিক ততটাই '''জটিল বা কাল্পনিক বা বাস্তব''' যতটা জটিল বা কাল্পনিক বা বাস্তব অন্য আর সব সংখ্যা''। তাই জটিল সংখ্যা, [[কাল্পনিক অংশ]] এসব নাম কে [[শাব্দিক অর্থ|শাব্দিক অর্থে]] না নিয়ে জটিল সংখ্যা সম্পর্কে যে সঠিক চিত্রটা আমরা পেতে পারি তা হল।হ[[শাব্দিক অর্থ|ো]]<nowiki/>ল।
 
'''''জটিল সংখ্যাও আরেক ধরণেরধরনের সংখ্যা, যেটা আর সব সংখ্যার মতইমতোই, শুধু তাদের হিসাবের নিয়ম একটু আলাদা। অনেক গুরুত্বপূর্নগুরুত্বপূর্ণ ও [[বাস্তব সমস্যা]] সমাধানের জন্য জটিল সংখ্যা অপরিহার্য'''''
 
অর্থাৎ,''' জটিল সংখ্যা ''অবাস্তব'' সংখ্যা নয়'''।[[আক্ষরিক অর্থ|(আক্ষরিক অর্থে)]]
 
=== একটি প্রচলিত বিভ্রান্তি ===
আমরা যখন জটিল সংখ্যার কাল্পনিক একক <math>i\,</math> কে <math>i=\sqrt{-1}\,</math> হিসাবে দেখি তখন সহজেই একটা সমীকরণে পৌছতে পারি।
:<math>-1 = i^2 = i*i=\sqrt{-1}*\sqrt{-1} = \sqrt{(-1)(-1)} = \sqrt{1}=1\,</math>
এই সমীকরণ ও শিক্ষার্থীদের কাছে জটিল সংখ্যাকে জটিল বা অবাস্তব মনে হবার আরেকটা কারণ। কিন্তু এর ব্যাখ্যা হচ্ছে। <math>\sqrt{ab}</math> অপারেশন টি শুধু মাত্র তখনই ডিস্ট্রিবিউটিভ যখন a এবং b ধনাত্বকধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা। তাই <math>\sqrt{-1}*\sqrt{-1} = \sqrt{(-1)(-1)} </math> সমীকরণটি অশুদ্ধ। এই ভুল থেকে বাঁচার জন্য [[কার্ল ফ্রিড‌রিশ গাউস|গাউস]] কর্তৃক প্রস্তাবিত পন্থা হচ্ছে।হচ্ছে, [[বর্গমূল]] এর মধ্যে ঋনাত্মক সংখ্যা এসে গেলেই প্রথমেই সেটাকে <math>\sqrt{-a}=i\sqrt{a}\,</math> আকারে লিখে নেওয়া যাতে পরবর্তীতে বর্গমূল চিহ্নের মধ্যে ঋনাত্মক চিহ্নের কোনকোনো অপারেশন না হয়।
 
==বাস্তব সংখ্যার কাল্পনিক ঘাতঃঅয়লারঘাত: এরঅয়লারের তত্ত্ব==
কোনকোনো বাস্তব সংখ্যার কাল্পনিক ঘাত অয়লার এর তত্ত্ব অনুযায়ী বের করা যায়।তত্ত্বযায়। তত্ত্ব টি নিম্নরূপ
<math> e^{(i*b)}=cos b +i*sin b</math>
যেমনঃ
=.998 + i*.06045 </math>
 
== প্রয়োগ ==
"বাস্তব" এবং "কাল্পনিক" শব্দ দুটি অর্থবহ ছিল যখন জটিল সংখ্যাকে শুধু বাস্তব সংখ্যা সংক্রান্ত হিসাবে সাহায্যকারী ধারণা হিসাবে ব্যবহার করা হত।হতো। যেখানে শুধু "[[বাস্তব অংশ]]" আক্ষরিক অর্থে "বাস্তব জগৎ"-এর প্রতিনিধত্বপ্রতিনিধিত্ব করত। পরবর্তীকালে, বিশেষ করে [[কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞান|কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানের]] আবিষ্কারের পরে দেখা যায় যে বাস্তব সংখ্যার প্রতি [[প্রকৃতি|প্রকৃতির]] কোনকোনো অতিরিক্ত প্রীতি নেই। বরং অনেক "বাস্তব" ঘটনাই গাণিতিকভাবে বর্ণনার সময় জটিল সংখ্যা অত্যাবশ্যক হয়ে পড়ে। ফলে জটিল সংখ্যার সেই "কাল্পনিক অংশ" "বাস্তব অংশের" মতই [[ভৌত বাস্তবতা]] নিয়ে হাজির হয়।
 
=== নিয়ন্ত্রণ তত্ত্ব ===
নিয়ন্ত্রণ তত্ত্বে প্রায়ই [[ভৌত ব্যবস্থা|ভৌত ব্যবস্থাকে]] [[লাপ্লাস রূপান্তর|লাপ্লাস রূপান্তরের]] মাধ্যমে [[সময় ডোমেইন]] থেকে [[ফ্রিকোএন্সি ডোমেন]]-এ নিয়ে যাওয়া হয়। এর পর সেই ব্যবস্থার [[পোল (জটিল বিশ্লেষণ)|পোল]] এবং [[জিরো (জটিল বিশ্লেষন)|জিরো]] কে [[জটিল সমতলে]] বিশ্লেষণ করা হয়। [[রুট লোকাস]], [[নাইকুইস্ট প্লট]] এবং [[নিকোল প্লট]]<!-- Root Locus, Nyquest plot, Nichol plot --> এইসব বিশ্লেষণী পদ্ধতিতে জটিল সমতলকে ব্যবহার করা হয়।
 
কোন সিস্টেমের জিরো যদি ডান অর্ধতলে থাকে তাহলে সিস্টেমটি [[ননমিনিমাম ফেজ]] সিস্টেম।
 
=== সিগন্যাল বিশ্লেষণ ===
[[সিগন্যাল বিশ্লেষণ]] এবং অন্য আরো কিছু ক্ষেত্রে জটিলসংখ্যাকেজটিল সংখ্যাকেযাকে পর্যায়বৃত্তপর্যায়বত্ত ভাবে পরিবর্তনশীল সিগন্যাল এর গাণিতিক প্রকাশে ব্যবহার করা হয়। [[সাইন]] এবং [[কোসাইন]] দ্বারা প্রকাশিতপ্রকা[[কোসাইন|কোনো]] কোন বাস্তব ফাংশনফ[[কোসাইন|,]]<nowiki/>াংশন যার প্রকাশে জটিল ফাংশন ব্যবহৃত হয় এবং সেখানে জটিল ফাংশনের বাস্তব অংশ সেই সিস্টেমের ভৌত পরিমাপপরমাপ সমূহ প্রকাশ করে। যেমন নির্দিষ্ট কম্পাঙ্কের একটা সাইন তরঙ্গের জটিল প্রকাশে পরম মান |''z''| দ্বারা [[বিস্তার]] এবং আর্গুমেন্ট arg(''z'') দ্বারা ফেজ বা [[দশা]] নির্দেশিত হয়। যেখানে ''z'' হচ্ছে সেই সাইন তরঙ্গের জটিল সংখ্যায় প্রকাশিত রূপ।
 
[[ফুরিয়ার বিশ্লেষণের|ফুরিয়ার বিশ্লেষণে]] সময় কোনকোনো সিগন্যালকে (যেটা বাস্তব সংখ্যার একটি ফাংশন আকারে প্রকাশিত) অনেক গুলোঅনেকগুলো পর্যায়বৃত্ত ফাংশনের সমষ্টি আকারে প্রকাশ করতে জটিল সংখ্যার ফাংশন ব্যবহৃত হয়। এক্ষেত্রে ব্যবহৃব্যবহৃত পর্যায়বৃত্ত ফাংশনগুলি এই,
:<math> f ( t ) = z e^{i\omega t} \,</math>
আকারের। ω দ্বারা [[কৌনিক গতি|কৌণিক গতি]] বোঝানো হয় এবং জটিল সংখ্যা ''z'', পূর্বে বর্ণিত পদ্ধতিতে একই সাথে [[বিস্তার]] এবং [[দশা]] উভয়কেই ধারণ করে।
 
[[তড়িৎ প্রকৌশল|তড়িৎ প্রকৌশলে]] পরিবর্তনশীল [[বিভব]] এবং [[তড়িৎ প্রবাহ|তড়িৎ প্রবাহের]] বিশ্লেষণে [[ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম]] ব্যবহৃত হয়। [[রোধ]], [[ধারক]] এবং [[আবেশক]] কে জটিল সংখ্যার সাহায্যে কম্পাঙ্কনির্ভর একটা একীভূত রাশিতে প্রকাশ করা হয়। যাকে আমরা বলি [[তড়িত ইম্পিডেন্স|ইম্পিডেন্স]]. (যেহেতু i দ্বারা পরিবর্তিপরিবর্তী প্রবাহ প্রকাশ করে সেহেতু তড়িৎ প্রকৌশলি এবং পদার্থ বিজ্ঞানীগনবিজ্ঞানীগণ অনেক সময় কাল্পনিক একক ''i'' কে ''j'' লিখে প্রকাশ করে থাকে)। [[ইম্পিডেন্স|ইম্পিডেন্সের]] সাহায্যে পরিবর্তী প্রবাহ এবং বিভবের বিশ্লেষণে ব্যবহৃত এই গাণিতিক প্রকৃয়াকে বলা হয় [[ফেজর (সাইন তরঙ্গ)|ফেজর ক্যালকুল্যাস]]। এই পদ্ধতিকে সম্প্রসারিত করে [[ডিজিটাল সিগন্যাল প্রসেসিং]] এবং [[ডিজিটাল ইমেজ প্রসেসিং]] এ প্রয়োগ করা হয়। যেখানে সিগন্যাল [[ট্রান্সমিট]], [[কম্প্রেস]] এবং পুনরুদ্ধারে [[ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম|ফুরিয়ার বিশ্লেষন]] এবং [[ওয়েভলেট]] বিশ্লেষন ব্যবহৃতপ্রক্রিয়াকে হয়।
 
বলা হয় [[ফেজর (সাইন তরঙ্গ)|ফেজর ক্যালকুল্যাস]]। এই পদ্ধতিকে সম্প্রসারিত করে [[ডিজিটাল সিগন্যাল প্রসেসিং]] এবং [[ডিজিটাল ইমেজ প্রসেসিং]] এ প্রয়োগ করা হয়। যেখানে সিগন্যাল [[ট্রান্সমিট]], [[কম্প্রেস]] এবং পুনরুদ্ধারে [[ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম|ফুরিয়ার বিশ্লেষন]] এবং বিশ্লেষণ বিশ্লেষন ব্যবহৃত হয়।
 
=== ইমপ্রোপ্রার ইন্টিগ্রাল ===
[[তড়িৎ প্রকৌশল|তড়িৎ প্রকৌশলে]] পরিবর্তনশীল [[বিভব]] এবং [[তড়িৎ প্রবাহ|তড়িৎ প্রবাহের]] বিশ্লেষণে [[ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম]] ব্যবহৃত হয়। [[রোধ]], [[ধারক]] এবং [[আবেশক]] কে জটিল সংখ্যার সাহায্যে কম্পাঙ্কনির্ভর একটা একীভূত রাশিতে প্রকাশ করা হয়। যাকে আমরা বলি [[তড়িত ইম্পিডেন্স|ইম্পিডেন্স]]. (যেহেতু i দ্বারা পরিবর্তি প্রবাহ প্রকাশ করে সেহেতু তড়িৎ প্রকৌশলি এবং পদার্থ বিজ্ঞানীগন অনেক সময় কাল্পনিক একক ''i'' কে ''j'' লিখে প্রকাশ করে থাকে)। [[ইম্পিডেন্স|ইম্পিডেন্সের]] সাহায্যে পরিবর্তী প্রবাহ এবং বিভবের বিশ্লেষণে ব্যবহৃত এই গাণিতিক প্রকৃয়াকে বলা হয় [[ফেজর (সাইন তরঙ্গ)|ফেজর ক্যালকুল্যাস]]। এই পদ্ধতিকে সম্প্রসারিত করে [[ডিজিটাল সিগন্যাল প্রসেসিং]] এবং [[ডিজিটাল ইমেজ প্রসেসিং]] এ প্রয়োগ করা হয়। যেখানে সিগন্যাল [[ট্রান্সমিট]], [[কম্প্রেস]] এবং পুনরুদ্ধারে [[ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম|ফুরিয়ার বিশ্লেষন]] এবং [[ওয়েভলেট]] বিশ্লেষন ব্যবহৃত হয়।
ফলিত গণিতে অনেক বাস্তব সংখ্যার ফাংশনের [[ইম্প্রোপার ইন্টিগ্রাল]] বের করার জন্য জটিল সংখ্যার ফাংশন ব্যবহৃত হয়। এধরনেএ ধরনের বিভিন্ন পদ্ধতি রয়েছে। (দেখুন [[কন্টুর ইন্টিগ্রেশন]])
 
=== কোয়ান্টাম মেকানিক্স ===
=== ইমপ্রোপ্রার ইন্টিগ্রাল ===
জটিল সংখ্যার ফিল্ড [[কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানের গাণিতিক সূত্রায়ন|কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানের গাণিতিক সূত্রায়নের]] সাথে ওতপ্রোত ভাবে জড়িত। যেখানে সাধারণত জটিল সংখ্যা ভিত্তিক [[হিলবার্ট স্পেস]] কে অন্তর্নীহিতঅন্তর্নিহিত [[গাণিতিক সংগঠন]] হিসাবে ব্যবহার করা হয়। কোয়ান্টাম মেকানিক্সের মূল ভিত্তি- তথা [[ইরউইন শ্রডিনজার|শ্রডিনজার]] [[শ্রডিনজার সমীকরণ|সমীকরণ]] এবং [[ওয়ার্ণার হাইজেনবার্গ|হাইজেনবার্গের]] [[মেট্রিক্স মেকানিক্স]]- জটিল সংখ্যার সাহায্যে গঠিত।
ফলিত গণিতে অনেক বাস্তব সংখ্যার ফাংশনের [[ইম্প্রোপার ইন্টিগ্রাল]] বের করার জন্য জটিল সংখ্যার ফাংশন ব্যবহৃত হয়। এধরনে বিভিন্ন পদ্ধতি রয়েছে। (দেখুন [[কন্টুর ইন্টিগ্রেশন]])
 
[[গাণিতিক সংগঠন]] হিসাবে ব্যবহার করা হয়। কোয়ান্টাম মেকানিক্সের মূল ভিত্তি- তথা [[ইরউইন শ্রডিনজার|শ্রডিনজার]] [[শ্রডিনজার সমীকরণ|সমীকরণ]] এবং [[ওয়ার্ণার হাইজেনবার্গ|হাইজেনবার্গের]] [[মেট্রিক্স মেকানিক্স]]- জটিল সংখ্যার সাহায্যে গঠিত।
=== কোয়ান্টাম মেকানিক্স ===
জটিল সংখ্যার ফিল্ড [[কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানের গাণিতিক সূত্রায়ন|কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানের গাণিতিক সূত্রায়নের]] সাথে ওতপ্রোত ভাবে জড়িত। যেখানে সাধারণত জটিল সংখ্যা ভিত্তিক [[হিলবার্ট স্পেস]] কে অন্তর্নীহিত [[গাণিতিক সংগঠন]] হিসাবে ব্যবহার করা হয়। কোয়ান্টাম মেকানিক্সের মূল ভিত্তি- তথা [[ইরউইন শ্রডিনজার|শ্রডিনজার]] [[শ্রডিনজার সমীকরণ|সমীকরণ]] এবং [[ওয়ার্ণার হাইজেনবার্গ|হাইজেনবার্গের]] [[মেট্রিক্স মেকানিক্স]]- জটিল সংখ্যার সাহায্যে গঠিত।
 
=== আপেক্ষিকতা ===
[[বিশেষ আপেক্ষিকতা]] এবং [[সাধারণ আপেক্ষিকতা]]তে স্পেসটাইমস্পেস-টাইম বা [[স্থান-কাল]]এর মেট্রিক সংক্রান্তমেট্রিকসংক্রান্ত কিছু সমীকরণ অনেক সরল হয়ে যায় যদি সময় কে কাল্পনিক সংখ্যার [[চলক]] হিসাবে প্রকাশ করা হয় (ক্লাসিক্যাল রিলেটিভিটিতে এধরণের ব্যবহার তেমন না থকলেও [[কোয়ান্টাম ফিল্ড থিওরী|কোয়ান্টাম ফিল্ড থিওরি]]তে এটা অত্যাবশ্যক)। আপেক্ষিকতায় ব্যহৃতব্যবহৃত [[স্পিনর]] (সেটা [[টেন্সর]] এর একটা সাধারণীকৃত রূপ) এর জন্যেও জটিল সংখ্যা অত্যাবশ্যক।
 
=== ফলিত গণিত ===
[[ডিফারেন্সিয়াল ইকুয়েশন|ডিফারেন্সিয়াল ইকুয়েশনের]] সমাধানের সময় সাধারণত, প্রথমে [[ক্যারেক্ট্যারিস্টিক ইকুয়েশন|ক্যারেক্ট্যারিস্টিক ইকুয়েশনের]] জটিল মূল গুলো নির্ণয় এবং এর পরে পুরো সিস্টেম কে ''f''(''t'') = ''e''<sup>''rt''</sup> আকারের বেস ফাংশনের সাপেক্ষে সমাধান করা হয়।
 
=== ফ্লুইড ডাইনামিক্স ===
ফ্লুইড ডাইনামিক্সে জটিল সংখ্যার ফাংশন দ্বারা [[দিমাত্রিক পটেনশিয়াল ফ্লো]] প্রকাশ করা হয়।
 
=== ফ্র্যাক্টাল ===
কিছু কিছু [[ফ্র্যাক্টাল]] জটিল সমতলে প্লট করা হয়। যেমন, [[ম্যান্ডেলব্রট সেট]] এবং [[জুলিয়া সেট]] ইত্যাদি।
 
২৪টি

সম্পাদনা